Спросите Волшебника #237

Это правда, но не так уж и подозрительно, как вы думаете. Согласно книге Х. К. Тиймса «Понимание вероятности: правила случая в повседневной жизни », один и тот же набор чисел выпадал 21 июня 1995 года и 20 декабря 1986 года в розыгрышах, проводившихся раз в две недели. Розыгрыш 20 декабря 1986 года был 3016-м. Количество комбинаций в лотерее 6/49 равно combin(49,6) = 13 983 816. Вероятность того, что числа во втором розыгрыше не совпадут с числами первого, равна (c-1)/c, где c — количество комбинаций, или 13 983 816. Вероятность того, что в третьем розыгрыше выпадет уникальный набор чисел, равна (c-2)/c. Таким образом, вероятность того, что каждый розыгрыш со 2-го по 3016-й принесет уникальные числа, составляет (c-1)/c × (c-2)/c × ... (c-3015)/c = 0,722413. Следовательно, вероятность того, что хотя бы одна пара чисел совпадет, равна 1 - 0,722413 = 0,277587, или 27,8%. В следующей таблице показана вероятность того, что хотя бы одна пара чисел совпадет в зависимости от количества лет, при условии проведения двух розыгрышей в неделю.

Если вам интересно, то количество розыгрышей, при котором вероятность того, что совпадение впервые превысит 50%, составляет 4404.

Я нечасто это говорю, но понятия не имею. Как вы отметили в другом электронном письме, они имеют формат серийного номера на американских денежных купюрах: две буквы и десятизначное число между ними. Из уважения к авторским правам я не буду указывать здесь, какие это числа.

Для пользы других читателей: иногда в играх с двойными дикими двойками шансы выше, если выпадает одна пара, чем две. Это верно для игр с двойными дикими двойками с полной выплатой (100,76%) и любой распространенной версии бонусных игр с двойными двойками, где фулл-хаус приносит 3 очка. Точный расчет этого был бы очень утомительным и трудоемким. Однако легко заметить, что на барабанах 1, 2, 4 и 5 девять линий выплат проходят через каждую позицию три раза. Тем не менее, на барабане 3 верхняя и нижняя позиции пересекаются только два раза каждая, а средняя позиция — пять раз. Удержание пары, включающей средний столбец, снизит вашу волатильность. В тех 20% случаев, когда средний столбец является единственным символом, я бы рекомендовал держать пару, если она состоит из столбцов 1 и 5 или 2 и 4, если это возможно. Если это невозможно, то держите пару в столбцах 1 и 2 или 4 и 5, если это возможно. В противном случае, не имеет значения, какую пару вы держите в руках.

Главный вопрос, который следует себе задать, делая ставки на подобные события, — какова вероятность того, что выбранная ставка закончится победой, поражением или ничьей? Из моего раздела о ставках на НФЛ мы видим, что 2,8% игр заканчиваются точно в ничью. Давайте для простоты возьмем 3%. Назовем p вероятностью выигрыша при условии, что ставка была сделана. Для игрока, делающего ставки совершенно случайным образом, p, очевидно, составит 50%. Легко улучшить этот показатель, выбирая только аутсайдеров. Как показывает моя ранее упомянутая страница, за 25 сезонов ставки на аутсайдеров с фиксированным коэффициентом привели бы к проценту выигрышей в 51,5%. Также легко улучшить этот показатель еще немного, выбирая наиболее слабые линии по сравнению с рынком в целом. Думаю, с учетом этих двух факторов, достичь 52% несложно. Поэтому я буду верить, что эти ребята смогут хотя бы приблизиться к 52%.

Таким образом, если предположить, что 52% заключенных ставок выигрывают, то общие вероятности таковы:

Победа: 50,44%
Ничья: 3,00%
Убыток: 46,56%

Используя базовую статистику, легко увидеть, что ожидаемый выигрыш на одну ставку при ставке -110 составляет -0,0078. Стандартное отклонение на одну ставку равно 1,0333. Ожидаемый выигрыш за 70 ставок составляет -0,5432, а стандартное отклонение равно 70 ^1/2 × 1,0333 = 8,6452. Выигрыш в 8,5 единиц на 9,0432 единицы выше ожиданий, или 9,0432/8,6452 = 1,0460 стандартных отклонений вправо от ожиданий на кривой Гаусса. Я думаю, мы можем пренебречь поправкой на дискретное распределение из-за ничьих, и некоторые игры, не являющиеся -110/-110, приведут к довольно плавной кривой вниз с коэффициентом 0,05 единиц.

Таким образом, вероятность того, что хотя бы один игрок финиширует с результатом более чем на 1,046 стандартных отклонений выше ожидаемого, составляет 14,77%. Это значение можно найти в любой таблице кривой Гаусса или с помощью формулы =1-normsdist(1,046) в Excel. Вероятность того, что все шесть игроков финишируют с результатом менее 1,046, составляет (1-0,1477) ⁶ =38,31%. Следовательно, вероятность того, что хотя бы один игрок финиширует с результатом более 1,046 стандартных отклонений выше, составляет 61,69%. Это делает ставку на «больше» надежной, если ставить -110. Я показываю, что она справедлива при -161.

В следующей таблице показана вероятность выигрыша ставки «больше 8,5» при различных значениях p. Возможно, человек, устанавливавший ставку, предполагал значение p, близкое к 51%.