Спросите Волшебника #196

Я утверждаю, что игрок в видеопокер, стремящийся к преимуществу, иногда должен отклоняться от оптимальной стратегии, если следует критерию Келли. В пограничных ситуациях, я думаю, Келли может предпочесть менее волатильную игру, даже с меньшей отдачей, хотя я не могу вспомнить конкретного примера. Каково ваше мнение?

Scott E. от New York

Согласен! Как я уже обсуждал в разделе о критерии Келли , существует оптимальный размер ставки для любой ставки с преимуществом игрока, с целью баланса риска и вознаграждения. Ставка точно на сумму, соответствующую критерию Келли, приведет к наибольшему росту банкролла для игрока со средней удачей.

Например, в игре в Deuces Wild с полной оплатой , где возврат составляет 100,76%, оптимальная сумма ставки в каждой раздаче составляет 0,03419% от банкролла. В наши дни, если вы найдете Deuces Wild с полной оплатой, то, вероятно, только с номиналом в 25 центов, но если бы вы могли ставить любую сумму, 0,03419% от вашего общего банкролла было бы оптимальной суммой для долгосрочного роста банкролла. Для игрока с банкроллом в 3656 долларов игра с номиналом в четверть доллара была бы идеальным размером ставки по Келли.

Как я уже обсуждал в разделе о Келли, оптимальная сумма ставки — это та, которая максимизирует ожидаемый логарифм банкролла после ставки, который я назову полезностью Келли. Обычно полезность Келли максимизируется за счет оптимальной стратегии игры. Однако исключением может быть комбинация из пяти троек и девяток с тремя двойками. В частности, рассмотрим число 22277. Ожидаемая выгода от сохранения только двойок составляет 15,057354, а сохранение пяти одинаковых карт всегда стоит ровно 15.

В следующей таблице показаны как общепринятое ожидаемое значение, так и полезность Келли при наличии трех двоек. Полезность Келли для любой данной раздачи при дро равна p*log(1+0.0003419*w), где p — вероятность, а w — выигрыш.

Игрок держит три двойки

Рука	Платит	Комбинации	Вероятность	Возвращаться	Келли Утилити
Четыре двойки	200	46	0.042553	8.510638	0.001222
Дикий королевский	25	40	0.037003	0.925069	0.000137
Пять одинаковых	15	67	0.06198	0.929695	0.000138
Прямой смыв	9	108	0.099907	0.899167	0.000133
Четыре одинаковых	5	820	0.758557	3.792784	0.000563
Общий		1081	1	15.057354	0.002193

В следующей таблице приведены те же данные для случаев, когда в колоде пять одинаковых карт.

Игрок держит пять одинаковых карт.

Рука	Платит	Комбинации	Вероятность	Возвращаться	Келли Утилити
Четыре двойки	200	0	0	0	0
Дикий королевский	25	0	0	0	0
Пять одинаковых	15	1	1	15	0.002222
Прямой смыв	9	0	0	0	0
Четыре одинаковых	5	0	0	0	0
Общий		1	1	15	0.002222

Как видно, коэффициент полезности Келли выше при сохранении пяти одинаковых карт: 0,002222 против 0,002193. В этой конкретной раздаче сохранение пяти одинаковых карт будет правильным решением согласно критерию Келли для банкроллов до 13 290 единиц или для игроков, владеющих четвертью доллара, до 16 613 долларов.

Как я уже говорил, оптимальный размер ставки по Келли для игрока, использующего оптимальную стратегию, составляет 0,03419% от банкролла. Оптимальный размер ставки для игрока, использующего оптимальную стратегию, за исключением того, что он держит в руке карты от 22233 до 22299, составляет 0,03434% от банкролла. Рост банкролла у игрока, использующего оптимальную стратегию, составит 0,0002605% на каждую сделанную ставку. Для игрока, использующего стратегию Келли, этот показатель составит 0,0002615% на каждую сделанную ставку. За каждые 40 000 раздач игрок, следующий оптимальной стратегии и использующий размер ставки по Келли, может ожидать роста банкролла на 10,98%. Консервативный игрок, держащий в руке карты от 22233 до 22299 и использующий размер ставки по Келли, основанный на этой стратегии, может ожидать роста на 11,03% за каждые 40 000 раздач.

Итак, я утверждаю, что в некоторых ситуациях действительно следует отступать от оптимальной стратегии и выбирать более консервативный подход. Я только надеюсь, что Роб Сингер об этом не узнает.

Вчера вечером за столом один из игроков, старый, хитрый, неряшливый и агрессивный игрок, предложил всем сделать пари на равные шансы на флопе. Этот старый ворчун поставил на то, что одна из трех карт на флопе будет либо тузом, двойкой, либо валетом (иногда он менял три различимые карты). Каковы шансы на успех этой ставки? Ваша мудрость была бы очень кстати.

анонимный

До того, как будут показаны какие-либо карты, вероятность того, что на флопе не появятся любые три ранга, составляет комбинация (40,3)/комбинация (52,3) = 9880/22100 = 44,71%. Таким образом, у этого парня было преимущество в 10,59%.

Волшебник, что ты думаешь о новых игровых автоматах с «серверной архитектурой», которые сейчас используются в казино Treasure Island в Лас-Вегасе? По-видимому, эта технология позволяет казино мгновенно менять настройки автоматов из своих бэк-офисов — включая предлагаемые игры, номиналы и… выплаты! Мне кажется, это уже перебор. Что мешает казино целенаправленно выбирать определенных игроков (например, пьяного хайроллера) и усложнять ему задачу выигрыша? Мы все знаем, что казино могут следить практически за любым игроком в любое время. Между видеонаблюдением и теперь этой технологией, кажется, казино получает слишком большое преимущество. Предположим, у игрока за столом возник жаркий спор с дилером или менеджером зала из-за раздачи (что иногда случается); теперь этот же игрок идет к игровым автоматам, и казино может отомстить, уменьшив выплаты на его автомате??!! Конечно, они могут также «предпочитать» определенных игроков… что может быть не менее опасно. Я полностью за то, чтобы разрешалось менять игры и номиналы, но разве регулирующие органы не должны участвовать в определении процентов выплат???

Gary от Charolotte, NC

Я спросил у своего источника, работающего в одном из казино, использующих эту технологию. Помимо «Острова сокровищ», эта технология также применяется в казино Калифорнии, Мичигана и Миссисипи. Вот что он сказал:

«Ничего нельзя изменить, если на игровом автомате есть кредиты. Игровой автомат всегда отклонит любые изменения, отправленные при наличии кредитов на счетчике. В Неваде автомат также должен находиться в режиме ожидания в течение четырех минут до и после внесения каких-либо изменений. Кроме того, это не совсем незаметно для тех, кто стоит перед игровым автоматом. Появляется черное окно с надписью «Выполняется удаленная настройка» (или что-то подобное).»

В основном мы используем наши средства для изменения доступных номиналов ставок в наших играх. Подобно тому, как в настольных играх минимальные ставки повышаются в часы пик в казино, мы убираем ставки более низких номиналов в пятницу утром и возвращаем их в понедельник утром.

Так что будьте уверены, менеджер игрового автомата не сможет ужесточить правила игры только потому, что вы ему не нравитесь. Пока у вас есть средства на счету, ничего изменить нельзя.

Недавно я посетил казино Charles Town Races and Slots, делая ставки на Кентуккийское дерби. Один мужчина латиноамериканского происхождения выиграл крупную сумму в 6000 долларов на игровом автомате, и, похоже, у него возникли проблемы с удостоверением личности. Я пробыл в казино около часа. Проходя мимо него на выходе, всё ещё стоя у автомата, я увидел, что у него всё ещё есть проблемы. Мой вопрос: если у него нет удостоверения личности (по какой-либо причине), может ли он всё равно получить выигрыш? Казино находится в штате Западная Вирджиния. Запрещают ли правила человеку, незаконно находящемуся в стране, делать ставки или выигрывать, если он уже сделал ставку?

John от Ellicott City, MD

Я переслал это Брайану, бывшему сотруднику регулятора игорного бизнеса, а ныне управляющему казино. Вот что он ответил:

Казино не будет знать, что кто-то находится в стране нелегально. Если у него есть действительный паспорт, джекпот будет выплачен. Нелегал может не знать об этом, бояться или не иметь действительного удостоверения личности. Всякий раз, когда кто-то выигрывает 1200 долларов или больше, для целей налогообложения требуется удостоверение личности. Если у кого-то нет удостоверения личности, джекпот будет храниться в кассе в ожидании, пока он его заберет. В большинстве случаев человек законно забыл свое удостоверение личности; однако иногда возникают проблемы, например, с несовершеннолетним, играющим в азартные игры. Если он не заберет выигрыш, деньги придется добавить обратно в доход, потому что вычет (джекпот) так и не был выплачен, или действуют правила, касающиеся брошенного имущества. Кроме того, как и в США, большинство стран облагают налогом доходы со всего мира. С этой целью у США есть налоговые соглашения с несколькими странами, которые предусматривают удержание или уведомление соответствующих правительств о деньгах, выигранных в США, чтобы дядя Сэм всегда получал свою долю.

В 55 088 покерных раздачах у меня была пара на флопе 2787 раз. Из этих 2787 раз я собрал сет 273 раза. Насколько это соответствует ожиданиям?

Linus от Alingsås, Sweden

Для тех, кто не знает, «сет» — это три одинаковые карты после флопа, включая карманную пару. Вероятность не собрать сет составляет (48 + combin(48,3)) / combin(50,3) = 17344 / 19600 = 88,49%. Таким образом, вероятность собрать сет составляет 11,51%. Из 2787 пар вы должны были собрать сет 320,8 раз. Следовательно, вы на 47,8 сетов меньше ожидаемых. Дисперсия равна n × p × (1-p), где n = количество раздач, а p = вероятность собрать сет. В данном случае дисперсия равна 2787 × 0,1176 × 0,8824 = 283,86. Стандартное отклонение равно квадратному корню из этого числа, или 16,85. Таким образом, вы находитесь на 47,8/16,85 = 2,84 стандартных отклонения ниже ожидаемого уровня. Вероятность такого или еще худшего везения можно найти в любой таблице стандартного нормального распределения или в Excel как norsdist(-2,84) = 0,002256, или 1 к 443.