Крэпс - Вероятность

Это называется коэффициентами 3-4-5X и сейчас довольно распространено. В следующей таблице показаны все возможные исходы, как для паса, так и для коэффициентов в совокупности, с указанием полных коэффициентов.

Среднее количество бросков на одного игрока составляет 8,525510. Вероятность выпадения ровно 2 бросков до 200 бросков можно посмотреть на моей странице, посвященной вероятности выживания в крэпсе .

Из этих 100 набранных очков в среднем 41,67 будут при оценке 6 или 8, 33,33 — при оценке 5 или 9, и 25,00 — при оценке 4 или 10. В среднем можно ожидать 18,94 очка при оценке 6 или 8, 13,33 — при оценке 5 или 9 и 8,33 — при оценке 4 или 10.

Ну, любой может ошибиться, но крэпс — это игра, которую легко анализировать математически, поэтому я был бы очень уверен в правильности своих прогнозов. Да, азартные игры в той или иной форме — это моя основная профессия, которой я занимаюсь на себя. Я много раз бывал в Атлантик-Сити за последние несколько лет, но два месяца назад переехал в Лас-Вегас. Так что, боюсь, я больше не буду часто бывать в Атлантик-Сити. Я предпочитаю комбинаторный подход случайным симуляциям, когда это возможно. В любом случае, я разрабатываю собственное программное обеспечение на Visual C++. Для генерации случайных чисел я использую генератор случайных чисел Мерсенна .

Спасибо за добрые слова. Вот мои ответы.

1. Если мы определим преимущество казино как ожидаемый убыток на каждую неразрешенную ставку (без учета ничьих), то преимущество казино на ставке «не пас» составит 1,40%, что лишь немного меньше, чем 1,41% на ставку «пас». Если игрок может поставить больше денег на сторону «не пас», что имеет место в реальных, но не в интернет-казино, то совокупное преимущество казино тем больше в пользу стороны «не пас», чем больше кратное допустимых коэффициентов.

2. Если игрок сохраняет свои коэффициенты на первом броске, то общее преимущество казино не меняется, если игрок добавляет ставки на начало игры, подкрепленные коэффициентами. Однако, если игрок не использует коэффициенты, что является правилом по умолчанию, то общее преимущество казино фактически немного увеличится за счет добавления ставок на начало игры.

Пожалуйста, спасибо за добрые слова. Вероятность того, что n раз выпадет семерка, а затем выпадет семерка, равна (5/6) ⁿ * (1/6). Вероятность того, что n раз выпадет не семерка, без указания следующего броска, будет равна (5/6) ⁿ . Таким образом, вероятность того, что семерка выпадет хотя бы четыре раза, будет равна (5/6) ⁴ = 625/1296 = 0,4823.

Ниже приведены возможные исходы ставки «пас/ком» и соответствующие им вероятности:

• Победы игрока при первом броске кубика: 22,22%
• Проигрыш игрока при первом броске: 11,11%
• Игрок выигрывает по очкам: 27,07%
• Проигрыш игрока по очкам: 39,60%

Таким образом, игрок выиграет примерно в 1 случае из 3,7 бросков кубика.

Это хороший вопрос. Очевидно, что играть по правилам толпы гораздо веселее, чем против них. Вопрос в том, почему толпа предпочитает линию «пас»? Возможно, это просто традиция. Может быть, когда люди только начинали играть в крэпс в частных играх, вариант «не пас» даже не существовал.

Хороший вопрос. Давайте рассмотрим это в единицах, а не в ставках по 100 долларов. Вы всегда будете делать ставку на «пас» или «ком». При любом броске вероятность того, что старая ставка на «пас» или «ком» выпадет на 4, составляет 3/9. Это вероятность того, что, просмотрев старые броски, вы обнаружите 4 раньше, чем 7. Аналогично, вероятность ставки на 5 составляет 4/10, а на 6 — 5/11. Таким образом, средняя общая ставка составляет 1 + pr(4) + pr(5) + pr(6) + pr(8) + pr(9) + pr(10) = 1 + 3/9 + 4/10 + 5/11 + 5/11 + 4/10 + 3/9 = 3,3758 единиц. Это среднее значение не будет верным в начале игры, пока вы в неё вступаете. Оно будет действовать только после того, как все числовые значения и 7 уже были выброшены хотя бы один раз.

Вероятность выигрыша по ставке "4 на жесткой ставке" составляет 1/9. Следовательно, вероятность выигрыша четыре раза подряд равна (1/9) ⁴ = 1 к 6561.

Хороший вопрос. Для тех, кто не понял вопрос, поясню: если не указано иное, коэффициенты на ставки «come out» не действуют при первом броске. Таким образом, если игрок выбросит семерку при первом броске, все ставки «come» проиграют, а коэффициенты на ставки «come» будут возвращены. Аналогично, если игрок выбросит точку на ставке «come» при первом броске, ставка «come» выиграет, но коэффициенты будут равны. Ответ зависит от того, как мы определяем преимущество казино. Если мы определяем его как ожидаемый проигрыш от общей суммы сделанных ставок, то отключение коэффициентов не будет иметь значения. Это потому, что игрок все еще делает ставку на коэффициенты, и она все равно считается ставкой, даже если она возвращается как ничья. Однако, если вы определяете преимущество казино как ожидаемый проигрыш от разрешенных ставок, то отключение коэффициентов при первом броске действительно увеличивает преимущество казино. Я написал компьютерную симуляцию, чтобы определить этот эффект. Предположим, игрок ставит на пять раз больше коэффициентов. В этом случае отключение коэффициентов при первом броске увеличивает долю проигрышей в общем количестве сыгранных ставок с 0,326% до 0,377%, или на 0,051%. Поэтому, если вы хотите максимизировать прибыль от сыгранных ставок, оставьте коэффициенты при первом броске включенными.

Уверяю вас, это просто совпадение. Точное преимущество казино в крэпсе составляет 7/495, что по определению должно быть рациональным числом. На самом деле, я бы утверждал, что преимущество казино во всех играх казино должно быть рациональным числом, потому что во всех играх существует ограниченное количество возможных исходов, в результате чего преимущество казино составляет идеальную дробь. 2 не является полным квадратом, поэтому квадратный корень из 2 по определению должен быть иррациональным числом. Следовательно, эти два числа не могут быть равны. Если быть точнее, преимущество казино при ставке в 100 долларов на линию «пас» составит 1,41414141 доллара... Квадратный корень из 2 равен 1,4142135623731...

Спасибо за комплимент. Я рекомендую делать ставки на бонус. Уверен, что 100 долларов, поставленные на игровые автоматы, были на специально отведенных машинах. По моим наблюдениям, эти бесплатные игровые автоматы очень скупы, выплачивая около 25%. Ставка на бонус стоит примерно 48 центов за доллар. Я рекомендую делать ставки на «не пас» в крэпсе. Причина, по которой я предпочитаю это блэкджеку, заключается в том, что в блэкджеке вероятность выигрыша ниже, что снижает ценность бонуса на бонус. Для более подробного объяснения, пожалуйста, ознакомьтесь с моей статьей от 30 октября 2001 года .

Хороший вопрос. Чтобы подтвердить их расчеты, я составил следующую таблицу, основанную на ставке на поле с коэффициентом 3 к 1 на 12. В нижней правой ячейке показан ожидаемый убыток в 25 центов при ставке в 22 доллара. Таким образом, преимущество казино действительно составляет 0,25/22 = 1,136%.

Причина, по которой общее преимущество казино кажется меньше, чем преимущество казино по каждой отдельной ставке, заключается в том, что преимущество казино по ставкам на места обычно измеряется как ожидаемый проигрыш игрока по каждой завершенной ставке.

Однако в этом случае игрок удерживает ставки на места только в течение одного броска. Это значительно снижает преимущество казино на ставках на места с 4,00% до 1,11% на 5 и 9, и с 1,52% до 0,46% на 6 и 8.

Для тех из вас, кто придерживается пуристских взглядов и считает, что я непоследователен в измерении преимущества казино на ставках на отдельные события в зависимости от исхода ставки (или игнорируя ничьи), я предлагаю вам ознакомиться с моим приложением 2 по игре в крэпс , где все ставки в крэпсе измеряются за один бросок (включая ничьи).

Во-первых, если вероятность события равна p, то ожидаемое число испытаний для его наступления равно 1/p. Обозначим x как ожидаемое число бросков на одного игрока. Вероятность того, что любой данный раунд закончится одним броском (2, 3, 7, 11 или 12), составляет 1/3. Если игрок выбросит 4 или 10 при первом броске, ожидаемое число дополнительных бросков равно 4, поскольку вероятность выброса 4 или 7 равна (6+3)/36 = 1/4. Аналогично, если игрок выбросит 5 или 9 при первом броске, ожидаемое число дополнительных бросков равно 3,6, а для 6 или 8 — 36/11. Предположим, что был брошен пункт, тогда вероятность того, что это будет 4 или 10, равна 3/12, 5 или 9 — 4/12, а 6 или 8 — 5/12. Таким образом, ожидаемое количество бросков за раунд составляет 1 + (2/3) * ((3/12) * 4 + (4/12) * 3,6 + (5/12) * (36/11)) = 3,375758. Далее, вероятность того, что игрок выбьет семь очков, составляет (2/3) * ((3/12) * (2/3) + (4/12) * (3/5) + (5/12) * (6/11)) = 0,39596. Вероятность того, что игрок не выбьет семь очков, составляет 1 - 0,39596 = 0,60404. Итак...

x = 3,375758 + 0,60404*x
0,39596*x = 3,375758
x = 8,52551

До сих пор существуют видеопокерные игры, которые при правильной стратегии выплачивают более 100% выигрыша. Я также видел игру в блэкджек в Fiesta Rancho и Slots-a-Fun в Лас-Вегасе, где преимущество давала базовая стратегия. Как я утверждаю в разделе о спортивных ставках, ставки на аутсайдеров НФЛ дома против разницы очков также исторически приносили преимущество. Таким образом, 100-кратные шансы в крэпсе по-прежнему являются одной из лучших ставок, но не самой лучшей. Да, 0,014% означает, что на каждые 100 долларов ставки вы теряете в среднем 1,4 цента.

Я согласен, что это очень плохое решение и неверный совет дилера. После выпадения 6 или 8 преимущество игрока на ставке «не пас» или «не выходи» составляет (6/11)*1 + (5/11)*-1 = 1/11 = 9,09%. «Бездействие» равносильно обмену на ставку с преимуществом казино в 1,36%. Таким образом, это решение обходится игроку в 10,45%. Всем дилерам, поощряющим это, я говорю: позор вам!

В приведенной ниже таблице показано, что преимущество казино составляет 5,56%.

Чем меньше семерок выпадает, тем выше шансы на выигрыш по линии «пас». В следующей таблице показано преимущество казино в зависимости от процента выпадения семерок, при условии, что вероятность выпадения всех остальных чисел пропорциональна вероятности выигрыша на честном месте.

Мне часто задают вопросы о комбинациях ставок в крэпсе. Обычно я на них не отвечаю, но когда вы обращаетесь ко мне как к «великому и могущественному Волшебнику», ваши шансы получить ответ значительно возрастают. Ваша ошибка в том, что обе ставки не всегда разрешаются. Когда вы выигрываете 6 или 8, вы забираете вторую ставку, что снижает ожидаемый проигрыш, потому что вы ставите меньше. Так что ваши расчеты верны, но вы сравниваете несравнимые вещи.

Вы правы, одни только игральные кости не могут определить исход игры в крэпс. Существуют различные способы использования карт вместо костей, при которых шансы остаются точно такими же. Один из способов — использовать две отдельные колоды, таким образом, исключается эффект удаления карт. Другой способ — иметь колоду из 7 карт с числами от 1 до 6, плюс седьмую «двойную» карту. Первая вытянутая карта никогда не может быть двойной. Если это так, то она возвращается в колоду, и процесс повторяется с начала. Если двойная карта вытянута второй, то она засчитывается как первое вытянутое число. Независимо от того, как это делает казино, я никогда не видел убедительных доказательств того, что шансы отличались бы от ситуации, когда использовались бы две игральные кости. Поэтому я думаю, что вы что-то упускаете из правил.

