WOO logo

Wizard рекомендует

Доказательство того, что квадратный корень из 2 иррационален.

На этой неделе мы докажем, что квадратный корень из 2 иррационален. Однако, прежде чем мы перейдем к этому, я представлю еженедельную логическую головоломку.

Логическая головоломка

Арабский шейх повелевает своим двум сыновьям устроить гонку на верблюдах до далекого города, чтобы определить, кто унаследует его состояние. Побеждает тот, чей верблюд медленнее. После нескольких дней бесцельных скитаний братья обращаются за советом к мудрецу. Получив совет, они вскакивают на верблюдов и мчатся в город как можно быстрее. Что же сказал им мудрец?

Ответ находится в конце информационного бюллетеня.

Доказательство того, что квадратный корень из 2 иррационален.

Для доказательства мы воспользуемся методом от противного. Это значит, что я опровергну утверждение о том, что квадратный корень из 2 является рациональным числом, оставив альтернативную гипотезу о его иррациональности.

Определение рационального числа гласит, что его можно выразить как отношение двух целых чисел. Назовем их p и q. Это означает, что иррациональное число таким образом выразить нельзя. Для целей нашего доказательства от противного предположим пока, что квадратный корень из можно выразить как p q , где дробь сокращена до наименьших членов. Таким образом, мы имеем:

√2 = p q

2 = p 2 q 2 (Возведение обеих сторон в квадрат)

6; font-family: 'Open Sans', sans-serif; color: #313131 !important; ">2q 2 = p 2

В этом случае p должно быть четным, потому что если квадрат числа четный, то и само число четное. Аналогично, квадрат нечетного числа также нечетный. Таким образом, мы можем сказать, что p = 2k, где k — некоторое целое число.

2q 2 = (2k) 2

2q 2 = 4k 2

q 2 = 2k 2

По той же логике, q также должно быть четным. Следовательно, и p, и q — четные числа. Однако вначале мы предположили, что p и q приведены к своей наименьшей форме. Тем не менее, если они оба четные, то оба делятся на 2.

Таким образом, первоначальное предположение о том, что √2 = p q, оказалось ложным. Следовательно, должна быть верна альтернативная гипотеза о том, что √2 иррационально.

Решение логической головоломки

Мудрец сказал: «Поменяйте верблюдов и мчитесь в далекий город».