Спросите Волшебника #242

Предположим, есть два футбольных матча, в которых, по моему мнению, у игроков есть преимущество. Допустим, в каждом из них вероятность победы составляет 55%, и мне нужно поставить против 110. Что выгоднее: сделать ставку на оба матча или на экспресс?

Rob от Las Vegas

Хороший вопрос. Прямо говоря, преимущество на одну ставку составляет 0,55 × (10/11) - 0,45 = 0,05. В случае экспресс-ставки преимущество составляет (0,55) ^² × ((21/11) ^² - 1) - (1 - (0,55) ^² ) = 10,25%. Таким образом, похоже, что экспресс-ставка — это лучший способ максимизировать преимущество.

Однако дисперсия выше при экспресс-ставках. Если вы следуете критерию Келли , то вам придется защитить свой банкролл для экспресс-ставки меньшей суммой. В этом примере оптимальная ставка по критерию Келли составляет 5,48% от банкролла, если две игры совпадают, 5,50%, если ваша первая игра заканчивается до того, как вы сделаете ставку на вторую, и 3,88% для экспресс-ставки. Умножив ставку на преимущество, мы получаем 0,00275 для экспресс-ставки (исходя из преимущества в 5,50%) и 0,00397 для экспресс-ставки. Таким образом, экспресс-ставка приносит большую прибыль.

Я рассмотрел общий случай для подобных вопросов, изучив также экспресс-ставки на 3 и 4 команды, а также ставки на победу одной из команд. Предполагая небольшое преимущество для всех ставок, как правило, если вероятность выигрыша каждого события меньше 33%, то следует делать ставку на одну команду. Если вероятность каждой команды находится в диапазоне от 33% до 52%, то следует делать экспресс-ставку на 2 команды. Если вероятность каждой команды находится в диапазоне от 52% до 64%, то следует делать экспресс-ставку на 3 команды. Если вероятность каждой команды превышает 64%, то следует делать экспресс-ставку на 4 команды. Если вы делаете ставки на одну команду, то примерно одинаково выгодно делать как экспресс-ставки на 2 команды, так и на 3 команды, опять же, при условии, что у вас изначально есть преимущество.

Следует подчеркнуть, что если вы азартный игрок-любитель, играющий против преимущества казино (какой игрок на спортивных ставках в этом признается?), то ставка напрямую минимизирует преимущество казино.

В Лондоне в баккара есть пари на победу одного из игроков (Royal Match). Выигрыш выплачивается, если у Банкира или Игрока на первых двух картах окажутся король и королева. Есть ли у вас какие-нибудь коэффициенты на это?

анонимный

При наличии восьми колод преимущество казино составляет 4,5%. Для получения дополнительной информации посетите мою страницу о дополнительных ставках в баккара .

Я был в казино Four Queens, где предлагают как двойной бонус 10/7, так и стратегию 9/6 «Валеты или лучше» . Я знал только стратегию 9/6, поэтому играл по ней. Позже другой игрок в видеопокер упрекнул меня, сказав, что мне было бы лучше играть по стратегии 9/6 на автомате 10/7. Я не согласен. Там на кону ставка в 5 долларов. Кто прав?

James от Las Vegas

Другой игрок в видеопокер прав. Вот таблица выплат для игры «Валеты или лучше» с соотношением 9/6, с учетом комбинации из четырех одинаковых карт, при условии оптимальной стратегии.

Таблица возврата в игре Jacks or Better 9/6 с оптимальной стратегией 9/6

Рука	Платит	Комбинации	Вероятность	Возвращаться
Флеш-рояль	800	493512264	0.000025	0.019807
Прямой смыв	50	2178883296	0.000109	0.005465
Четыре А	25	3900253596	0.000196	0.004892
Четыре 2-4	25	10509511320	0.000527	0.013181
Четыре 5-К	25	32683402848	0,00164	0.040991
Аншлаг	9	229475482596	0.011512	0.10361
Румянец	6	219554786160	0.011015	0.066087
Прямой	4	223837565784	0.011229	0.044917
Три одинаковых	3	1484003070324	0.074449	0.223346
Две пары	2	2576946164148	0.129279	0.258558
Пара	1	4277372890968	0.214585	0.214585
Неплатежеспособная рука	0	10872274993896	0.545435	0
Общий		19933230517200	1	0.995439

Используя приведенные выше вероятности, но применив их к таблице выплат двойного бонуса 10/7, мы получаем следующую таблицу доходности.

Таблица двойного бонуса 10/7 со стратегией 9/6

Рука	Платит	Комбинации	Вероятность	Возвращаться
Флеш-рояль	800	493512264	0.000025	0.019807
Прямой смыв	50	2178883296	0.000109	0.005465
Четыре А	160	3900253596	0.000196	0.031307
Четыре 2-4	80	10509511320	0.000527	0.042179
Четыре 5-К	50	32683402848	0,00164	0.081982
Аншлаг	10	229475482596	0.011512	0.115122
Румянец	7	219554786160	0.011015	0.077102
Прямой	5	223837565784	0.011229	0.056147
Три одинаковых	3	1484003070324	0.074449	0.223346
Две пары	1	2576946164148	0.129279	0.129279
Пара	1	4277372890968	0.214585	0.214585
Неплатежеспособная рука	0	10872274993896	0.545435	0
Общий		19933230517200	1	0.99632

Как видите, доходность составляет 99,63% при игре по стратегии 9/6 на автомате 10/7. Вы получаете прибыль в размере 0,63% благодаря более выгодной таблице выплат, но теряете 0,54% из-за ошибок, что в сумме дает чистую прибыль в размере 0,09%.

В одном из карточных клубов Лас-Вегаса проходит акция: соберите флеш во всех четырех мастях и получите 400 долларов. Необходимо использовать обе свои карманные карты, время ограничено пятью часами. Предположим, что раздача длится 35 раздач в час, и отсчет времени начинается с первого флеша. Какова вероятность собрать остальные три флеша в течение пяти часов? Спасибо.

Annie

Допустим, ваш первый флеш — пики. При скорости 35 раздач в час, за пять часов можно сыграть 175 раздач. Таким образом, у вас есть 175 раздач, чтобы собрать флеш в червах, бубнах и трефах. Я буду исходить из того, что игрок никогда не сбрасывает карты, если есть вероятность собрать флеш в одной из необходимых ему мастей.

Вероятность флеша определенной масти, скажем, червей, с использованием обеих карманных карт равна combin(13,2)×[combin(11,3)×combin(39,2) + combin(11,4)×39 + combin(11,5)]/(combin(52,2)×combin(50,5)) = 10576566/2809475760=0.003764605. В следующих 175 раздачах вероятность пропустить флеш червей составит (1-0.003764605) ¹⁷⁵ =0.51682599.

Было бы неправильно говорить, что вероятность не собрать остальные три масти равна pr(нет флеша червей) + pr(нет флеша бубен) + pr(нет флеша треф), потому что вы удвоите вероятность не собрать две из них. Поэтому следует добавить pr(нет флеша червей или бубен) + pr(нет флеша червей или треф) + pr(нет флеша треф или бубен). Однако это приведет к ошибочному вычитанию вероятности не собрать все три флеша. Поэтому следует добавить pr(нет флеша треф, бубен или червей).

Вероятность того, что за 175 раздач ни разу не выпадут карты одной из двух конкретных мастей, составляет (1-2×0,003764605) ¹⁷⁵ =0,266442448.

Вероятность того, что за 175 раздач ни разу не останется ни одной из трех мастей, составляет (1-3×0.003764605) ¹⁷⁵ =0.137015266.

Таким образом, ответ равен 1-3×0,51682599 + 3×0,266442448 - 0,137015266 = 0,111834108.

Хочу поблагодарить dwheatley за помощь в решении этой проблемы. Она обсуждается на моём форуме Wizard of Vegas .

В казино, предлагающих 5-кратные коэффициенты, если вы ставите сумму, кратную 15 долларам, вам обычно разрешают ставить 75 долларов на 4 или 10, 100 долларов на 5 или 9 и 125 долларов на 6 или 8. Это составляет 5-кратный коэффициент на 4 и 10, 6,67-кратный на 5 и 9 и 8,33-кратный на 6 и 8. Мне интересно, каково преимущество казино в этом случае? Предположительно, оно немного лучше, чем преимущество казино при 5-кратных коэффициентах, указанное на вашей странице, которое предполагает 5-кратный коэффициент для всех чисел.

Zach от New York

По сравнению с 5-кратным коэффициентом, это снижает общее преимущество казино с 0,326% до 0,269%. Я не понимаю, зачем им разрешать ставку с дополнительным коэффициентом на 6 и 8, ведь ставка с 5-кратным коэффициентом в 75 долларов принесет ровно 90 долларов. Однако, если бы они это разрешали, я бы воспользовался дополнительными коэффициентами, если вас устраивает дополнительный риск.