WOO logo

Wizard рекомендует

Спросите Волшебника #207

Отель Wynn пригласил меня на турнир по игровым автоматам со следующей структурой призов.

1-е место: 1 000 000 долларов.
2-е место: 150 000 долларов.
3-6 место: 25 000 долларов
7-8 место: 20 000 долларов
9-50 место: 5000 долларов

Стоимость участия составляет 25 000 долларов, а количество участников ограничено 50 игроками. Легко понять, что ожидаемый выигрыш составляет 30 000 долларов. Однако это очень маловероятно. Какой размер банкролла необходим для участия, чтобы ставка считалась разумной согласно критерию Келли ?

анонимный

Приближение Келли — это преимущество, деленное на дисперсию. Возможные исходы: выигрыш в 39, 5, 0, -0,2 и -0,8 раза больше суммы ставки. Преимущество равно (1/50)×39 + (1/50)×5 + (4/50)×0 + (2/50)× -0,2 + (42/50)×-0,8 = 0,2.

Дисперсия равна Expected(win 2 ) - (Expected(win)) 2 = (1/50)×39 2 + (1/50)×5 2 + (4/50)×0 2 + (2/50)× -0.2 2 + (42/50)×-0.8 2 − 0.2 2 = 31.4192

Таким образом, приблизительная оптимальная ставка Келли составляет 0,2/31,492 = 0,0063655 от суммы банкролла. Для полной ставки в 25 000 долларов необходимый банкролл должен составлять 25 000/0,0063655 = 3 927 400 долларов.

Однако, для таких крупных ставок, я думаю, стоит потратить время на поиск оптимальной ставки Келли. Затем найдите размер ставки b, который максимизирует ожидаемый логарифм банкролла после турнира, следующим образом.

Логарифм банкролла после турнира = (1/50)*log(1+39×b) + (1/50)*log(1+5×b) + (4/50)*log(1) + (2/50)*log(1-0.2×b) + (42/50)*log(1-0.8×b)

Найти ответ на вопрос b не так-то просто. Лично я рекомендую использовать функцию «Поиск решения» в Excel. В результате получится 0,0083418. Таким образом, точная ставка Келли должна составлять 0,0083418 от вашего банкролла. Чтобы оправдать вступительный взнос в размере 25 000 долларов, ваш банкролл должен составлять 25 000 долларов / 0,0083418 = 2 996 937 долларов.

Мне очень нравится ваш сайт. Обсуждения стратегий и вероятностей доставляют мне столько же удовольствия, а то и больше, чем сама игра в азартные игры! Недавно я играл в шестиколодный блэкджек в казино Сент-Луиса. После раздачи карт, они были возвращены в автомат для перемешивания колоды, что указывало на отсутствие одной карты. Дилер приступил к раздаче следующей колоды, а сотрудник казино осмотрел возвращенный набор карт. После завершения раздачи этой колоды, недостающая карта из предыдущей колоды (король) была найдена в неразданной части второй колоды.

Предположим, что этот король был нижней картой и остался в колоде после перемешивания. В этом случае он был бы в игре в первой же колоде (разрезание происходило в задней части колоды). Какое дополнительное преимущество получило казино передо мной благодаря этой ошибке?

Justin от St. Louis, MO

Спасибо за добрые слова. Я предполагаю, что дилер берет карту при мягкой 17 и удваивает ставку после того, как разрешено разделение. Согласно таблице D17 в книге Дона Шлезингера «Blackjack Attack» , удаление одной десятки из каждой колоды увеличивает преимущество казино на 0,5512%. Разделив это на шесть, для игры с шестью колодами эффект составит увеличение преимущества казино на 0,09%.
Мне нужен ваш совет по поводу купона для блэкджека. Насколько я понимаю правила, купон удваивает любой выигрыш до 25 долларов и может быть предъявлен в любое время. Если я поставлю 16,50 долларов и подожду, пока у игрока не будет блэкджека, чтобы использовать его, купон удвоит выигрыш в блэкджеке в размере 24,75 долларов. Или мне следует поставить 25 долларов и использовать его при первом выигрыше любого вида? Каков ожидаемый убыток в обоих случаях? Пожалуйста, предположите, что преимущество казино составляет 0,64%.

