WOO logo

Wizard рекомендует

Спросите Волшебника #401

Допустим, вероятность попадания в корзину с середины площадки в баскетболе составляет 1%. Сколько бросков в среднем потребуется, чтобы забить три мяча подряд?

Какова общая формула для любой вероятности и любого числа подряд?

seven

Давайте позволим:

  • a=ожидалось больше выстрелов, если исходное состояние или последний выстрел были промахом.
  • b = ожидалось больше выстрелов, предполагая, что последний выстрел был сделан.
  • c = ожидалось больше выстрелов, предполагая, что последние два выстрела были сделаны.

При переходе из одного состояния в другое можно составить следующие уравнения:

a = 1 + 0,01b + 0,99a
b = 1 + 0,01c + 0,99a
c = 1 + (1-p)a

Теперь у нас есть три уравнения и три неизвестных, поэтому мы можем их решить. Я предпочитаю матричную алгебру.

Не вдаваясь в подробности, решение можно выразить как determ(A)/determ(B). Члены в матрицах взяты из трех приведенных выше уравнений.

Ответ на вопрос о соотношении детерминантов равен 101010.

Чтобы ответить на второй вопрос, ответ для любой вероятности p и числа n последовательных успехов будет следующим:

(1/p)^n + (1/p)^(n-1) + (1/p)^(n-2) + ... + (1/p)^2 + (1/p)^1

В случае данной задачи общая формула показывает ответ: 100³ + 100² + 100¹ = 1000000 + 10000 + 100 = 1010100

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

Из колоды вынимаются 13 карт любой масти. По одной карте раздаётся двум логикам: Алексу и Бобу. Двойки — младшие карты, тузы — старшие. Каждый логик может посмотреть на свою карту. Затем Алекс может предложить Бобу поменяться картами. Если предложение сделано, Боб может принять или отклонить его. Какова должна быть оптимальная стратегия обоих игроков?

анонимный

Алекс должен предлагать только с оценкой 2. Боб должен принимать только с оценкой 2.

Чтобы ответить на этот вопрос самостоятельно, я поэкспериментировал с различными стратегиями, а именно:

Если Алекс поменяется местами, получив 4 или меньше, Боб должен принять предложение, получив 2, и остаться равнодушным, получив 3. Вероятность выигрыша Боба составляет 56,7%.

Если Алекс поменяется местами, выбрав 3 или меньше, Боб должен принять предложение, выбрав только 2. Вероятность выигрыша Боба составляет 53,3%.

Если Алекс поменяется местами только на 2, Боб всегда должен отклонить предложение. Вероятность выигрыша Боба составляет 50,0%.

Суть в том, что Боб должен быть более разборчивым при выборе варианта обмена, чем Алекс. Если Алекс меняет вариант, выбрав 3 или выше, Боб может получить преимущество, имея более низкие критерии для обмена. Единственный способ защититься от такого поражения для Алекса — это сменить вариант, выбрав только 2. Зная это, Боб никогда не станет менять вариант, если ему предложат. Таким образом, если играют два логика, Алекс должен предложить обмен, выбрав только 2. Боб всегда должен отклонять это предложение.

Однако, в маловероятном случае, если у Боба окажется двойка и ему предложат обменяться картами, Боб, конечно же, должен будет согласиться, полагая, что Алекс либо неправильно понял карту, либо не настоящий логик.

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

В среднем, сколько вращений рулетки требуется, чтобы увидеть повторение числа?

анонимный

Вы не указали тип колеса, но вот ответ всеми тремя способами:

  • Один ноль = 8,306669466
  • Двойной ноль = 8,408797212
  • Тройной ноль = 8,509594851

В следующей таблице показана вероятность первого повторения при каждом вращении для всех трех колес.

Вероятность повторения числа

Вращаться Одинокий
Ноль		 Двойной
Ноль		 Тройной
Ноль
1 0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000
2 0.0270270270 0.0263157895 0.0256410256
3 0.0525931337 0.0512465374 0.0499671269
4 0.0746253924 0.0728240268 0.0711070652
5 0.0914329132 0.0894330154 0.0875163879
6 0.1019353424 0.1000237672 0.0981754352
7 0.1057923554 0.1042352943 0.1027066091
8 0.1034096446 0.1024066049 0.1013898577
9 0.0958236089 0.0954768346 0.0950762036
10 0.0844931146 0.0847985044 0.0850200666
11 0.0710452616 0.0719051646 0.0726667236
12 0.0570282235 0.0582810281 0.0594376534
13 0.0437169674 0.0451747682 0.0465525677
14 0.0320000324 0.0334848063 0.0349144258
15 0.0223534530 0.0237240530 0.0250667672
16 0.0148879175 0.0160538705 0.0172161863
17 0.0094424270 0.0103646041 0.0113008813
18 0.0056941663 0.0063755953 0.0070811612
19 0.0032589823 0.0037306115 0.0042294718
20 0.0017665054 0.0020725619 0.0024039306
21 0.0009046116 0.0010908221 0.0012976683
22 0.0004364140 0.0005425405 0.0006638073
23 0.0001977062 0.0002542733 0.0003209618
24 0.0000837944 0.0001119289 0.0001462658
25 0.0000330845 0.0000461035 0.0000626155
26 0.0000121086 0.0000176932 0.0000250863
27 0.0000040842 0.0000062951 0.0000093656
28 0.0000012609 0.0000020644 0.0000032419
29 0.0000003534 0.0000006197 0.0000010345
30 0.0000000890 0.0000001689 0.0000003022
31 0.0000000199 0.0000000414 0.0000000802
32 0.0000000039 0.0000000090 0.0000000191
33 0.0000000007 0.0000000017 0.0000000040
34 0.0000000001 0.0000000003 0.0000000007
35 0.0000000000 0.0000000000 0.0000000001
36 0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000
37 0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000
38 0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000
39 0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000