Игры, не относящиеся к казино - Часто задаваемые вопросы

Сначала позвольте мне ответить на незаданный вопрос о вероятности того, что определённое число появится n раз на случайной купюре. На купюре 8 цифр, поэтому вероятность появления n определённого числа равна combin(8,n)*0.1 ⁿ *0.9 ^8-n /10 ⁸ . Вот таблица, показывающая вероятность появления от 0 до 8 определённого числа.
В следующей таблице показана вероятность каждого возможного типа купюр, сгруппированных по количеству каждого вида n одинаковых купюр. Например, для серийного номера 66847680 будет одна тройка одинаковых купюр, одна пара и три одиночные купюры, что соответствует вероятности 0,1693440.


дуб = "своего рода"

Для получения более подробной информации посетите мою страницу о покере лжецов .

Ваш ожидаемый выигрыш одинаков независимо от того, сколько раз вы разделите общую сумму своих депозитов. Хорошая стратегия — вносить и выводить одни и те же деньги как можно чаще. Однако ваши шансы могут быть настолько низкими, что это не стоит усилий.

Вероятность совпадения трех чисел составляет 1/216. Вероятность совпадения двух чисел составляет 3*5/216. Вероятность совпадения одного числа составляет 25*5/216. Вероятность отсутствия совпадений составляет 5*5*5/216. Таким образом, ожидаемая прибыль составляет 3*(1/216)+2*(15/216)+1*(75/216)-1*(125/216)=-17/216=-7,87%. Оптимального количества ставок не существует, вы потеряете ожидаемые 7,87% от общей суммы поставленных денег независимо от того, что вы делаете.

Эти ставки можно делать как в сик бо , так и в чак а лак .

Это, пожалуй, самый часто задаваемый мне вопрос, на который у меня нет ответа. Полной версии пасьянса «Клондайк» до сих пор не существует. Возможно, когда компьютеры станут в миллион раз быстрее, кто-нибудь наконец-то это сделает. Однако ходят слухи, что казино Вегаса предлагали эту игру, по крайней мере, в пятидесятые годы. Я спрашивал об этом у нескольких завсегдатаев Вегаса, но пока никому это не удалось.

При каждом новом броске вероятность того, что следующие четыре броска будут состоять из двух шестерок, составляет (1/36) ⁴ = 1 из 1679616.

Начните с удаления 2 жемчужин из ряда с 3, оставив 1+4+5. Независимо от того, что ваш противник сделает на следующем ходу, оставьте ему любой из следующих вариантов: 1+1+1, 1+2+3 или 4+4. Из любого из этих вариантов вынудите противника оказаться в ситуации, когда у него будет две стопки по 2 или более жемчужин в каждой, или нечетное количество стопок по 1 жемчужине в каждой.

Мне больше всего нравится оранжевый набор. Он предлагает лучшую окупаемость инвестиций. Например, отель в оранжевом наборе стоит 500 долларов, а средняя арендная плата составляет 966,67 долларов, что дает соотношение арендной платы к расходам 1,93. Единственный набор с более высоким соотношением — светло-голубой, 2,27. Однако максимальная арендная плата в светло-голубом наборе составляет всего 600 долларов. Арендная плата за три дома в оранжевом наборе такая же, как и за отели в светло-голубом, но стоит на 20% меньше, и есть возможность построить больше. Кроме того, в оранжевом наборе очень удобно выпадать сразу после выхода из тюрьмы. Поэтому прислушайтесь к моему совету и при торговле старайтесь получить оранжевый набор.

Лучший совет на этом сайте, пожалуй, такой: в первом раунде ВСЕГДА ВЫБИРАЙТЕ БУМАГУ. Дело в том, что игроки-любители, как правило, в первый раз выбирают камень. Просто протяните руку в каждой позиции по очереди, и вы увидите, что камень — самый удобный и естественный выбор. Если вы играете несколько раундов подряд, выбирайте то, что с вероятностью менее одной трети обыграло бы вашего противника в предыдущем раунде. Это потому, что, как я считаю, любители повторяют ходы менее чем в одной трети случаев. Если вы играете против профессионала, который, как вы опасаетесь, может вывести вас из себя, то проведите случайный ход, посмотрев на секундную стрелку часов, разделите количество секунд на три и возьмите остаток, затем распределите ход следующим образом: 0 = камень, 1 = ножницы, 2 = бумага (или любое другое распределение, главное, чтобы оно было определено заранее). Так что в следующий раз, когда вы пойдете в ресторан по-голландски, я предлагаю сыграть один раунд на счет, а затем выбрать бумагу. Можете поблагодарить меня позже.