Jim от Dallas, Texas

Сначала рассчитаем ожидаемый убыток, если вы поставите 16,50 долларов и подождете до выигрышного блэкджека, чтобы использовать купон. Вероятность блэкджека у игрока равна количеству тузов × количеству десяток / количеству комбинаций из 312 вариантов выбора двух карт из колоды. Это составляет 24 × 96 / комбинация (312,2) = 0,0474895. Если у вас обоих блэкджек, купон вам не поможет. Предполагая, что у игрока блэкджек, вероятность блэкджека у дилера составляет 23 × 95 / комбинация (310,2) = 0,045621. Таким образом, вероятность выигрышного блэкджека у игрока составляет 0,0474895 * (1 - 0,045621) = 0,045323, или один раз из 22,06 раздач. Таким образом, ваша стратегия игры в 22,06 раздачи по 16,50 долларов за каждую приведет к ожидаемому убытку в размере 22,06 × 16,50 × 0,0064 = 2,33 доллара.

Далее, давайте рассчитаем ожидаемый убыток, если вы поставите 25 долларов и подождете до первого выигрыша, чтобы использовать купон. Вероятность любого выигрыша составляет 42,42%, как указано в моем приложении 4 к блэкджеку . Это не совсем подходящая статистика для данной ситуации из-за сложностей с разделением, но достаточно близка. Таким образом, ожидаемое количество раздач, необходимых для выигрыша, составляет 1/0,4242 = 2,36. Ожидаемый убыток от ставок в 2,36 раздачах по 25 долларов каждая составляет 2,36 × 25 долларов × 0,0064 = 0,38 доллара, что на 84% меньше, чем ожидание блэкджека.

В ходе двух недавних посещений столов для баккара результаты явно были предвзятыми в пользу игроков. Пожалуйста, скажите, находятся ли эти результаты в пределах двух стандартных отклонений от ожидаемых результатов для банка и игрока. Я исключил ничьи.

Сессия I
Победы игроков: 282
Банкир одержал 214 побед.

Сессия II
Победы игроков: 879
Банкир выигрывает: 831

Arthur от Wayne, New Jersey

На моей странице, посвященной баккара , мы видим, что вероятности в обычной игре с 8 колодами следующие:

Банкир: 45,86%
Игрок: 44,62%
Ничья: 9,52%

Если не учитывать ничьи, то вероятности для банкира и игрока следующие:

Банкир: 45,68%/(45,68%+44,62%) = 50,68%.
Игрок: 44,62%/(45,68%+44,62%) = 49,32%.

Общее количество раздач в первой сессии составило 282 + 214 = 496. В первой сессии ожидаемое количество выигрышей игроков составляет 49,32% × 496 = 244,62. Фактическое общее количество выигрышей, равное 282, превышает ожидаемое на 282 - 244,62 = 37,38.

Дисперсия для серии событий выигрыша/проигрыша равна n × p × q, где n — число, — размер выборки, p — вероятность выигрыша, а q — вероятность проигрыша. В данном случае дисперсия равна 496 × 0,5068 × 0,4932 = 123,98. Стандартное отклонение равно квадратному корню из этого значения, что составляет 11,13. Таким образом, общее количество выигрышей игроков превысило ожидания на 37,38/11,13 = 3,36 стандартных отклонений. Вероятность результатов, которые будут настолько искажены или более, составляет 0,000393, или 1 из 2544.

Используя математический метод для выборки II, вероятность составляет 0,042234. Если объединить две выборки в одну, вероятность составит 0,000932. Примерно 0,1% недостаточно, чтобы утверждать, что игра "определенно предвзята по отношению к игрокам". Если вы все еще считаете, что игра несправедлива, я бы собрал больше данных для большей выборки.

Коллега по работе клянется, что его мама выигрывает в видеопокер уже 25 лет подряд. Она четыре раза в год ездит в Вегас и всегда выигрывает как минимум 1000 долларов при бай-ине в 400 долларов. Он говорит, что обычно она выигрывает 10 000 долларов. Он расстроен моим неверием в ее удачу. Он хочет поспорить со мной, что его мать будет в выигрыше после четырехчасовой сессии. Стоит ли мне принять это пари с равными шансами?

анонимный

Если она делает ставки стабильно, то да, конечно, берите ставку. Либо она использует какую-то бесполезную прогрессию, либо это преувеличение, полученное из вторых рук. Это натолкнуло меня на мысль: какое оптимальное количество раздач для стороны вашей подруги? Предполагая 9/6 валетов или лучше и оптимальную стратегию, вероятность оказаться впереди максимальна при 136 раздачах, с вероятностью 39,2782%.