Спросите Волшебника #279

Давайте сначала решим задачу для случая с двумя убытками.

Пусть x — ожидаемое количество будущих бросков кубиков, начиная с самого начала или после любой выигрышной комбинации.
Пусть y — ожидаемое количество будущих переворотов после одного проигрыша.

Мы можем составить следующие два уравнения:

(1) x = 1 + 0,5x + 0,5y

Первый вариант означает, что игрок должен подбросить монету, чтобы изменить состояние. Вероятность выигрыша составляет 50%, игрок остаётся в состоянии x. Вероятность проигрыша составляет 50%, игрок переходит в состояние y.

(2) y = 1 + 0,5x

Снова из состояния y, 1 обозначает бросок в этот момент. Существует 50% вероятность выигрыша, что приводит к возвращению в состояние x. Существует 50% вероятность проигрыша, что завершает игру и не требует дополнительных бросков, поэтому подразумевается 0,5*0.

Умножьте оба уравнения на 2 и переставьте их местами, чтобы получить:
(3) x - y =2
(4) -x + 2y = 2

Сложите два уравнения, чтобы получить:

(5) y = 4

Подставьте это в любое уравнение от (1) до (4) и получите x=6.

В случае трех потерь определим три возможных состояния следующим образом:

Пусть x — ожидаемое количество будущих бросков кубиков, начиная с самого начала или после любой выигрышной комбинации.
Пусть y — ожидаемое количество будущих переворотов после одного проигрыша.
Пусть z — ожидаемое количество будущих переворотов после двух проигрышей.

Исходные уравнения следующие:

x = 1 + 0,5x + 0,5y
y = 1 + 0,5x + 0,5z
z = 1 + 0,5x

Начальные состояния можно представить в матричной форме следующим образом:

Если вы помните матричную алгебру, мы можем решить уравнение относительно x как determinant(A)/determinant(B), где

А =

Б =

В Excel есть удобная функция определения: =mdeterm(диапазон). В данном случае x = mdeterm(матрица A)/mdeterm(матрица B) = 1,75/0,125 = 14.

Для дополнительных последовательных проигрышей мы можем использовать рекурсию. Рассмотрим число 4. Из вышеизложенного мы знаем, что в среднем потребуется 14 подбрасываний монеты, чтобы получить 3 проигрыша подряд. В этот момент монета будет подброшена снова, с 50% вероятностью начала заново. Итак:

x = 14 + 1 + x/2
x/2 = 15
x = 30

Иными словами, прибавьте единицу к предыдущему ответу, а затем удвойте его.

Заметить закономерность несложно. Ожидаемое количество бросков, необходимых для получения n проигрышей подряд, равно ^2n+1-2 .

Этот вопрос был поднят и обсужден на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

При наличии двух карт разных рангов вероятность составления фулл-хауса составляет 1 к 121,6. Вероятность составления фулл-хауса на ривере составляет 1 к 207.

Вероятность собрать такую комбинацию на ривере дважды из двух составляет 1 к 43 006.

Вероятность того, что это произойдет с двумя одинаковыми стартовыми картами, только по рангу, составляет 1 к 3 564 161.

Вероятность того, что это произойдет ровно при соотношении 10 к 2 в обоих случаях, составляет 1 к 295 379 826.

Я спросил об этом бывшего регулятора игорного бизнеса и президента казино в Неваде. Он сказал, что это будет рассматриваться как ситуация «ва-банк», примерно так же, как и случайное отключение в интернет-покере.

Иными словами, в момент смерти игрока формировался дополнительный банк из фишек, находящихся в центре стола. Затем любые дополнительные ставки откладывались в отдельный банк. Если у умершего игрока была самая сильная комбинация, он выигрывал дополнительный банк. Независимо от выигрыша или проигрыша, все фишки, оставшиеся у него на столе после раздачи, откладывались в пользу наследников умершего.

Этот вопрос был поднят и обсужден на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

Если вы не замедляете игру, особенно когда за столом сидят крупные игроки, вы обычно можете показать, как бы вы расставили свои фишки, и спросить дилера: «Вы бы так сделали?». Это также будет зависеть от терпения дилера и/или от того, возражают ли другие игроки. Одна знакомая мне дилерша не любила, когда её спрашивали, потому что, по её словам, это сбивало её с толку, когда ей приходилось самой расставлять фишки. В любой сложной игре, если вы новичок, я бы рекомендовал сначала постараться занять стол один, чтобы не доставлять неудобств другим игрокам множеством вопросов.

Что касается второго вопроса, если игрок действует вопреки традиционному способу игры, то в 80,2% случаев он будет прав. Остальные 19,8% — это еще одна причина, почему пай гоу — такая сложная игра для освоения.

Этот вопрос был поднят и обсужден на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

Для тех, кто не знаком с игрой, поясним: и атакующий, и защищающийся бросают кубики от 1 до 8, в зависимости от количества армий, которыми они располагают на данном этапе сражения. Побеждает тот, у кого большее число. В случае ничьей побеждает защищающийся. Если атакующий проигрывает, он сохраняет одну армию на территории, где начал атаку. Поэтому для атаки ему необходимо иметь как минимум две армии, чтобы в случае победы одна армия могла занять захваченную территорию, а другая осталась на месте.

В следующей таблице показана вероятность победы нападающего при всех 64 комбинациях бросков кубиков.

В следующей таблице показана ожидаемая выгода для атакующего, определяемая как pr(количество побед атакующего)*(количество бросков кубиков защитника)+pr(количество побед защитника)*(количество бросков кубиков атакующего -1). Она показывает, что наибольшая ожидаемая выгода достигается при атаке с 8 очками против противника с 5 очками.

• Уолли выглядит как типичный игрок неазиатской внешности, которого можно встретить за столом для игры в фишки.
• Дилберт — человек научного склада ума, обычно очень щепетильный в вопросах использования правильной терминологии. Называть пай-гоу-покер «пай-гоу» — это неправильно и лениво. Я знаю, что большинство людей так и делают, но от Дилберта я ожидаю большего.
• Во втором кадре Дилберт говорит, что пай-гоу — это «сложная игра, которую трудно освоить после нескольких бокалов алкоголя». Обратите внимание, он сказал «научиться», а не «играть». Пай-гоу-покер не так уж и сложно освоить. Если вы понимаете, как играть в покер, то пай-гоу-покер можно легко объяснить менее чем за минуту. Между тем, тайлы сложно как освоить, так и играть в них.
• Мультфильм вышел в китайский Новый год. Возможно, это была шутка, понятная только членам семьи.

В том маловероятном случае, если Скотт Адамс это прочитает, я был бы рад получить окончательный ответ.

Этот вопрос обсуждался на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .