Новые данные НФЛ

На этой неделе я обновляю свой анализ некоторых распространенных ставок на матчи НФЛ в сезоне 2022 года. Если эта тема вас не интересует, не забудьте перейти в конец страницы, чтобы найти новую головоломку этой недели.

Недавно я получил доступ к данным НФЛ за сезоны с 2015 по 2022 год. Ранее на моем сайте и в букмекерской конторе были представлены данные только за сезон 2017 года. После анализа 1889 игр я представляю следующий анализ. Комментарии относительно ожидаемой прибыли основаны на ставке «11 побед, 10 проигранных».

Домашняя команда против гостевой команды с учетом форы

За исследуемый период домашняя команда выиграла с учетом форы в 880 играх, гостевая — в 953, а в 56 играх ставка точно совпала с форой. Из всех заключенных ставок домашняя команда выиграла в 48,0%, а гостевая — в 52,0%. Ставки без учета форы привели бы к убыткам в размере 8,3% для домашней команды и 0,7% для гостевой.

Эта разница оказалась довольно неожиданной. Поэтому я немного покопался в информации. Я обнаружил, что в среднем домашняя команда набирала всего на 1,64 очка больше. «Эффективное правило», которое я слышал много раз, гласит, что преимущество домашнего поля стоит 3 очка. Я предполагаю, что букмекеры переоценивают это преимущество, создавая обратную выгоду.

Аутсайдер против фаворита с учетом форы

За восемь сезонов, в которых анализировалась ненулевая разница в очках, аутсайдер обыграл фору 898 раз, фаворит — 879 раз, а 56 раз ставка точно совпала с форой. Не считая ничьих, аутсайдер выиграл в 50,5% случаев, а фаворит — в 49,5%. Это соответствует убыткам в 3,5% случаев для аутсайдеров и 5,6% для фаворитов.

Я всегда был сторонником ставок на аутсайдеров. Это по-прежнему актуально, но разница в 1% оказалась меньше, чем я ожидал.

Тотал больше/меньше.

За восемь сезонов, в 963 играх, ставка на "меньше" выиграла 963 раза, на "больше" — 909 раз, а линия оказалась точно правильной 17 раз. Ставка на "меньше" выиграла в 51,4% случаев. Ожидаемый убыток составил 1,8% на "меньше" и 7,3% на "больше".

Денежная линия

6; font-family: 'Open Sans', sans-serif; color: #313131 !important; ">Для ставок на победу я рассматривал обе стороны, когда аутсайдер приносил как минимум равный выигрыш. Таким образом, ставки с коэффициентами -115/-105 не учитывались. Все ставки составляли одну единицу, независимо от того, ставили ли вы на аутсайдера или фаворита. При этом общий убыток составил 0,9% на аутсайдеров и 5,6% на фаворитов.

Вопрос-головоломка от 19 сентября 2024 года.

Злой надзиратель собирает 100 заключенных и присваивает каждому уникальное число от 1 до 100.

В другой комнате находятся 100 пронумерованных коробок. Начальник тюрьмы берет листки бумаги с номерами от 1 до 100 и случайным образом кладет их в коробки, по одному листку в каждую.

На следующий день заключенных будут пускать в комнату с ящиками по одному. Каждый заключенный может открыть 50 ящиков. Если заключенный найдет свой собственный номер (например, заключенный 23 найдет ящик с номерами 23), то он будет считаться «успешным» и сможет выйти раньше, если найдет его до 50-го открытия. Выход осуществляется через отдельную дверь, отличную от входа.

Если все 100 заключенных добьются успеха, их всех освободят. Однако, если один или несколько человек потерпят неудачу, всех их немедленно казнят.

Заключенным разрешается провести день вместе, чтобы разработать стратегию. Как только первый заключенный войдет в комнату с ящиками, дальнейшее общение с ним запрещено. Примерами общения могут служить, помимо прочего, перекладывание бумаг и оставление крышек открытыми. Если будет обнаружено какое-либо общение, все заключенные будут немедленно и мучительно казнены.

Какая стратегия позволит максимизировать вероятность их освобождения, и какова эта вероятность?

Ответ на головоломку от 19 сентября 2024 года

Признаюсь, я задавал этот вопрос в рубрике «Волшебник» № 369. Однако я недоволен своим ответом. Попробую здесь дать более простое объяснение.

Во-первых, следует понимать, что 100 ящиков будут представлять собой некоторое количество замкнутых петель. Что такое замкнутая петля? Это последовательность ящиков, ведущих обратно к исходному ящику. Например, если ящик 17 ведет к ящику 79, ящик 79 ведет к ящику 5, а ящик 5 ведет к ящику 17, то эти три ящика образуют замкнутую петлю.

Стратегия каждого заключенного будет заключаться в том, чтобы открыть ящик, соответствующий его номеру. Он прочитает напечатанный внутри листок бумаги, а затем откроет ящик, указанный на этом листке. Если бы не ограничение в 50 открытий, заключенный в конечном итоге открыл бы ящик со своим номером. Это потому, что, выбрав ящик со своим номером, он, по крайней мере, находится в замкнутом цикле, содержащем его номер.

Однако это не гарантирует успеха. Велика вероятность, что замкнутый круг будет размером 51 или более. В этом случае ни у одного из заключенных в этом замкнутом круге не будет достаточно отверстий, чтобы найти свой номер.

Далее, давайте найдем количество способов образования замкнутого цикла размером 100. Для первого ящика внутри находится 99 возможных чисел, которые не совпадают с номером ящика, что приведет к замкнутому циклу размером 1. Для второго ящика внутри находится 98 чисел, которые не совпадают с номерами первого или второго ящика, что приведет к замкнутому циклу размером 2. Для третьего ящика внутри находится 97 чисел, которые не совпадают с номерами первых трех ящиков, что приведет к замкнутому циклу размером 3. Продолжая эту логику, получаем 99*98*97 * … * 1 = 99! способов образования замкнутого цикла размером 100. Существует 100! способов упорядочить 100 листов бумаги. Вероятность образования замкнутого цикла размером 100 равна количеству успешных комбинаций, деленному на общее количество комбинаций. Это 99!/100! = 1/100.

Далее, найдем количество способов получить замкнутый цикл из 99 элементов. Существует 100 вариантов того, как другой ящик ведет сам к себе, образуя замкнутый цикл из 1 элемента. Тогда сколько существует порядков для остальных 99 ящиков, чтобы образовать замкнутый цикл из 99 элементов? Согласно приведенной выше логике, для 100 ящиков количество перестановок для замкнутого цикла из 99 элементов равно 98!. Количество комбинаций для замкнутого цикла из 99 элементов и замкнутого цикла из 1 элемента равно 100*98!. Разделив это число на 100!, общее количество комбинаций, мы получаем 1/99.

Далее, найдем количество способов образования замкнутого цикла из 98 предметов. Существует перестановка (100,2) = 100!/98! = 9900 вариантов выбора двух ящиков из 100, которые не входят в замкнутый цикл из 98 предметов, с учетом порядка. Тогда сколько существует вариантов порядка выбора остальных 98 ящиков для образования замкнутого цикла из 98 предметов? Исходя из приведенной выше логики для 99 и 100 ящиков, количество перестановок для замкнутого цикла из 98 предметов равно 97!. Количество перестановок для замкнутого цикла из 98 предметов и всех способов упорядочить остальные 2 ящика равно 100*99*97!. Таким образом, вероятность образования замкнутого цикла из 98 предметов равна 100*99*97!/100! = 1/98.

Расширяя эту логику до замкнутого круга из 51 человека, вероятность того, что замкнутый круг из 51 человека достигнет 99, составляет 1/51 + 1/52 + 1/53 + … + 1/100 ≈ 68,82%. Альтернативный вариант — успех, то есть отсутствие замкнутых кругов из 51 или более человек, то есть каждый заключенный находит свой номер. Вероятность этого варианта составляет 31,18%.

Быстрый способ получить довольно грубое приближение — использовать постоянную Эйлера (не путать с числом Эйлера). Пусть c = постоянная Эйлера ≈ 0,577216. Соответствующая формула гласит:

6; font-family: 'Open Sans', sans-serif; color: #313131 !important; ">1/1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n =~ ln(n) + c.

В случае данной задачи вероятность замкнутого цикла от 51 до 100 составляла 1/51 + 1/52 + … + 1/100. Это можно выразить следующим образом:

(1/1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/100) – (1/1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/50)

Используя приведенную выше формулу приближения, получаем приблизительно…

(ln(100) + c) – (ln(50) + c) = ln(100) – ln(50) = 4,605170 – 3,912023 = 0,693417. Альтернативный вариант – вероятность успеха, равная 0,306853 = 30,69%. Напомним, что фактическая вероятность составляла 31,18%. Таким образом, аппроксимация отличается на 0,50%.

---

Вопрос-головоломка от 26 сентября 2024 года.

У вас есть фонарик и восемь батареек. Для работы фонарика требуется две исправные батарейки. Четыре из восьми батареек работают, а четыре — нет. Как обычно, отличить исправные от неисправных по внешнему виду невозможно. Как можно включить фонарик, имея максимум семь попыток?