Камень, ножницы, бумага, минус один

Мы продолжаем делать перерыв в моей серии статей о Камино де Сантьяго, чтобы поговорить об игре под названием «камень, ножницы, бумага, минус один».

Игра показана в первом эпизоде второго сезона «Игры в кальмара». Само шоу полно интересных примеров теории игр, и эта новая игра не исключение. Предполагаю, читатель уже знаком с правилами классической версии «камень-ножницы-бумага».

Вот правила игры «камень, ножницы, бумага, минус один».

1. 1. На первом этапе игры оба игрока одновременно выкладывают символы по своему выбору, по одному символу с каждой руки.
2. 2. Обоим игрокам дается минута на обдумывание своего следующего хода.
3. 3. На втором этапе игры оба игрока одновременно отводят одну руку назад, тем самым выкладывая символ на другой руке.
4. 4. Правила классической игры «камень-ножницы-бумага» определяют победителя по одному оставшемуся символу каждого игрока.

В следующем видеоролике объясняются правила.

Хотя объяснение правил было правильным и забавным, данный совет был абсолютно НЕВЕРНЫМ! Это мнение основано на предположении, что в случае ничьей они бы сыграли еще раз, если бы не было победителя. Вот ситуация в примере, показанном в видео:

В игре «Треугольник» участвуют ножницы и бумага.

В игре Circle играют в камень и бумагу.

На отметке 1:18 в видео вербовщик говорит, что команде Triangle следует играть бумажной версией, потому что независимо от того, какую версию выберет команда Circle, игра как минимум закончится ничьей.

Давайте внимательно рассмотрим ситуацию. В следующей таблице показаны результаты всех четырех возможных ситуаций с точки зрения игрока, выбравшего треугольник.

jpg" />

Как видите, с точки зрения Треугольника, есть два выигрыша, один шанс на ничью и один шанс на поражение. С точки зрения Круга верно обратное: один шанс на победу, один шанс на ничью и два шанса на поражение. Таким образом, Треугольник находится в выгодном положении.

Вербовщик прав в том, что если Треугольник сыграет на бумаге, то обеспечит себе как минимум ничью. Однако, если бы Круг предсказал это, то он тоже мог бы выйти из своего невыгодного положения, сыграв на бумаге, что привело бы к ничьей.

Если Треугольник мог предсказать, что Круг подумает так и сыграет в «Бумагу», то он мог бы выиграть игру, рискнув сыграть в «Ножницы». Однако, если бы Круг это увидел, он бы рискнул и сыграл в «Камень», раздавив ножницы Треугольника. С другой стороны, если бы Треугольник мог предсказать, что Круг сыграет в «Камень», он бы замкнул круг и сыграл в «Бумагу», победив камень Круга. И так по кругу, как в классической игре «Камень, ножницы, бумага».

Правильная стратегия для обеих сторон — рандомизация! Давайте разберемся.

Позволять:

s = Треугольник вероятности играет в ножницы

r = Круг вероятности играет рок.

В задачах по теории игр, подобных этой, ключевой момент — найти вероятность, при которой ваш ожидаемый выигрыш будет одинаковым независимо от стратегии противника. Таким образом, это не поможет противнику взломать вашу стратегию.

Пусть f(s) = ожидаемая победа, если треугольник играет ножницами.

= -rs + s(1-r) + (1-s)r + 0*(1-s)(1-r)

= -rs + s – rs + r – sr

= s + r – 3sr

6; font-family: 'Open Sans', sans-serif; color: #313131 !important; ">Далее возьмите производную по s и приравняйте ее к 0:

f'(s) = 1 – 3r = 0

r = 1/3.

Пусть f(r) = ожидаемый выигрыш, если Circle играет в камень.

= rs - r(1-s) - (1-r)s + 0*(1-s)(1-r)

= rs–r + rs – s + rs

= -s - r + 3sr

Далее, возьмем производную по r и приравняем ее к нулю:

f'(r) = -1 + 3s = 0

s = 1/3.

Таким образом, оптимальная стратегия, вопреки утверждениям рекрутера, такова:

1. • В игре "Треугольник" вероятность попадания в "ножницы" составляет 1/3, а в игре "бумага" - 2/3.
2. • В игре «Круг» следует играть в камень с вероятностью 1/3, а в игру «Бумага» — с вероятностью 2/3.

Если хотя бы один игрок будет следовать этой стратегии, то в каждой игре результат будет следующим:

1. • Победы треугольника = 4/9 = 44,44%
2. • Ничья = 4/9 = 44,44%
3. • Количество побед в Circle = 1/9 = 11,11%

Если считать победу за +1, ничью за 0, а поражение за -1, то ожидаемая победа команды «Треугольник» составляет 1/3 = 33,3%.

Спасибо за чтение, и я надеюсь, что вам так же нравится второй сезон Squid Game, как и мне!