Крэпс - Кубики и броски

Измените игральную кость так, чтобы на одной стороне каждой игральной кости была шестерка, а на другой — только единицы и пятерки.

Спасибо за добрые слова. Нет, я не думаю, что выдача желаемого за действительное помогает в казино, при прочих равных условиях.

Вопрос о влиянии игральных костей является предметом жарких дебатов. Лично я отношусь к этому очень скептически. Перечитывая этот ответ в 2013 году, я до сих пор не вижу убедительных доказательств того, что кто-либо может повлиять на результат настолько, чтобы получить преимущество.

Я отношусь к этому очень скептически. Некоторые эксперименты на эту тему я описываю в приложении 3 к моей книге о крэпсе .

Я в это не верю. До сих пор я не видел ни одного уважаемого мною человека, который бы одобрил этот метод, и никаких доказательств его эффективности. Хотя я не исключаю полностью такую возможность, я отношусь к этому крайне скептически. Я, может быть, и живу в Неваде, но когда дело доходит до таких вещей, как расстановка игральных костей, я из Миссури, «покажите мне», что это работает.

В случае с обычными игральными костями, такими, какие используются в настольных играх, это верно. Однако в игральных костях казино есть инкрустированные точки. На заводе сверлят отверстия для точек, а затем вставляют в них белые точки той же плотности, что и сама игральная кость. Таким образом, игральная кость по сути представляет собой идеальный куб. Даже если бы они использовали обычные игральные кости из настольной игры, я сомневаюсь, что это смещение было бы достаточно сильным, чтобы перевесить преимущество казино.

Я думаю, что не бывает от природы плохих игроков в кости. За исключением, возможно, нескольких профессионалов, все броски костей можно считать абсолютно случайными. Существуют семинары о том, как преодолеть преимущество казино в крэпсе с помощью прецессионного броска, но я не делаю никаких заявлений за или против них. Я пока не видел достаточно доказательств ни в пользу, ни против.

Я проиграл 1800 долларов другому автору статей об азартных играх, а не Стэнфорду. Я бы предпочел больше бросков, но было очевидное ограничение по времени. Предполагая один бросок в минуту, потребовалось бы 34,7 дня, чтобы бросить кости 50 000 раз. Я не тот, кто выбрал 500, но это показалось разумным компромиссом между большим размером выборки и временем. Вы правы, 500 слишком мало, чтобы убедительно доказать за или против влияния бросков костей, но 500 бросков лучше, чем ноль.

Для большого количества бросков мы можем использовать аппроксимацию кривой Гаусса. Ожидаемое количество семерок из 655 бросков составляет 655 × (1/6) = 109,1667. Дисперсия равна 655 × (1/6) × (5/6) = 90,9722. Стандартное отклонение равно sqr(90,9722) = 9,5379. Ваши 78 семерок на 109,1667 − 78 = 31,1667 меньше ожидаемого значения. Это (31,1667 - 0,5)/9,5379 = 3,22 стандартных отклонения ниже ожидаемого значения. Вероятность отклонения на 3,22 или более стандартных отклонений от ожидаемого значения составляет 0,000641, или 1 к 1560. Этот результат я получил в Excel, используя формулу normsdist(-3.22).

Спасибо за добрые слова. Не следует говорить, что вероятность того, что броски были неслучайными, равна p. Правильнее было бы сформулировать это так: вероятность того, что случайная игра даст такой результат, равна p. Никто не ожидал, что 500 бросков что-либо докажут или опровергнут. Не я установил линию в 79,5 семерок, но сомневаюсь, что она была выбрана с целью статистической значимости; скорее, я подозреваю, что это была точка, при которой обе стороны согласились бы на пари.