Да, был снят сюжет, в котором несколько студентов из братства в UNLV пытались превратить 1000 долларов в 5000, чтобы купить дорогой телевизор. Они обратились ко мне за советом, как лучше всего быстро достичь этой цели. Я был ограничен играми в Golden Nugget. В Nugget коэффициенты в крэпсе 10x, что, как мне казалось, давало возможность достичь цели. Моя стратегия заключалась в том, чтобы при каждом первом броске делать ставку min(банкролл/11, (5000-банкролл)/21), с учетом удобного округления, и брать максимальные шансы. Таким образом, мы никогда не превышали бы 5000 долларов после выигрыша 4 или 10, всегда имели бы достаточно средств, чтобы брать полные шансы, и рисковали бы максимальной суммой, если бы нам не хватало денег на 5000 долларов.

Для первой ставки по этой формуле предполагалась ставка на линию «Pass Line» в размере 90,91 доллара, но я округлил до 100 долларов. Затем выпало число, кажется, 6 или 8. При втором броске игроку выпала семерка. Таким образом, вся тысяча долларов была проиграна за два броска. По-видимому, это не очень-то развлекало зрителей, и эта история так и не попала в эфир.

Можно предположить, что мне зададут два вопроса: (1) почему я предложил им поставить на «пас», а не на «не пас», и (2) почему я не поставил 91 доллар на линию и 910 долларов на коэффициенты, добавив этот доллар из собственного кармана. Отвечая на первый вопрос, я думаю, что для быстрого крупного выигрыша линия «пас» лучше. Хотя общее преимущество казино меньше на линии «не пас», я посчитал, что для достижения цели в 5000 долларов потребовалось бы больше бросков, что увеличило бы риск для казино. Отвечая на второй вопрос, я сказал, что разница между коэффициентами 9x и 10x невелика, и я подумал, что на телевидении будет лучше смотреться, если ставить только на черные фишки, по крайней мере, на начальном этапе.

Как показано в моем разделе о блэкджеке , ставка 2 к 1 на блэкджек составляет 2,27%, а удвоение на 3 картах — 0,23%. В остальном правила выглядят стандартными. В целом, преимущество казино в игре в блэкджек составляет 2,1%. Вероятность выигрыша на 4 или 10 в крэпсе составляет (6/36) × (3/9) = 5,56%. Каждый раз, когда это происходит, вы получаете дополнительную единицу, поэтому это составляет 5,56%. Обычно преимущество казино на ставке Come составляет 1,41%, поэтому общее преимущество игрока по этому правилу составляет 4,15%. Таким образом, я согласен, что крэпс — лучшая игра.

Я не знал, что в игре в крэпс без ставок есть ставка на покупку. В следующей таблице показано преимущество казино при ставках на покупку и на место, при условии, что выигрыши не округляются. В вашем примере со ставкой на покупку в 30 долларов на 2 или 12 выигрыш составит 6*30$-1$=179$. Таким образом, ожидаемая прибыль составляет [(1/7)*179$ + (6/7)*-30$] / 30$ = -0,0048, так что мы очень близки к истине.

Это очень жёсткий лимит для дилеров. При ставке в 2 доллара преимущество казино составляет 29,02%, а при ставке в 5 долларов — 41,94%.

Из моего анализа « Огненной ставки» видно, что вероятность того, что стрелок забьет все шесть очков, составляет 0,000162435. Таким образом, выгода от акции для одного стрелка составляет 4000 долларов × 0,000162435 = 0,649739.

Следующий вопрос, который необходимо задать, — каков ожидаемый убыток на одного игрока. Преимущество казино на ставке «пас-лайн» составляет 7/495 = 1,414141%. Сложность заключается в том, сколько ставок на «пас-лайн» в среднем совершит игрок.

Существует четыре возможных состояния, в которых может находиться игрок, делающий ставки. Давайте определим каждое из них как ожидаемое количество будущих ставок на линию паса для этого игрока.

