Кено - Часто задаваемые вопросы

Вероятность выпадения n чисел в первых 40, последних 40 или любых заданных 40 числах равна combin(40,n)*combin(40,20-n)/combin(80,20). Таким образом, вероятность выпадения ровно 10 чисел в первых 40 (и 10 в последних 40) равна combin(40,10)*combin(40,10)/combin(80,20) = 0,203243. Вероятность того, что одна половина числа будет больше другой, равна 1-0,203243 = 0,796757. Вероятность того, что конкретная половина числа будет больше, равна половине этого числа, или 0,398378. Если бы эта ставка принесла равный выигрыш, преимущество казино составило бы 20,32%. Если бы ставка с равным выигрышем принесла выигрыш 3 к 1, то преимущество казино составило бы 18,70%. Если бы она принесла выигрыш 4 к 1, преимущество игрока составило бы 1,62%. В онлайн-блэкджеке с положительным математическим ожиданием, чем больше игрок играет, тем выше вероятность получения чистой прибыли. Лучшая игра на данный момент — это одноколодная игра от Unified Gaming, с преимуществом игрока в 0,16%. Если игрок сделает ставку в миллион раздач, вероятность проигрыша все равно составит около 8,6%. В однопользовательской игре от Boss Media с преимуществом игрока в 0,07% вероятность проигрыша после миллиона раздач составляет около 27,5%.

Это не имеет никакого значения.

Сомневаюсь, что некоторые числа более вероятны, чем другие. Мой совет: выбирайте что угодно, это не имеет значения.

Ваша общая ожидаемая прибыль одинакова независимо от количества сыгранных игр. Конечно, чем больше автоматов вы используете, тем выше вероятность получить желаемый результат, но если все они окажутся неудачными, вы потеряете больше денег.

Пай гоу покер — наименее волатильная игра, а кено, в среднем, — наиболее волатильная.

В Неваде, и, думаю, в других крупных игорных центрах США, шары действительно выпадают случайным образом, и исход игры определяется ими. Однако в игровых автоматах класса II, которые иногда встречаются в индейских казино, возможно всё.

Вероятность выигрыша ставки на ничью составляет combin(40,10)*combin(40,10)/combin(80,20) = 0,203243. При выплате 3 к 1 преимущество казино составляет 18,703%. Вероятность выигрыша ставки на орла (или решку) составляет (1-0,20343)/2 = 0,398378. При выплате равных денег преимущество казино составляет 20,324%.

Комплименты помогут вам добиться всего. Количество комбинаций для n орлов равно combin (40,n)*combin(40,20-n). Это количество способов выбрать n чисел из 40 лучших и 20-n из 40 худших. В следующей таблице показана вероятность выпадения от 0 до 20 орлов.



Это показывает, что вероятность выпадения от 11 до 20 орлов составляет 39,84%, при преимуществе казино в 20,32%. Вероятность выпадения ровно 10 орлов составляет 20,32%, при преимуществе казино в 18,70%.

Вероятность выпадения всех 20 чисел составляет 1 в комбинации (80, 20) = 3 535 316 142 212 180 000. Таким образом, шансы примерно 3,5 квинтиллиона к одному. Предположим, что на Земле 5 миллиардов человек, и все они играют раз в неделю, тогда в среднем победитель будет выпадать раз в 13,56 миллиона лет. Большинство казино выплачивают одинаковую сумму за выпадение чисел, близких к 20. Например, отель Hilton в Лас-Вегасе выплачивает 20 000 долларов за выпадение 17 или более чисел из 20. Я никогда не слышал, чтобы кто-то выбил 20 из 20, и очень сомневаюсь, что это когда-либо случалось.

Я не согласен. Я не могу вспомнить ни одного крупного казино на Стрипе без зала для игры в кено. В целом, единственные казино без кено — это местные казино в пригородах Вегаса, потому что большинство из нас, местных жителей, знают, что кено — это игра для простаков.

P.S. Позже один из читателей написал мне, чтобы поправить меня, заявив, что казино New York New York в Лас-Вегасе убрало свой зал для игры в кено.

Надеюсь, вы довольны, я потратил на это весь день. После написания и проведения симуляции я обнаружил, что вероятность того, что любые 3 линии будут содержать 11 или более отметок, составляет 86,96%! Это даже не даёт противнику шанса на победу. Вы можете поставить до 12 отметок и всё равно иметь вероятность выигрыша 53,68%, или преимущество в 7,36%. Однако, я думаю, вы выбрали неправильную сторону ставки на пустые ряды. Вероятность наличия хотя бы одного пустого ряда составляет всего 33,39%, лучше выбрать другую сторону — отсутствие пустых рядов. Пока я этим занимался, я рассчитал множество других вероятностей и разместил их на новой странице с предложениями по ставкам на кено . Вот список этих и других хороших ставок с равными шансами с той же страницы. Хорошая сторона указана.

