Спросите Волшебника #421

Предположим, что все игроки обладают одинаковым уровнем мастерства. Какова вероятность того, что команда, подающая первой в пиклболе, выиграет всю игру?

анонимный

Позвольте напомнить остальным читателям правила подсчёта очков в пиклболе.

Побеждает команда, первой набравшая 11 очков и выигравшая с преимуществом не менее двух очков.
В каждой команде по два игрока, я буду называть их игроком 1 и игроком 2. Я буду называть эти две команды A и B, причём команда A подаёт первой.
Подача от игрока №2 команды А.
Если команда А из шага 3 выигрывает розыгрыш, она получает очко, и тот же игрок подает снова. Это продолжается до тех пор, пока команда Б не выиграет розыгрыш.
Игрок 1 из команды B подает.
Если команда B из шага 5 выигрывает розыгрыш, она получает очко, и тот же игрок подает снова. Это продолжается до тех пор, пока команда A не выиграет розыгрыш.
Подача от игрока №2 команды B.
Если команда B из шага 5 выигрывает розыгрыш, она получает очко, и тот же игрок подает снова. Это продолжается до тех пор, пока команда A не выиграет розыгрыш.
Подача от игрока 1 команды А.
Если команда А из шага 7 выигрывает розыгрыш, она получает очко, и тот же игрок подает снова. Это продолжается до тех пор, пока команда Б не выиграет розыгрыш.
Вернитесь к правилу 3.

Обратите внимание, что принимающая команда не может выиграть очки. Она играет на то, чтобы отыграть свою подачу.

Проще говоря, один и тот же игрок подает и зарабатывает очко за каждый выигранный розыгрыш, пока другая команда не выиграет розыгрыш. Принимающая команда не получает очков. Когда очередь подавать переходит от одной команды к другой, оба игрока подающей команды получают возможность подать. Чтобы сделать шансы более справедливыми, игра начинается с подачи второго игрока одной из команд. Это продолжается до тех пор, пока у любой из команд не будет как минимум 11 очков и разница в счете не менее 2 очков.

Тем не менее, мой ответ таков: вероятность победы подающей команды составляет 0,499999997522. Задача была решена с помощью цепи Маркова.

Этот вопрос был задан и обсуждался на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

Предположим, у нас есть лотерея, в которой случайным образом выбираются 6 шаров в диапазоне от 1 до 54. Какова вероятность того, что из 50 розыгрышей хотя бы один шар не будет вытянут?

KevinAA

Ответ: 0.140150159777671.

[spoiler=Решение]

Для начала нужно выяснить, какова вероятность того, что какое-либо конкретное число не будет названо в 50 розыгрышах. Ответ: (комбинация(53,6)/комбинация(54,6)) ⁵⁰ = (8/9) ⁵⁰ = 0,002769325.

Чтобы узнать вероятность того, что ни один номер не будет назван в 50 розыгрышах, умножьте приведенное выше число на 54: 54 × 0,002769325 = 0,149543533246569.

Однако это ситуации двойного подсчета, когда два числа не названы в 50 играх. Вероятность того, что два конкретных числа не названы в 50 играх, составляет (комбинация(52,6)/комбинация(54,6)) ⁵⁰ = 0,788260 ⁵⁰ = 0,00000681512. Существует комбинаций(54,2) = 1431 способов выбрать любые два шара из 54. Таким образом, вероятность того, что любые два шара не названы в 50 играх, составляет 1431 × (комбинация(52,6)/комбинация(54,6)) ⁵⁰ = 0,009752432.

Итак, теперь у нас есть 0,149543533246569 - 0,009752431939662 = 0,139791101306907.

Однако, указанная выше корректировка двойного учета учитывает ситуации, когда три числа не названы в 50 играх. Вероятность составляет combin(54,3)*(combin(51,6)/combin(54,6)) ⁵⁰ = 0,000367891216781.

Итак, теперь у нас есть 0,149543533246569 - 0,009752431939662 + 0,000367891216781 = 0,140158992523688.

Мы продолжаем это делать, чередуя сложение и вычитание. Excel может обрабатывать только около 15 значащих цифр, поэтому нам нужно обработать только восемь пропущенных чисел, чтобы получить правильный результат в пределах этих 15 значащих цифр.

В итоге вероятность составляет 0,140150159777671.

[/спойлер]

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

Предположим, что справедливые коэффициенты на событие составляют 6,3 к 1. Букмекерская контора предлагает эту ставку с коэффициентом 6 к 1. Если бы они хотели предложить ставку на победу фаворита с тем же преимуществом, что и у аутсайдера, какие коэффициенты они должны предложить?

анонимный

Если справедливые шансы составляют 6,3 к 1, то вероятность выигрыша равна 1/7,3.

Ставка на аутсайдера выплачивается с коэффициентом 6 к 1, что эквивалентно 7 к 1. Таким образом, ожидаемый выигрыш составляет 7/7,3 = 70/73 = 0,958904.

Вероятность победы фаворита составляет 6,3/7,3 = 63/73.

Давайте обозначим вероятность победы фаворита как f, исходя из соотношения "один к одному".

Решите уравнение относительно f, так чтобы:

(63/73) × f = 70/73.

Умножьте обе стороны на 73:

63f = 70

f = 70/63 = 10/9

Чтобы перевести это в соотношение «к одному», вычтите 1. Таким образом, шансы на победу фаворита следует установить равными 1 к 9.