• А = Выходи, катись
• B = Набрано 4 или 10 очков
• C = Набрано 5 или 9 очков
• D = Набрано 6 или 8 очков

Ниже приведены уравнения, показывающие вероятность того, что каждое состояние приведет к следующему состоянию.

A = 1 + (12/36)*A + (6/36)*B + (8/36)*C + (10/36)*D
B = (1/3)*A
C = (2/5)*A
D = (5/11)*A

Небольшие алгебраические преобразования дают A = 2,525510, количество ставок на линию «пас», сделанных одним игроком.

Таким образом, ожидаемый убыток на одного стрелка, потратившего 5 долларов, составляет 5 * 2,525510 * 0,0141414 = 0,178571.

Ожидаемая сумма ставки стрелка составляет $5*2,525510 = $12,627551.

Наконец, ожидаемая прибыль равна ожидаемому выигрышу, деленному на ожидаемую ставку: (0,649739 - 0,178571) / 12,627551 = 3,73127%. Таким образом, преимущество казино составляет -3,73%.

Да, вероятность выпадения каждой дубль составляет 1/36. Однако это нужно сравнить с вероятностью выпадения проигрышной комбинации. Для «жесткой четверки» существует 8 проигрышных бросков (по два для 1-6, 2-5, 3-4 и 1-3), поэтому вероятность выигрыша составляет 1/9. Для «жесткой шестерки» существует десять проигрышных бросков (по два для 1-6, 2-5, 3-4, 1-5 и 2-4), поэтому вероятность выигрыша составляет 1/11. «Жесткая шестерка» приносит больший выигрыш, потому что вероятность выигрыша меньше.

В игре Crapless Craps также предлагаются эти две ставки. Выпадение двойки возможно одним способом, а семерки – шестью, поэтому вероятность выигрыша по ставке на двойку составляет 1/7. Та же вероятность и для двенадцати. Как объясняется в вопросе о баккара, если вероятность чего-либо равна p, то справедливые шансы составляют (1/p) - 1 к 1. В этом случае справедливые шансы будут 6 к 1. Преимущество казино можно выразить как (ta)/(t+1), где t — истинные шансы, а a — фактические шансы. В Crapless Craps ставка на двойку и двенадцатку выплачивается 11 к 2. Используя эту формулу, преимущество казино по ставкам на двойку и двенадцатку составляет (6-5,5)/(6+1) = 0,5/7 = 7,14%.

В игре Crapless Craps ставки на 3 и 11 дают выигрыш 11 к 4. Используя ту же формулу, t=3 и a=2,75, следовательно, преимущество казино составляет 0,25/4 = 6,25%.

Если не учитывать преимущество казино (которое в крэпсе очень низкое при правильной игре), вероятность выиграть 500 долларов, в отличие от проигрыша 1000 долларов, составляет 2/3. Вероятность выигрыша в 4 из 5 сессий составит 5 × (2/3) ^{/ 4} × (1/3) = 32,9%.

Вероятность выпадения 7 составляет 1/6, а вероятность выпадения 12 — 1/36. Вероятность выпадения 7 при условии, что выпало 7 или 12, равна (1/6)/((1/6)+(1/36)) = 6/7. Таким образом, вероятность того, что первые шесть раз, когда выпадает 6 или 12, это всегда будет 6, составляет (6/7) ⁶ = 39,66%.

Если переформулировать вопрос так: какова вероятность выпадения пяти шестерок до двенадцати? Тогда ответ будет (6/7) ^·5 = 46,27%. При четырех бросках вероятность составит (6/7) ^·4 = 53,98%. Таким образом, нет такого количества семерок до двенадцати, вероятность которого была бы ровно 50/50. Если вы ищете выгодную ставку, предложите либо четыре семерки до двенадцати, либо двенадцать до пяти семерок.

Этот вопрос был поднят и обсужден на форуме моего дочернего сайта Wizard of Vegas .

При первом броске кубика на данном этапе возможны три исхода.

1. Выход на улицу.
2. Повторение уже высказанной мысли (с 4 по 9).
3. Выпадение 10 на первом броске и попадание в цель.

Нам нужно количественно оценить только вторую и третью вероятности. Стрелок в конечном итоге забьет гол, а затем забьет его или вылетит за пределы поля на семь очков. Вероятность того, что гол будет забит, а затем вылетит за пределы поля, равна 4 к 9, такова:

(3/24)×(3/9) + (4/24)×(4/10) + (5/24)×(5/11) + (5/24)×(5/11) + (4/24)×(4/10) = 0,364394.

Вероятность того, что вы наберете 10 очков, а затем забьете их, составляет (3/24)*(1/3) = 0,041667.

Пусть p — вероятность набрать 10 очков до того, как игрок выбьет семерку. Если игрок наберет еще одно очко, он вернется к тому же месту, с которого начал. Итак...

p = 0,364394 × p + 0,041667
p × (1-0.364394) = 0.041667
p = 0,041667/(1-0,364394)
p = 0,065554

Этот вопрос был поднят и обсужден на форуме моего дочернего сайта Wizard of Vegas .

Если точка установлена, то вероятность того, что стрелок её забьёт, равна pr(точка равна 4 или 10) × pr(забить 4 или 10) + pr(точка равна 5 или 9) × pr(забить 5 или 9) + pr(точка равна 6 или 8) × pr(забить 6 или 8) = (6/24) × (3/9) + (8/24) × (4/10) + (10/24) × (5/11) = 201/495 = 0,406061.

Если вероятность события равна p, то ожидаемое количество раз, когда оно произойдет до неудачи, равно p/(1-p). Таким образом, ожидаемое количество очков на одного стрелка составляет 0,406061/(1-0,406061) = 0,683673.

Этот вопрос был поднят и обсужден на форуме моего дочернего сайта Wizard of Vegas .

Этот вопрос был задан на сайте TwoPlusTwo.com, и на него правильно ответил BruceZ . Следующее решение использует тот же метод, что и BruceZ, который заслуживает должного признания. Это сложный ответ, поэтому будьте внимательны.

1. Для начала рассмотрим ожидаемое количество бросков, необходимых для получения в сумме двух чисел. Вероятность выпадения двойки составляет 1/36, поэтому в среднем потребуется 36 бросков, чтобы получить первую двойку.

2. Далее рассмотрим ожидаемое количество бросков, необходимых для получения двойки и тройки. Мы уже знаем, что в среднем потребуется 36 бросков, чтобы получить двойку. Если тройка выпадает во время ожидания двойки, то дополнительных бросков для тройки не потребуется. Однако, если нет, то для получения тройки придется бросить больше кубиков.

   Вероятность выпадения тройки составляет 1/18, поэтому в среднем потребуется 18 дополнительных бросков, чтобы получить тройку, если сначала выпадет двойка. Учитывая, что существует 1 способ выбросить двойку и 2 способа выбросить тройку, вероятность того, что сначала выпадет двойка, составляет 1/(1+2) = 1/3.

   Таким образом, существует вероятность 1/3, что нам потребуется еще 18 бросков, чтобы получить тройку. Следовательно, ожидаемое количество бросков, чтобы получить и двойку, и тройку, составляет 36 + (1/3) × 18 = 42.

3. Далее, подумайте, сколько еще бросков вам понадобится, чтобы получить четверку. К тому моменту, когда вы выбросите двойку и тройку, если вы еще не получили четверку, вам придется бросить кубики в среднем еще 12 раз, чтобы получить ее. Это потому, что вероятность выпадения четверки составляет 1/12.

   Какова вероятность получить четверку раньше, чем двойку и тройку? Для начала давайте вспомним распространенное правило вероятности для случаев, когда A и B не являются взаимоисключающими:

   пр(А или В) = пр(А) + пр(В) - пр(А и В)

   Вы вычитаете pr(A и B), потому что эта случайная величина учитывается дважды в pr(A) + pr(B). Таким образом,

   pr(4 перед 2 или 3) = pr(4 перед 2) + pr(4 перед 3) - pr(4 перед 2 и 3) = (3/4)+(3/5)-(3/6) = 0,85.

   Вероятность того, что на пути к двойке и тройке не выпадет четверка, составляет 1,0 - 0,85 = 0,15. Таким образом, существует 15% вероятность того, что потребуется еще 12 бросков. Следовательно, ожидаемое количество бросков для получения двойки, тройки и четверки составляет 42 + 0,15 * 12 = 43,8.

4. Далее, подумайте, сколько еще бросков вам понадобится, чтобы получить пятерку. К тому моменту, когда вы выбросите от двойки до четырех, если пятерка еще не выпала, вам придется бросить кубики в среднем еще 9 раз, чтобы получить ее, потому что вероятность выпадения пятерки составляет 4/36 = 1/9.

   Какова вероятность получить пятерку раньше, чем двойку, тройку или четверку? Общее правило таково:

   pr (A или B или C) = pr(A) + pr(B) + pr(C) - pr(A и B) - pr(A и C) - pr(B и C) + pr(A и B и C)

   Итак, pr(5 до 2, 3 или 4) = pr(5 до 2)+pr(5 до 3)+pr(5 до 4)-pr(5 до 2 и 3)-pr(5 до 2 и 4)-pr(5 до 3 и 4)+pr(5 до 2, 3 и 4) = (4/5)+(4/6)+(4/7)-(4/7)-(4/8)-(4/9)+(4/10) = 83/90. Вероятность не получить четверку на пути к двойке или четверке составляет 1 - 83/90 = 7/90. Таким образом, существует 7,78% вероятность того, что потребуется 7,2 дополнительных броска. Следовательно, ожидаемое количество бросков для получения двойки, тройки, четверки и пятерки составляет 43,8 + (7/90)*9 = 44,5.

5. Продолжайте следовать той же логике, доведя общее число до шести-двенадцати. Количество вычислений, необходимых для определения вероятности получения следующего числа до того, как оно выпадет, будет зависеть от того, насколько примерно удваивается каждое последнее число. К тому моменту, когда вы дойдете до двенадцати, вам придется выполнить 1023 вычисления.

   Вот общее правило для pr(A или B или C или ... или Z)

   pr(A или B или C или ... или Z) =
   pr(A) + pr(B) + ... + pr(Z)
   - pr (A и B) - pr (A и C) - ... - pr (Y и Z) Вычтите вероятность каждой комбинации двух событий
   + pr (A и B и C) + pr(A и B и D) + ... + pr(X и Y и Z) Сложите вероятности каждой комбинации из трех событий
   - pr (A и B и C и D) - pr (A и B и C и E) - ... - pr (W и X и Y и Z) Вычтите вероятность каждой комбинации из четырех событий

   Затем повторяйте эти действия, не забывая добавлять вероятности для нечетного числа событий и вычитать вероятности для четного числа событий. Очевидно, что при большом количестве возможных событий это становится утомительным, и на практике для этого требуется электронная таблица или компьютерная программа.

В следующей таблице показано ожидаемое количество бросков для каждого этапа. Например, 36 для получения двойки, 42 для получения двойки и тройки. В нижней правой ячейке указано ожидаемое количество бросков для получения всех 11 сумм, равное 61,217385.

Этот вопрос был поднят и обсужден на форуме моего дочернего сайта Wizard of Vegas .

При 61 броске ожидаемое количество семерок составляет 61 × (1/6) = 10,17. У вас выпало 14. Вероятность выпадения ровно 14 семерок составляет 7,96%, а вероятность выпадения 14 или более — 12,77%. Так что ничего необычного здесь нет. Я также провел критерий хи-квадрат для каждого броска. Я знаю, что проводить критерий хи-квадрат на такой маленькой выборке не очень корректно, поэтому относитесь к результатам с осторожностью. Вот результаты:

В нижней правой ячейке показана статистика хи-квадрат, равная 8,70. Вероятность получения такого высокого или более высокого значения при десяти степенях свободы составляет 56,09%. Эти результаты близки к пику колоколообразной кривой, поэтому казино легко проходит тест на случайность хи-квадрат.

Ответ: 219,149467.

Есть два способа решения этой задачи. Первый — с помощью цепи Маркова. В следующей таблице показаны ожидаемые значения, необходимые для любого из 128 возможных состояний.

