Спросите Волшебника #237

Я слышал, что в немецкой лотерее 6/49 одни и те же номера выпадали в разные дни. В этом есть что-то подозрительное. Какова вероятность?

Lotte от Hamburg

Это правда, но не так уж и подозрительно, как вы думаете. Согласно книге Х. К. Тиймса «Понимание вероятности: правила случая в повседневной жизни », один и тот же набор чисел выпадал 21 июня 1995 года и 20 декабря 1986 года в розыгрышах, проводившихся раз в две недели. Розыгрыш 20 декабря 1986 года был 3016-м. Количество комбинаций в лотерее 6/49 равно combin(49,6) = 13 983 816. Вероятность того, что числа во втором розыгрыше не совпадут с числами первого, равна (c-1)/c, где c — количество комбинаций, или 13 983 816. Вероятность того, что в третьем розыгрыше выпадет уникальный набор чисел, равна (c-2)/c. Таким образом, вероятность того, что каждый розыгрыш со 2-го по 3016-й принесет уникальные числа, составляет (c-1)/c × (c-2)/c × ... (c-3015)/c = 0,722413. Следовательно, вероятность того, что хотя бы одна пара чисел совпадет, равна 1 - 0,722413 = 0,277587, или 27,8%. В следующей таблице показана вероятность того, что хотя бы одна пара чисел совпадет в зависимости от количества лет, при условии проведения двух розыгрышей в неделю.

Вероятность совпадения номеров в лотерее 6/49

Годы	Вероятность
5	0.009640
10	0.038115
15	0.083800
20	0.144158
25	0.215822
30	0.295459
35	0.379225
40	0.463590
45	0.545437
50	0.622090
55	0.691985
60	0.753800
65	0.807008
70	0.851638
75	0.888086
80	0.917254
85	0.940000
90	0.957334
95	0.970225
100	0.971954

Если вам интересно, то количество розыгрышей, при котором вероятность того, что совпадение впервые превысит 50%, составляет 4404.

У меня есть головоломка, которую я пытаюсь решить уже несколько месяцев, но безрезультатно. Если позволит время, надеюсь, вы меня выслушаете, потому что она не даёт мне спать по ночам :-). В общем, в глоссарии книги «Beyond Counting — Exhibit CAA» в качестве словарной статьи для «Магических чисел» приведены три последовательности чисел и букв. Одно из этих чисел даже украшает обложку книги, так что я предполагаю, что они имеют какое-то значение. Есть ли у вас какие-нибудь соображения по этому поводу?

анонимный

Я нечасто это говорю, но понятия не имею. Как вы отметили в другом электронном письме, они имеют формат серийного номера на американских денежных купюрах: две буквы и десятизначное число между ними. Из уважения к авторским правам я не буду указывать здесь, какие это числа.

Допустим, вы играете в бонусный покер с двойками (или в любую другую игру, где правильная стратегия — держать и добирать только одну пару из двух сданных пар). При игре в Spin Poker с 9 вариантами комбинаций, когда пары имеют одинаковую ценность, влияет ли позиция каждой пары на то, какую пару следует держать, и если да, то какие позиции являются лучшими и худшими для удержания?

Joe от Denver

Для пользы других читателей: иногда в играх с двойными дикими двойками шансы выше, если выпадает одна пара, чем две. Это верно для игр с двойными дикими двойками с полной выплатой (100,76%) и любой распространенной версии бонусных игр с двойными двойками, где фулл-хаус приносит 3 очка. Точный расчет этого был бы очень утомительным и трудоемким. Однако легко заметить, что на барабанах 1, 2, 4 и 5 девять линий выплат проходят через каждую позицию три раза. Тем не менее, на барабане 3 верхняя и нижняя позиции пересекаются только два раза каждая, а средняя позиция — пять раз. Удержание пары, включающей средний столбец, снизит вашу волатильность. В тех 20% случаев, когда средний столбец является единственным символом, я бы рекомендовал держать пару, если она состоит из столбцов 1 и 5 или 2 и 4, если это возможно. Если это невозможно, то держите пару в столбцах 1 и 2 или 4 и 5, если это возможно. В противном случае, не имеет значения, какую пару вы держите в руках.

Я один из шести участников конкурса по прогнозированию результатов матчей НФЛ. Каждый из нас должен угадать исходы 70 игр сезона, используя коэффициенты крупной интернет-букмекерской конторы, где коэффициенты составляют 20 центов. Один из других участников предложил ставку на тотал (больше/меньше) на самый высокий результат в конце сезона. Его коэффициенты принесли прибыль в размере 8,5 единиц. Предположим, сезон еще не начался, и участники — опытные игроки на спортивных ставках. Что вы думаете об этих коэффициентах и как бы вы их проанализировали?

Rob от Las Vegas, NV

Главный вопрос, который следует себе задать, делая ставки на подобные события, — какова вероятность того, что выбранная ставка закончится победой, поражением или ничьей? Из моего раздела о ставках на НФЛ мы видим, что 2,8% игр заканчиваются точно в ничью. Давайте для простоты возьмем 3%. Назовем p вероятностью выигрыша при условии, что ставка была сделана. Для игрока, делающего ставки совершенно случайным образом, p, очевидно, составит 50%. Легко улучшить этот показатель, выбирая только аутсайдеров. Как показывает моя ранее упомянутая страница, за 25 сезонов ставки на аутсайдеров с фиксированным коэффициентом привели бы к проценту выигрышей в 51,5%. Также легко улучшить этот показатель еще немного, выбирая наиболее слабые линии по сравнению с рынком в целом. Думаю, с учетом этих двух факторов, достичь 52% несложно. Поэтому я буду верить, что эти ребята смогут хотя бы приблизиться к 52%.

Таким образом, если предположить, что 52% заключенных ставок выигрывают, то общие вероятности таковы:

Победа: 50,44%
Ничья: 3,00%
Убыток: 46,56%

Используя базовую статистику, легко увидеть, что ожидаемый выигрыш на одну ставку при ставке -110 составляет -0,0078. Стандартное отклонение на одну ставку равно 1,0333. Ожидаемый выигрыш за 70 ставок составляет -0,5432, а стандартное отклонение равно 70 ^1/2 × 1,0333 = 8,6452. Выигрыш в 8,5 единиц на 9,0432 единицы выше ожиданий, или 9,0432/8,6452 = 1,0460 стандартных отклонений вправо от ожиданий на кривой Гаусса. Я думаю, мы можем пренебречь поправкой на дискретное распределение из-за ничьих, и некоторые игры, не являющиеся -110/-110, приведут к довольно плавной кривой вниз с коэффициентом 0,05 единиц.

Таким образом, вероятность того, что хотя бы один игрок финиширует с результатом более чем на 1,046 стандартных отклонений выше ожидаемого, составляет 14,77%. Это значение можно найти в любой таблице кривой Гаусса или с помощью формулы =1-normsdist(1,046) в Excel. Вероятность того, что все шесть игроков финишируют с результатом менее 1,046, составляет (1-0,1477) ⁶ =38,31%. Следовательно, вероятность того, что хотя бы один игрок финиширует с результатом более 1,046 стандартных отклонений выше, составляет 61,69%. Это делает ставку на «больше» надежной, если ставить -110. Я показываю, что она справедлива при -161.

В следующей таблице показана вероятность выигрыша ставки «больше 8,5» при различных значениях p. Возможно, человек, устанавливавший ставку, предполагал значение p, близкое к 51%.

Прогнозы на матчи НФЛ

Вероятный правильный выбор	Вероятность. Больше побед
50,0%	41,16%
50,5%	46,18%
51,0%	51,33%
51,5%	56,53%
52,0%	61,69%
52,5%	66,72%
53,0%	71,52%