WOO logo

Wizard рекомендует

Спросите Волшебника #15

Мне очень нравится ваш сайт. Он очень информативный. Спасибо, что делитесь своими мыслями. Я заметил стратегию ставок на крэпс, предложенную на сайте Crappers Delight, под названием «классическая регрессия». В ней автор предлагает ставить 6 и 8 после установления точки. Затем забирать ставку после того, как выпадет хотя бы одно из этих чисел. Он говорит, что существует 10 способов получить 6 и 8, но только 6 способов получить 7. Звучит логично, но я видел, как вы показываете, что то, что кажется логичным на первый взгляд, не так уж и умно при анализе. Что вы думаете об этой стратегии и каковы будут реальные шансы, если вы будете забирать ставку после одного выпадения?

Michael

Это похоже на вопрос, который мне задали на прошлой неделе . Да, верно, что существует десять способов выбросить 6 или 8 и шесть способов выбросить 7. Однако не следует рассматривать только вероятности, а нужно сопоставлять их с выплатами. Ставка на 6 и 8 выплачивается с коэффициентом 7 к 6, тогда как при справедливых коэффициентах выплата составила бы 6 к 5. Сделав шесть ставок на 6 и 8 и забрав вторую, если первая выиграет, вероятность выигрыша 7 единиц составляет 62,5%, а вероятность проигрыша 12 единиц — 37,5%. Если игроку необходимо покрыть и 6, и 8, то ставка на 8 — лучший вариант. Этот показатель доходности неплох, но мог бы быть лучше. Для игрока, который ставит во главу угла минимизацию общего преимущества казино, лучшая стратегия — это комбинации ставок «пас», «не пас», «ком» и «не ком», и всегда брать максимально допустимые коэффициенты.
Как определить вероятность того, что при фиксированных ставках (без подсчета, прогрессий и т. д.) я окажусь в выигрыше в такой игре, как блэкджек, без подсчета, с отставанием в 0,5% после примерно 45 000 раздач? Возможно ли это вообще?

Kevin

Это типичный вопрос, с которым можно столкнуться на вводном курсе статистики. Поскольку сумма большого числа случайных величин всегда будет стремиться к колоколообразной кривой, мы можем использовать центральную предельную теорему, чтобы получить ответ.

Из моего раздела о преимуществе казино мы видим, что стандартное отклонение в блэкджеке составляет 1,17. Вы этого не поймете, если не изучали статистику, но вероятность проигрыша в вашем примере будет равна Z-статистике 45000*0,005/(45000 1/2 *1,17) ≈ 0,91.

В любом базовом учебнике по статистике должна быть стандартная таблица нормального распределения, которая покажет значение Z-статистики 0,8186. Таким образом, вероятность оказаться впереди в вашем примере составляет примерно 18%.
Мне было любопытно — я уверен, что лучше, чем у казино, я ничего не придумаю, — но я хотел проверить умеренный подход к азартным играм — сценарий «заканчивай, пока в выигрыше». Допустим, я начинаю с ровно 1000 долларов. Какой процент времени я уйду с 1200 долларами, а не с 0, при условии, что мне придется уйти, как только я выиграю то или иное? В баккара я выигрываю 20%, а не проигрываю 100%, делая ставки на игрока.

Brian от Denver, Colorado

Вы упустили два важных момента: сумму ставки и игру. Предположим, вы делаете фиксированную ставку в 1 доллар за раз на ставку на игрока в баккара . Вероятность выигрыша игрока при отсутствии ничьей составляет 49,3212%.

Пусть aᵢ обозначает вероятность того, что игрок, имея $i, достигнет отметки в $1200, прежде чем проиграет все. Пусть p — вероятность выигрыша любой данной ставки = 49,3212%.

а 0 = 0

a 1 = p*a 2
a 2 = p*a 3 + (1-p)*a 1
a 3 = p*a 4 + (1-p)*a 2

.

a 1197 = p*a 1198 + (1-p)*a 1196
a 1198 = p*a 1199 + (1-p)*a 1197
a 1199 = p*a 1200 + (1-p)*a 1198
a 1200 = 1

Разделите левую сторону на две части:

p*a 1 + (1-p)*a 1 = p*a 2
p* a² + (1-p)* a² = p* a³ + (1-p)* a¹
p*a 3 + (1-p)*a 3 = p*a 4 + (1-p)*a 2
.
.
.
p*a 1197 + (1-p)*a 1197 = p*a 1198 + (1-p)*a 1196
p*a 1198 + (1-p)*a 1198 = p*a 1199 + (1-p)*a 1197
p*a 1199 + (1-p)*a 1199 = p*a 1200 + (1-p)*a 1198

Перегруппируйте члены, расположив (1-p) слева и p членов справа:

(1-p)*(a 1 ) = p*(a 2 - a 1 )
(1-p)*(a 2 - a 1 ) = p*(a 3 - a 2 )
(1-p)*(a 3 - a 2 ) = p*(a 4 - a 3 )
.
.
.
(1-p)*(a 1197 - a 1196 ) = p*(a 1198 - a 1197 )
(1-p)*(a 1198 - a 1197 ) = p*(a 1199 - a 1198 )

Затем умножьте обе стороны на 1/p:

(1-p)/p*(a 1 ) = (a 2 - a 1 )
(1-p)/p*(a 2 - a 1 ) = (a 3 - a 2 )
(1-p)/p*(a 3 - a 2 ) = (a 4 - a 3 )
.
.
.
(1-p)/p*(a 1197 - a 1196 ) = (a 1198 - a 1197 )
(1-p)/p*(a 1198 - a 1197 ) = (a 1199 - a 1198 )

Суммирование результатов следующего телескопа:

(a 2 - a 1 ) = (1-p)/p*(a 1 )
(a 3 - a 2 ) = ((1-p)/p) 2 *(a 1 )
(a 4 - a 3 ) = ((1-p)/p) 3 *(a 1 )
.
.
.
(a 1199 - a 1198 ) = ((1-p)/p) 1198 *(a 1 )
(a 1200 - a 1199 ) = ((1-p)/p) 1199 *(a 1 )

Далее сложите приведенные выше уравнения:

(a 1200 - a 1 ) = a 1 * (((1-p)/p) + ((1-p)/p) 2 + ((1-p)/p) 3 + ... + ((1-p)/p) 1199 )

1 = a 1 * (1 + ((1-p)/p) + ((1-p)/p) 2 + ((1-p)/p) 3 + ... + ((1-p)/p) 1199 )

a 1 = 1 / (1 + ((1-p)/p) + ((1-p)/p) 2 + ((1-p)/p) 3 + ... + ((1-p)/p) 1199 )

a 1 = ((1-p)/p - 1) / (((1-p)/p) 1200 - 1)

Теперь, когда мы знаем, что такое 1 , мы можем найти 1000 :

(a 2 - a 1 ) = (1-p)/p*(a 1 )
(a 3 - a 2 ) = ((1-p)/p) 2 *(a 1 )
(a 4 - a 3 ) = ((1-p)/p) 3 *(a 1 )
.
.
.
(a 999 - a 18 ) = ((1-p)/p) 9998 *(a 1 )
(a 1000 - a 19 ) = ((1-p)/p) 9999 *(a 1 )

Сложите приведенные выше уравнения:

(a 1000 - a 1 ) = a 1 * (((1-p)/p) + ((1-p)/p) 2 + ((1-p)/p) 3 + ... + ((1-p)/p) 999 )
a 1000 = a 1 * (((1-p)/p) 1000 - 1)) / ((1-p)/p - 1))
a 1000 = [ ((1-p)/p - 1) / (((1-p)/p) 1200 - 1) ] * [ (((1-p)/p) 1000 - 1) / ((1-p)/p - 1) ]
a 1000 = (((1-p)/p) 1000 - 1) / (((1-p)/p) 1200 - 1) ≈ 0,004378132.

Со временем, в любой игре на удачу, шансы игрока, скорее всего, изменятся, и его банкролл будет постепенно уменьшаться. Однако, если вы будете делать более крупные ставки, ваши шансы будут намного выше. Ниже приведены шансы на выигрыш в 20% случаев до потери 100% при различных размерах ставок.

5 долларов: 0,336507
10 долларов: 0,564184
25 долларов: 0,731927
50 долларов: 0,785049
100 долларов: 0.809914

Более подробную информацию о математическом решении задач такого типа можно найти на моем сайте MathProblems.info , задача 116.

Почему в базовых таблицах стратегии блэкджека используется теория, согласно которой у дилера в закрытой карте лежит десятка? В действительности же, я считаю, шансы на то, что десятка окажется где угодно, составляют 9 к 4. Может, я что-то упускаю? Ваш сайт очень интересен. Большое спасибо.

Eddie от New Orleans, Louisiana

Предположение, что у дилера в кармане 10, — это всего лишь прием, основанный на запоминании, и оно никак не связано с базовой стратегией игры. Я не могу смириться с тем, что один игрок говорит другому: «Ты всегда предполагаешь, что у дилера в кармане 10». Если бы это было правдой, игрок должен был бы брать карту, имея 19 против 10, это, безусловно, неразумный ход.