Уровень значимости 2,5% составляет 1,96 стандартных отклонений от ожидаемого значения. Это можно рассчитать с помощью формулы =normsinv(0,025) в Excel. Стандартное отклонение для 500 бросков равно sqr(500*(1/6)*(5/6)) = 8,333. Таким образом, 1,96 стандартных отклонений — это 1,96 * 8,333 = 16,333 бросков в сторону меньше ожидаемого значения. Ожидаемое количество семерок в 500 бросках составляет 500*(1/6) = 83,333. Таким образом, 1,96 стандартных отклонений в сторону меньше этого значения равно 83,333 − 16,333 = 67. Проверив это с помощью биномиального распределения, получаем, что точная вероятность выпадения 67 или менее семерок составляет 2,627%.

Нет определенной точки, после которой можно заслужить уверенность. Это вопрос степени. Во-первых, я бы спросил, что именно проверяется и что, по оценке стрелка, произойдет. В любом тесте возможны две ошибки. Опытный стрелок может провалить тест из-за невезения, а случайный стрелок может пройти его из-за удачи. Из этих двух я бы предпочел избежать ложноположительного результата. Думаю, разумный тест должен устанавливать вероятность ложноотрицательного результата примерно на уровне 5%, а ложноположительного — примерно на уровне 1%.

Например, предположим, что истец утверждает, что в среднем выпадает одна семерка каждые семь бросков игральных костей. Случайный стрелок в среднем выбрасывает одну семерку каждые шесть бросков. Методом проб и ошибок я обнаружил, что для проверки, удовлетворяющей обоим этим критериям, необходимо бросить кости 3600 раз и получить не более 547 семерок, или одну семерку на 6,58 бросков.

У одного из семи стрелков в среднем должно выпадать 514,3 семерки, со стандартным отклонением 21,00. Используя гауссову аппроксимацию, вероятность того, что такой опытный стрелок выбросит 548 или более семерок (ложноотрицательный результат), составляет 5,7%. У случайного стрелка в среднем должно выпадать 600 семерок, со стандартным отклонением 22,36. Вероятность того, что случайный стрелок пройдет тест (ложноположительный результат), составляет 0,94%. На графике ниже показаны возможные результаты для опытных и случайных стрелков. Если результаты находятся слева от зеленой линии, то я бы посчитал, что стрелок прошел тест, и сделал бы на него ставку.

Практическая дилемма заключается в том, что если предположить два броска в минуту, то на проведение теста потребуется 30 часов. Возможно, я мог бы быть более либеральным в отношении уровня значимости, чтобы сократить затраты времени, но результаты не были бы такими убедительными. Я думаю, что настало время для более масштабного теста, чем эксперимент Вонга с 500 бросками.

Во-первых, она бросила кости в общей сложности 154 раза, причём 154-й бросок выпал на семёрку ( Источник: NJ.com ). Однако это не означает, что она ни разу не выбросила семёрку за первые 153 броска. Она могла выбросить их много раз при первом броске. Как я показываю в своей колонке от 3 мая 2003 года , вероятность дойти до 154-го броска составляет 1 к 5,6 миллиардам. Шансы выиграть в Mega Millions составляют 1 к комбинации (56,5)*46 = 175 711 536. Таким образом, дойти до 154 или более бросков примерно в 32 раза сложнее. При достаточном количестве времени и таблицах, которые, как я думаю, существуют, что-то подобное должно было произойти рано или поздно. Поэтому я бы не стал подозревать мошенничество. Я приблизительно оцениваю вероятность того, что это произойдёт в любой конкретный год, примерно в 1%.

См. также мое решение, выраженное в матрицах, на сайте mathproblems.info , задача 204.

7,7%.

Критерий хи-квадрат идеально подходит для решения подобных задач. Для использования критерия возьмите (ae) ^² /e для каждой категории, где a — фактический результат, а e — ожидаемый результат. Например, ожидаемое количество бросков, дающих в сумме 2, из 244 составляет 244 × (1/36) = 6,777778. Если вы не понимаете, почему вероятность выпадения 2 равна 1/36, пожалуйста, прочтите мою страницу об основах вероятности при бросках игральных костей . Для значения хи-квадрат, дающего в сумме 2, a=6 и e=6,777778, поэтому (ae) ^² /e = (6-6,777778) ^² /6,777778 = 0,089253802.

Результаты критерия хи-квадрат

Сумма выпавших кубиков	Наблюдения	Ожидал	Хи-квадрат
2	6	6.777778	0.089253
3	12	13.555556	0.178506
4	14	20.333333	1.972678
5	18	27.111111	3.061931
6	23	33.888889	3.498725
7	50	40.666667	2.142077
8	36	33.888889	0.131512
9	37	27.111111	3.607013
10	27	20.333333	2.185792
11	14	13.555556	0.014572
12	7	6.777778	0.007286
Общий	244	244	16.889344

Затем возьмите сумму значений в столбце хи-квадрат. В этом примере сумма равна 16,889344. Это называется статистикой хи-квадрат. Число «степеней свободы» на единицу меньше, чем число категорий в данных, в данном случае 11-1=10. Наконец, либо найдите в статистической таблице значение хи-квадрат, равное 10,52, и 10 степеней свободы, либо используйте формулу =chidist(16,889344,10) в Excel. В любом случае вы получите результат 7,7%. Это означает, что вероятность того, что честные игральные кости дадут результаты с таким или более сильным искажением, составляет 7,7%. В итоге, хотя эти результаты более искажены, чем ожидалось, они не настолько, чтобы вызывать какие-либо вопросы. Если вы продолжите этот тест, я бы посоветовал собирать индивидуальные результаты каждой игральной кости, а не их сумму. Следует также отметить, что критерий хи-квадрат неприменим, если ожидаемое число исходов в категории невелико. Обычно используется значение 5, минимальное ожидаемое число.

Действительность броска зависит от места. В правилах штата Нью-Джерси, касающихся азартных игр, в пункте 19:47-1.9(a) говорится:

Бросок игральных костей считается недействительным, если одна или обе кости выпадают за пределы стола или если одна кость оказывается поверх другой. -- NJ 19:47-1.9(a)

В Пенсильвании действует точно такое же положение, Раздел 537.9(a) :

Бросок игральных костей считается недействительным, если одна или обе кости выпадают за пределы стола или если одна кость оказывается поверх другой. -- PA 537.9(a)

Я спросил дилера по игре в кости в Лас-Вегасе, и он сказал, что здесь это будет считаться действительным броском, если в остальном это правильный бросок. Хотя он никогда не видел, чтобы такое случалось, он сказал, что если бы это произошло, дилеры просто передвинули бы верхнюю кость, чтобы посмотреть, на какое число выпало нижнее число. Однако результат броска нижнего кубика можно определить, не прикасаясь к верхнему и не глядя на него. Вот как это сделать. Во-первых, посмотрев на четыре грани, можно сузить круг возможных вариантов до двух. Вот как это определить, исходя из этих трех вариантов.

• 1 или 6: Ищите цифру 3. Если верхняя точка граничит с 5, то 1 находится сверху. В противном случае, если она граничит с 2, то 6 находится сверху.
• 2 или 5: Ищите цифру 3. Если верхняя точка граничит с 6, то 2 находится сверху. В противном случае, если она граничит с 1, то 5 находится сверху.
• 3 или 4: Ищите цифру 2. Если верхняя точка граничит с 6, то 3 находится сверху. В противном случае, если она граничит с 1, то 4 находится сверху.

Этот вопрос был поднят и обсужден на форуме моего дочернего сайта Wizard of Vegas .

Этот вопрос был задан на сайте TwoPlusTwo.com, и на него правильно ответил BruceZ . Следующее решение использует тот же метод, что и BruceZ, который заслуживает должного признания. Это сложный ответ, поэтому будьте внимательны.

1. Для начала рассмотрим ожидаемое количество бросков, необходимых для получения в сумме двух чисел. Вероятность выпадения двойки составляет 1/36, поэтому в среднем потребуется 36 бросков, чтобы получить первую двойку.

2. Далее рассмотрим ожидаемое количество бросков, необходимых для получения двойки и тройки. Мы уже знаем, что в среднем потребуется 36 бросков, чтобы получить двойку. Если тройка выпадает во время ожидания двойки, то дополнительных бросков для тройки не потребуется. Однако, если нет, то для получения тройки придется бросить больше кубиков.

   Вероятность выпадения тройки составляет 1/18, поэтому в среднем потребуется 18 дополнительных бросков, чтобы получить тройку, если сначала выпадет двойка. Учитывая, что существует 1 способ выбросить двойку и 2 способа выбросить тройку, вероятность того, что сначала выпадет двойка, составляет 1/(1+2) = 1/3.

   Таким образом, существует вероятность 1/3, что нам потребуется еще 18 бросков, чтобы получить тройку. Следовательно, ожидаемое количество бросков, чтобы получить и двойку, и тройку, составляет 36 + (1/3) × 18 = 42.

3. Далее, подумайте, сколько еще бросков вам понадобится, чтобы получить четверку. К тому моменту, когда вы выбросите двойку и тройку, если вы еще не получили четверку, вам придется бросить кубики в среднем еще 12 раз, чтобы получить ее. Это потому, что вероятность выпадения четверки составляет 1/12.

   Какова вероятность получить четверку раньше, чем двойку и тройку? Для начала давайте вспомним распространенное правило вероятности для случаев, когда A и B не являются взаимоисключающими:

   пр(А или В) = пр(А) + пр(В) - пр(А и В)

   Вы вычитаете pr(A и B), потому что эта случайная величина учитывается дважды в pr(A) + pr(B). Таким образом,

   pr(4 перед 2 или 3) = pr(4 перед 2) + pr(4 перед 3) - pr(4 перед 2 и 3) = (3/4)+(3/5)-(3/6) = 0,85.

   Вероятность того, что на пути к двойке и тройке не выпадет четверка, составляет 1,0 - 0,85 = 0,15. Таким образом, существует 15% вероятность того, что потребуется еще 12 бросков. Следовательно, ожидаемое количество бросков для получения двойки, тройки и четверки составляет 42 + 0,15 * 12 = 43,8.

4. Далее, подумайте, сколько еще бросков вам понадобится, чтобы получить пятерку. К тому моменту, когда вы выбросите от двойки до четырех, если пятерка еще не выпала, вам придется бросить кубики в среднем еще 9 раз, чтобы получить ее, потому что вероятность выпадения пятерки составляет 4/36 = 1/9.

   Какова вероятность получить пятерку раньше, чем двойку, тройку или четверку? Общее правило таково:

   pr (A или B или C) = pr(A) + pr(B) + pr(C) - pr(A и B) - pr(A и C) - pr(B и C) + pr(A и B и C)

   Итак, pr(5 до 2, 3 или 4) = pr(5 до 2)+pr(5 до 3)+pr(5 до 4)-pr(5 до 2 и 3)-pr(5 до 2 и 4)-pr(5 до 3 и 4)+pr(5 до 2, 3 и 4) = (4/5)+(4/6)+(4/7)-(4/7)-(4/8)-(4/9)+(4/10) = 83/90. Вероятность не получить четверку на пути к двойке или четверке составляет 1 - 83/90 = 7/90. Таким образом, существует 7,78% вероятность того, что потребуется 7,2 дополнительных броска. Следовательно, ожидаемое количество бросков для получения двойки, тройки, четверки и пятерки составляет 43,8 + (7/90)*9 = 44,5.

5. Продолжайте следовать той же логике, доведя общее число до шести-двенадцати. Количество вычислений, необходимых для определения вероятности получения следующего числа до того, как оно выпадет, будет зависеть от того, насколько примерно удваивается каждое последнее число. К тому моменту, когда вы дойдете до двенадцати, вам придется выполнить 1023 вычисления.

   Вот общее правило для pr(A или B или C или ... или Z)

   pr(A или B или C или ... или Z) =
   pr(A) + pr(B) + ... + pr(Z)
   - pr (A и B) - pr (A и C) - ... - pr (Y и Z) Вычтите вероятность каждой комбинации двух событий
   + pr (A и B и C) + pr(A и B и D) + ... + pr(X и Y и Z) Сложите вероятности каждой комбинации из трех событий
   - pr (A и B и C и D) - pr (A и B и C и E) - ... - pr (W и X и Y и Z) Вычтите вероятность каждой комбинации из четырех событий

   Затем повторяйте эти действия, не забывая добавлять вероятности для нечетного числа событий и вычитать вероятности для четного числа событий. Очевидно, что при большом количестве возможных событий это становится утомительным, и на практике для этого требуется электронная таблица или компьютерная программа.

В следующей таблице показано ожидаемое количество бросков для каждого этапа. Например, 36 для получения двойки, 42 для получения двойки и тройки. В нижней правой ячейке указано ожидаемое количество бросков для получения всех 11 сумм, равное 61,217385.

Этот вопрос был поднят и обсужден на форуме моего дочернего сайта Wizard of Vegas .

Волшебник говорит, что этот сайт звучит как сплошная тирада и бред без каких-либо убедительных доказательств, подтверждающих обвинение. Я был бы рад разоблачить любое казино, использующее предвзятые игральные кости, если бы у меня были хоть какие-то доказательства.

Если у кого-либо есть достоверные доказательства предвзятости бросков кубиков, я с удовольствием изучу их и опубликую свои выводы. В качестве доказательств я хотел бы увидеть либо журналы бросков, либо, что еще лучше, реальные примеры предполагаемой предвзятости бросков кубиков.

Более того, если казино действительно использовали игральные кости, которые выдавали больше семерок, чем ожидалось, то почему эти детективы не осведомлены о заговоре, в рамках которого делались ставки на то, что выпадет неверный ход, и как они манипулировали коэффициентами?

Нажмите на следующую кнопку, чтобы увидеть ответ.

[спойлер]Ответ: 1983,33.[/spoiler]

Нажмите на следующую кнопку, чтобы получить решение.

[спойлер] Пусть x — ответ. Пока игрок не выбросит семерку, он всегда может рассчитывать на то, что в будущем его выигрыш будет равен x, в дополнение ко всем предыдущим выигрышам. Другими словами, у бросания кубиков есть свойство отсутствия памяти: независимо от того, сколько бросков вы уже сделали, вы ни на шаг не приблизились к семерке, чем были в начале.

Я не буду вдаваться в основы вероятностей, связанных с игральными костями, но скажу лишь, что вероятность каждой суммы выпадений следующая:

• 2: 1/36
• 3: 2/36
• 4: 3/36
• 5: 4/36
• 6: 5/36
• 7: 6/36
• 8: 5/36
• 9: 4/36
• 10: 3/36
• 11: 2/36
• 12: 1/36

Прежде чем рассматривать утешительный приз, значение x можно выразить следующим образом:

x = (1/36)*(1000 + x) + (2/36)*(600 + x) + (3/36)*(400 + x) + (4/36)*(300 + x) + (5/36)*(200 + x) + (5/36)*(200 + x) + (4/36)*(300 + x) + (3/36)*(400 + x) + (2/36)*(600 + x) + (1/36)*(1000 + x)

Далее умножьте обе стороны на 36:

36x = (1000 + x) + 2*(600 + x) + 3*(400 + x) + 4*(300 + x) + 5*(200 + x) + 5*(200 + x) + 4*(300 + x) + 3*(400 + x) + 2*(600 + x) + (1000 + x)

36x = 11200 + 30x

6x = 11 200

x = 11 200/6 = 1866,67.

Далее, размер утешительного приза составляет 700*(6/36) = 116,67.

Таким образом, средний выигрыш по бонусу составляет 1866,67 + 116,67 = 1983,33.

[/spoiler]