Вкратце, ожидаемое количество бросков в любом заданном состоянии равно ожидаемому количеству бросков до момента выигрыша или проигрыша очка (5,063636) плюс ожидаемое количество бросков, если игрок переходит в следующее состояние, деленное на вероятность непрохождения в текущем состоянии.

Другой метод использует интегральное исчисление. Сначала вычисляем ожидаемые значения бросков для каждого возможного исхода. Затем берем скалярное произведение вероятности каждого события и средних значений бросков, чтобы получить средние значения бросков для разрешения ставки на линию «пас», которые, как показано в правом нижнем углу, составляют 3,375758 = 557/165.

Отсюда мы можем получить ожидаемые значения бросков кубиков, при которых любая заданная точка может выиграть:

• Количество бросков кубиков, при которых выигрыш составляет 4, равно (3/36)*(3/9)*5*(557/165) = 6684/55 = приблизительно 121,527273.
• Выпадение числа, близкого к 5, равно (4/36)*(4/10)*4,6*(557/165) = 1671/21 = приблизительно 75,954545.
• Выпадение числа, близкого к 6, в выигрышном случае = (5/36)*(5/11)*(47/11)*(557/165) = 6684/125 = приблизительно 53,472.

Ожидаемые результаты бросков для выигрыша в 10, 9 и 8 очков такие же, как и для 4, 5 и 6 очков соответственно.

Предположим, что вместо того, чтобы победа с результатом в 0,4 балла происходила дискретно, она подчиняется экспоненциальному распределению со средним значением 6684/55. Вероятность того, что такая случайная величина просуществует x единиц времени без события, равна exp(-x/(6684/55)) = exp(-55x/6684).

Вероятность того, что это произошло хотя бы один раз за x единиц времени, равна 1-exp(-55x/6684).

Если представить все шесть точек как непрерывные переменные, то вероятность того, что все шесть событий произошли в течение x единиц времени, равна (1-exp(-55x/6684))^2 * (1-exp(-22x/1671))^2 * (1-exp(-125x/6684))^2.

Вероятность того, что хотя бы одно из шести событий не произойдет в течение x единиц времени, равна 1 - (1-exp(-55x/6684))^2 * (1-exp(-22x/1671))^2 * (1-exp(-125x/6684))^2.

Мы можем получить ожидаемое время наступления всех шести событий, проинтегрировав приведенное выше выражение от 0 до бесконечности.

Использование этого калькулятора интегралов дает ответ 8706865474775503638338329687/39730260732259873692189000 = приблизительно 219,1494672902.

Почему это работает, объяснить сложнее, поэтому, пожалуйста, примите эту часть на веру.

Это ужасное правило увеличило бы преимущество казино с 1,41% до 33,26%.

Для начала добавим в таблицу столбец, показывающий ожидаемое значение каждой суммы, предполагая полностью случайный результат броска кубика.

Вы не спрашивали меня, как анализировать данные, поэтому я сделаю это несколькими разными способами.

В критерии хи-квадрат статистика хи-квадрат равна 21,43009 при 10 степенях свободы. Вероятность того, что данные будут иметь такую или более выраженную асимметрию, составляет 1,83%.

Если рассматривать только внутренние показатели, которые, как вы упомянули, были целью, то общее количество достигнутых результатов составило 12 802, тогда как ожидаемое количество составило бы 25 227 × (2/3) = 12 613,5. Это превышение внутренних показателей на 2,52 стандартных отклонения выше ожиданий. Вероятность такого превышения или более составляет 0,59%.

Я не мог не заметить отсутствие семерок. Из 25 227 бросков ожидаемое количество семерок составляет 25 227 × (1/6) = 4204,5. У стрелка было 3963. Это на 4,08 стандартных отклонения от ожидаемого значения. Вероятность такого отклонения составляет 0,0000225, или один случай на 44 392.

Однако, должен сказать, что обычно легко взглянуть на исторические данные и найти в них что-то подозрительное. С другой стороны, избегать выпадения семерок — это неотъемлемая цель для того, кто влияет на результаты броска кубиков.

Научный способ проверить, может ли стрелок повлиять на результаты броска кубиков, заключается в том, чтобы сформулировать цель ДО начала сбора данных.