Как и в кено в реальном времени, шансы одинаковы независимо от вашего выбора, но они не зависят от того, какие шары выпадут в игре.

Это довольно сложная задача. Легко вычислить вероятность того, сколько раз будет вытянут любой из ваших четырех шаров, включая повторы. Сложность заключается в определении вероятности того, что будет выбрано x различных шаров, при условии, что любой шар был выбран y раз. Ответ и решение указаны на моей странице MathProblems.info , задача 205.

1/2.

Если взять в качестве примера кено, то у каждого человека было бы 40 генов, каждый из которых представлен шаром кено. Однако каждый шар имел бы уникальный номер. Когда два человека, не являющиеся родственниками, вступают в брак, это похоже на то, как если бы 80 шаров, принадлежащих им обоим, были объединены в бункер, и случайным образом были бы выбраны 40 генов для потомства от этого брака.

Таким образом, когда вы были зачаты, вам досталась половина шаров, попавших в бункер, а другая половина была потеряна. Когда был зачат ваш брат или сестра, ему/ей досталась половина шаров, выпавших при вашем рождении, и половина тех, которые не были выпавшими. Таким образом, вы генетически идентичны на 50%. Примерно по той же причине, по которой, если в кено выпадает 40 чисел, в двух последовательных розыгрышах в среднем окажется 20 общих шаров.

Этот вопрос был поднят и обсужден на форуме моего дочернего сайта Wizard of Vegas .

Напоминаем нашим читателям, что игра в Клеопатру Кено похожа на обычное кено, за исключением того, что если последний вытянутый шар совпадает с одним из выбранных игроком шаров И приводит к выигрышу, то игрок также получает 12 бесплатных игр с множителем 2x. Бесплатные игры не приносят дополнительных бесплатных игр.

Вы не указали количество выборов или таблицу выплат, поэтому давайте в качестве примера воспользуемся таблицей выплат Pick-8 3-10-56-180-1000. Сначала рассчитаем выигрыш.

Количество способов выбить x шаров из y в кено равно количеству способов выбить x шаров из 20 и yx из 60. Это равно combin(20,x)*combin(60,yx), если выразить это в терминах Excel. Напомним, что combin(x,y) = x!/(y!*(xy)!). И наконец, x! = 1*2*3*...*x.

После этого обзора, вот таблица выплат. В правом столбце указана ожидаемая сумма выигрыша, которая нам понадобится позже.

Далее рассчитаем средний бонус. Из приведенной выше таблицы видно, что средний выигрыш, без учета бонуса, составляет 0,593301. В рамках бонуса игрок получает 12 удвоенных бесплатных вращений. Таким образом, ожидаемый выигрыш от бонуса составляет 2×12×0,593301 = 14,239212.

Далее рассчитаем вероятность выигрыша бонуса. Если игрок поймал четыре числа, вероятность того, что 20-й шар окажется одним из этих четырех, составляет 4/20. В общем случае, если игрок поймал число c, то вероятность того, что 20-й шар способствовал выигрышу, составляет c/20.

Формула для выигрыша бонуса: вероятность(поймать 4)*(4/20) + вероятность(поймать 5)*(5/20) + вероятность(поймать 6)*(6/20) + вероятность(поймать 7)*(7/20) + вероятность(поймать 8)*(8/20). Вероятность любого выигрыша известна из приведенной выше таблицы выплат. Таким образом, вероятность выигрыша бонуса составляет:

0.081504*(4/20) + 0.018303*(5/20) + 0.002367*(6/20) + 0.000160*(7/20) + 0.000004*(8/20) = 0.021644.

Используя вероятность выигрыша бонуса и средний выигрыш по бонусу, мы можем рассчитать доход от бонуса как 0,021644 × 14,239212 = 0,308198.

Нам это и не нужно знать, но общая прибыль от игры равна прибыли от основной игры плюс прибыль от бонуса, что равно 0,593301 + 0,308198 = 0,901498.

Теперь давайте перейдем к рассмотрению собственно дисперсии. Напомним, что общая формула для расчета дисперсии выглядит следующим образом:

var(x + y) = var(x) + var(y) + 2*cov(x,y), где var обозначает дисперсию, а cov — ковариацию. В случае этой игры:

Общая дисперсия = дисперсия (базовая игра) + дисперсия (бонус) + 2*коэффициент покрытия (базовая игра и бонус).

Основная формула для дисперсии — E(x^2) - [E(x)]^2. Другими словами, это квадрат ожидаемой прибыли за вычетом квадрата ожидаемой прибыли.

Итак, начнём с дисперсии базовой игры. Помните, я говорил раньше, что нам понадобится квадрат ожидаемой прибыли из первой таблицы? В нижней правой ячейке первой таблицы показано, что квадрат ожидаемой прибыли равен 19,530214. Мы уже знаем, что ожидаемая прибыль составляет 0,593301. Таким образом, дисперсия базовой игры равна 19,530214 - ^0,593301² = 19,178208.

Далее рассчитаем дисперсию бонуса (предполагая, что он уже был получен). Для этого вспомним, что:

var(ax) = a ² x, где a — константа.

Также напомним, что дисперсия n случайных величин x равна nx.

При этом, если x — это базовый выигрыш в бонусной игре, то дисперсия всего бонуса составляет 2 ² × 12 × x. Из вышеизложенного мы знаем, что дисперсия одного вращения в базовой игре, не считая бонуса, равна 19,178208. Таким образом, дисперсия бонуса, при условии, что бонус уже был получен, составляет 2 ² × 12 × 19,178208 = 920,554000.

Однако нам нужно знать дисперсию бонуса до вытягивания первого шара, включая вероятность того, что бонус вообще не будет выигран. Нет, мы не можем просто умножить дисперсию бонуса на вероятность его выигрыша. Вместо этого вспомним, что var(x) = E(x^2) - [E(x)]^2. Давайте переформулируем это следующим образом:

E(x^2) = var(x) + [E(x)]^2

Нам известны среднее значение и дисперсия бонуса, поэтому квадрат ожидаемого выигрыша в бонусе составляет 920,554000 + ^19,178208² = 1123,309169.

Таким образом, ожидаемый квадрат выигрыша от бонуса до вытягивания первого шара равен prob(bonus) × E(x^2) = 0,021644 × 1123,309169 = 24,313239.

Мы уже рассчитали ожидаемый выигрыш от бонуса до первого броска шара, он составляет 0,308198. Таким образом, общая дисперсия бонуса до первого броска шара составляет 24,313239 - 0,308198² = ^24,218253 .

Следующий шаг — вычисление ковариации. «Почему существует корреляция между базовым выигрышем и бонусным выигрышем?», — можете спросить вы. Это потому, что последний вытянутый шар должен внести вклад в выигрыш, чтобы активировать бонус. Учитывая, что последний шар внес вклад в выигрыш, средний выигрыш увеличивается. Напомним, что формула Байеса для вероятности условия гласит:

P(A при условии B) = P(A и B)/P(B).

Давайте тогда переделаем нашу таблицу возвратов для основной игры, учитывая, что последний мяч был отбит:

В нижней правой ячейке показано, что, если предположить, что последний мяч был отбит, средний выигрыш составляет 6,757734.

Далее, вспомните из курса статистики, который вы изучали в колледже:

cov(x,y) = exp(xy) - exp(x)*exp(y) .

В нашем случае пусть x = выигрыш в базовой игре, а y = выигрыш в бонусной игре. Давайте сначала поработаем над exp(xy).

Exp(xy) = prob(выигранный бонус)*(средняя победа в базовой игре при выигранном бонусе)*средняя победа с бонусом) + prob(невыигранный бонус)*(средняя победа в базовой игре при невыигранном бонусе)*средняя победа с бонусом при невыигранном бонусе). Легко сказать, что средняя победа с бонусом при невыигранном бонусе = 0, поэтому мы можем переписать это так:

Exp(xy) = prob(выигрыш бонуса)*(средний выигрыш в базовой игре с учетом выигранного бонуса)*средний выигрыш бонуса) =

0,021644 × 6,757734 × 14,239212 = 2,082719.

Мы уже нашли E(x) и E(y), поэтому ковариация выглядит следующим образом:

cov(x,y) = exp(xy) – exp(x)*exp(y) = 2,082719 – 0,593301 × 0,308198 = 1,899865.

Вернемся к общему уравнению для дисперсии с учетом ковариации:

Общая дисперсия = дисперсия (базовая игра) + дисперсия (бонус) + 2 * ковариация (базовая игра и бонус) = 19,178208 + 24,218253 + 2 × 1,899865 = 47,196191. Стандартное отклонение равно квадратному корню из этого значения, что составляет 6,869948.

Вот и всё. На это у меня ушло несколько часов, так что надеюсь, вам понравится.

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

Проведя небольшое исследование, я обнаружил, что это не дополнительная ставка, а выплата по билету Pick-20 за совпадение нуля. Ниже приведён мой полный анализ билета Pick-20 от Station Casinos.

В нижней правой ячейке показана общая доходность билета в размере 69,70%, что типично для кено в режиме реального времени.

Чтобы ответить на вопрос о получении 0 очков, в столбце вероятности показано, что вероятность этого составляет 0,001186, а при выигрыше 200 очков за 1 очко, это дает 23,71% от общей суммы выигрыша.

В следующей таблице показано количество комбинаций, вероятность и вклад в наименьшее число (произведение числа и вероятности). В нижней правой ячейке указано, что ожидаемое наименьшее число равно 9,1818182.

Существует более простой способ решения подобных задач, где наименьшее значение шара равно 1. Формула для наименьшего значения шара: (m+1)/(b+1), где m — максимальное значение шара, а b — количество шаров. В данном случае m=100 и n=10, поэтому наименьшее значение шара равно 101/11 = 9,181818.

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .