Парадокс двух конвертов — 19.09.2019

Я люблю хорошие парадоксы, и парадокс конверта — один из моих любимых. Его можно сформулировать по-разному. Мне нравятся телеигры, поэтому я предпочитаю формулировать его именно в таком формате. Итак, вот сам парадокс:

Вы участвуете в телеигре, где ведущий показывает вам два запечатанных конверта и просит выбрать один, что вы и делаете. Не открывая конверт, ведущий объясняет, что в одном конверте вдвое больше денег, чем в другом. Затем он предлагает вам поменяться местами с другим конвертом.

Рассматривая решение о замене конверта, вы рассуждаете так: в другом конверте либо вдвое, либо вдвое больше денег, чем в выбранном вами. Вероятность того, что вы выбрали конверт с меньшей или большей суммой, составляет 50%. Пусть x — сумма в выбранном вами конверте. Вы вычисляете, что ожидаемая стоимость другого конверта равна среднему значению половины x и удвоенного x. Другими словами, ожидаемая стоимость другого конверта равна (1/2)*2x + (1/2)*(x/2) = x + x/4 = 1,25x.

На первый взгляд, это делает переключение выгодным вариантом. Однако, если бы была такая возможность, можно было бы применить ту же логику и к возвращению к предыдущему варианту. Если бы было разрешено неограниченное количество переключений, вы бы переключались туда-обратно бесконечно. Очевидно, что при этом вы ничего не выигрываете. Итак, вопрос: в чём ошибка в аргументе о том, что ожидаемая стоимость другого конверта в 1,25 раза выше, чем у выбранного вами?

На этот вопрос нет простого ответа. Об этом написано множество статей в ведущих математических журналах. Я лично часами спорил об этом с другими математиками на равных. Все согласны с тем, что аргумент о 1,25-кратном увеличении ошибочен, но не в том, как объяснить, почему он ошибочен, особенно простым и понятным языком.

На мой взгляд, проще всего объяснить ошибку в аргументе об ожидаемом значении следующим образом: множители 2 и 0,5 применяются к одному и тому же значению x в первом конверте. Во-первых, это предполагает, что сумма во втором конверте равна либо 2x, либо 0,5x . Соотношение 2x и 0,5x равно 4. В самой задаче говорится, что большая сумма вдвое больше меньшей, а не вчетверо больше. Следовательно, это неверно.

Тем не менее, этот аргумент меня не удовлетворяет. Он может опровергать аргумент об ожидаемой ценности, но в чём же ошибка этого аргумента? Я предпочитаю объяснять это так: формула ожидаемой ценности не работает, потому что она предполагает, что x — это фиксированная величина. Это не так, она случайна. Множитель на 100% коррелирует с величиной x. Это приводит к тому, что аргумент об ожидаемой ценности перестаёт работать.

Более корректный способ осмысления проблемы — рассмотреть сумму, полученную или потерянную в результате переключения. Эта сумма — разница между двумя конвертами. Например, если в двух конвертах находятся y и 2y, то переключение приведет к выигрышу или потере y. Другими словами, выигрыш от переключения равен *y + 0,5*-y = 0 .

Тем не менее, я не совсем удовлетворён этим объяснением. Я могу спокойно спать по ночам, но не уверен, что неспециалист поймёт мой аргумент. Вероятно, он его не поймёт.

Извините, если этот информационный бюллетень получился не очень удачным. Если вас заинтересовала эта тема, она время от времени поднимается на моём форуме Wizard of Vegas . Вот две основные темы, посвящённые ей:

com/forum/questions-and-answers/math/21457-two-envelopes-problem-at-mathproblems-info/" style="color:#a5341f;">Задача про два конверта на сайте MATHPROBLEMS.INFO

Старая, но добрая мелодия... Вариация на тему Монте-Холла...

Автор: Michael Shackleford