Ответ на загадку про лягушку от TED-Eds неверный.

Отличный канал на YouTube — TED-Ed. Мне нравится, что они часто разбирают математические и логические головоломки. Однако в этом выпуске я критикую их за неверный ответ на их «Загадку про лягушку».

Прежде чем продолжить, предлагаю вам посмотреть видео. Вот ссылка:

Если вы не смотрели видео, вот предоставленная информация:

1. Вы оказались в ловушке в огромном тропическом лесу и съели ядовитый гриб.
2. Чтобы спасти свою жизнь, вам необходимо противоядие, выделяемое определенным видом лягушек.
3. К сожалению, противоядие вырабатывается только у самок этого вида.
4. Самцов и самок примерно в равном количестве, и они выглядят одинаково.
5. Самец издает характерное кваканье.
6. Слева вы видите лягушку на пне.
7. Прежде чем вы доберетесь до лягушки на пне, вы услышите кваканье, доносящееся с поляны в противоположном направлении.
8. На поляне вы видите двух лягушек, но не можете определить, какая из них издала звук.
9. Вы чувствуете, как теряете сознание, и у вас остается время только на то, чтобы двигаться в одном направлении.
10. Все лягушки миролюбивы и легко могут быть облизаны, если к ним приблизиться.

Вопрос в том, какой путь выбрать? Иными словами, какова вероятность выживания в каждом направлении?

Эта головоломка явно представляет собой переформулировку классической загадки о мальчике и девочке. Давайте на мгновение отложим в сторону загадку о лягушке и зададим правильный вопрос о мальчике и девочке. В этой головоломке нам дано:

1. Мальчиков и девочек встречается в равном количестве, и они не зависят от наличия братьев и сестер (другими словами, мы можем игнорировать однояйцевых близнецов).
2. Женщине, у которой ровно двое детей, задают вопрос: «У вас есть хотя бы один мальчик?» Она отвечает: «Да».”

Вопрос в том, какова вероятность того, что у неё родится девочка?

Часто дается неверный ответ на этот вопрос — «1/2». Аргумент состоит в том, что у «другого ребенка» есть 50/50 шанс быть мальчиком или девочкой. Ошибка заключается в том, что «другого ребенка» не существует.

Правильный способ вычисления — использование теоремы Байеса об условной вероятности. В общем, она гласит, что вероятность истинности утверждения А при наличии информации В равна отношению истинности обоих утверждений к вероятности истинности утверждения В. Это выражается следующим образом:

Пр(А | В) = Пр(А и В) / Пр(В).

В головоломке "мальчик-девочка":

А = У матери родилась девочка

B = По крайней мере один мальчик

Это можно решить как Pr(мальчик и девочка) / Pr(Хотя бы один мальчик).

В целом, для семей с двумя детьми вероятности таковы:

Мальчик и девочка = 50%

Мальчик и мальчик = 25%

Девочка и девочка = 25%

Тогда ответ на загадку "мальчик-девочка" будет 50%/(50% + 25%) = 50%/75% = 2/3.

Другой распространенный способ объяснить вероятность 2/3 — это использовать следующую таблицу.

Ребенок 1	Ребенок 2
	Мужской	Женский
Мужской	Нет	Да
Женский	Да

Ячейка "женщина/женщина" закрашена, потому что это невозможно. "Да" означает, что есть хотя бы одна женщина. Как видите, из трех возможных вариантов две содержат женщину. Таким образом, вероятность наличия хотя бы одной женщины составляет 2/3.

Теперь вернёмся к загадке про лягушек. Судя по тому, как они разгадывают ответ в видео, они явно используют часть про кваканье самцов, чтобы понять, что по крайней мере одна из лягушек на поляне — самец. Однако то, как фраза «ответ», часть про кваканье, приводит к ответу, отличному от 2/3.

Чтобы получить правильный ответ, нам нужно знать вероятность того, что вы услышите кваканье конкретного самца лягушки. Для простоты предположим, что она составляет 10%. Также предположим, что если вы слышите кваканье на поляне, вы понятия не имеете, издает ли его одна лягушка или две.

Давайте сначала рассмотрим вероятность того, что лягушка на бревне — самка. Выражение для этой вероятности выглядит следующим образом:

Pr(самка | без кваканья) =

Pr(самка и не квакает)/Pr(Не квакает) =

Pr(самка и не квакает)/(Pr(самка и не квакает) + Pr(самка и не квакает)) =

(0,5 * 1)/(0,5 * 1 + 0,5 * 0,9) = 0,5/(0,5 + 0,45) = 0,5/0,95 = 10/19 ≈ 52,63%.

Теперь давайте сначала рассмотрим вероятность того, что на поляне находится женщина. Выражение для этой вероятности выглядит следующим образом:

Pr(самка | кваканье) =

6; font-family: 'Open Sans', sans-serif; color: #313131 !important; ">Pr(самка и кваканье)/Pr(кваканье) =Pr(самка и кваканье)/(Pr(Самка и квакающий самец) + Pr(Неквакающий самец и квакающий самец) + Pr(Два квакающих самца)) =

Рассмотрим каждую вероятность отдельно:

Вероятность (самка и кваканье): Должна быть одна самка и один квакающий самец. Вероятность этого равна 2 * 0,5 * 0,5 * 0,1 = 1/20 = 0,05. Причина в том, что есть два способа определить, какая лягушка является самкой.

Pr(Самка и квакающий самец) = То же, что и выше, поскольку кваканье может исходить только от самца.

Pr(Неквакающий самец и квакающий самец) = 2 * 0,5 * 0,5 * 0,9 * 0,1 = 0,045. Причина в том, что есть два способа выбрать самца, который квакает.

Pr(Два квакающих самца) = 0,5 * 0,5 * 0,1 * 0,1 = 0,0025

Общая вероятность того, что на поляне находится самка, составляет 0,05 / (0,05 + 0,045 + 0,0025) = 0,05/0,0975 = 20/39 ≈ 51,28% .

Таким образом, вероятность выживания в обоих случаях составляет:

Лизание лягушки на бревне = 52,63%

Облизать обеих лягушек на поляне = 51,28%.

Таким образом, вам следует лизнуть лягушку на бревне.

Рассмотрим общий случай, когда вероятность услышать кваканье конкретного самца равна c. Вероятности выживания таковы:

Лизание лягушки о бревно = 1/(2-c)

Облизать обеих лягушек на поляне = 2/(4-c)

6; font-family: 'Open Sans', sans-serif; color: #313131 !important; ">При любом значении c>0 вероятность будет выше, если вы лизнете лягушку на бревне. Мы знаем, что c>0, потому что услышали кваканье.

Таким образом, вам следует лизнуть лягушку на бревне!