Для тех, кто не знаком с этой игрой, Risk — величайшая настольная игра всех времен. Те, кто в нее не играл, еще не жили. Чтобы ответить на ваш вопрос о типичной битве 3 против 2, возможны следующие исходы:

• Защитник проигрывает обоим: 37,17%
• Каждый теряет по одному: 33,58%
• Нападающий теряет оба варианта: 29,26%

В следующей таблице показана вероятность успеха при последнем броске в зависимости от количества дополнительных кубиков, необходимых для составления комбинации «Ятзи».

В следующей таблице показаны вероятности улучшения. В левом столбце указано, сколько кубиков нужно бросить до любого заданного броска, а в верхнем — сколько после броска. В основной части таблицы указана вероятность достижения заданной степени улучшения.

В следующей таблице показана вероятность того, что при первом броске потребуется от 0 до 4 дополнительных кубиков, чтобы составить Ятзи.

В следующей таблице показана вероятность улучшения, а затем и окончательного успеха в зависимости от количества кубиков, необходимых после первого броска. Например, если игроку нужно еще 3 кубика, чтобы получить «Ятзи», вероятность улучшения до необходимости получить еще 2 кубика после второго броска и получения «Ятзи» на третьем броске составляет 0,010288066.

Чтобы получить окончательный ответ, возьмите скалярное произведение числа, необходимого после первого броска двух таблиц вверх, и вероятности успеха в последнем столбце одной таблицы вверх. Это 0,092593*0,012631 + 0,694444*0,029064 + 0,192901*0,093364 + 0,019290*0,305556 + 0,000772*1 = 4,6028643%. Для подтверждения этого я провел симуляцию игры на 100 000 000 игр, и смоделированная вероятность составила 4,60562%.

Во-первых, можно исключить игру в бумагу. Независимо от того, что бросит другой игрок, вы получите равный или даже больший выигрыш, бросив динамит поверх бумаги. Как только бумага исключена, динамит, по сути, становится новой бумагой, побеждая камень и проигрывая ножницам. Поэтому идеальная стратегия — выбирать случайным образом и с равной вероятностью между камнем, ножницами и динамитом.

Я задал этот вопрос Рэнди Хиллу из компании Fun Industries Inc. Он сказал, что нужно вытянуть руки прямо, ладонями вниз, и позволить деньгам взлететь и удариться о дно ладоней и предплечий. Когда накопится достаточно денег, нужно просунуть их через щель.

Назовем x ожидаемым числом бросков относительно начальной точки.
Назовем y ожидаемым числом оставшихся бросков, если одна из сторон выигрывает один раз из большинства.
Назовем z ожидаемым числом оставшихся бросков, если одна сторона имеет преимущество в два броска в большинстве.

E(x) = 1 + E(y)
E(y) = 1 + 0,5*E(x) + 0,5*E(z)
E(z) = 1 + 0,5*E(y)

Затем, с помощью матричных алгебраических вычислений, легко увидеть, что E(x) = 9, E(y) = 8 и E(z) = 5. Таким образом, в среднем потребуется 9 бросков, чтобы разница между орлом и решкой составила 3. Поэтому ставка в 8 рупий является выгодной для игрока, получающего одну рупию за бросок, поскольку в среднем он получит 9 рупий, но вернет только 8. Преимущество казино для игрока составляет 11,11%. При ставке в 9 рупий это справедливая ставка, при 7 рупиях преимущество казино составляет 22,22%.

В колонке от 28.11.02 я объясняю, как играть, когда осталось всего три ряда. Вот моя стратегия для четырех рядов. Когда наступит ваша очередь, посмотрите конфигурацию в левой колонке и разыграйте то, что указано в правой колонке. Например, начальная позиция 3456 указана последней и показывает, что вам следует убрать 4 жемчужины из ряда с 5, оставив 1346. Если в левой колонке написано «Проиграть», то выиграть невозможно, если противник использует оптимальную стратегию, что, кажется, всегда происходит в игре на Transcience.

В этой таблице прослеживается закономерность: нужно заставить противника оказаться в ситуации, когда сумма жемчужин в ряду с наименьшим и наибольшим количеством жемчужин равна сумме двух рядов с наибольшим количеством жемчужин в середине. Это включает в себя оставление нуля в ряду с наименьшим количеством жемчужин.

Брэд С. предложил добавить общую стратегию для любого количества жемчужин и рядов. Сначала нужно разбить каждый ряд на его бинарные компоненты. Например, начальная позиция в игре Transcience будет следующей.

• 3 = 2+1
• 4 = 4
• 5 = 4+1
• 6 = 4+2

Затем вы стараетесь оставить четное количество чисел, являющихся степенями двойки. Например, в приведенном выше примере есть две единицы, две двойки и три четверки. Таким образом, появляется лишняя четверка. Затем вы удаляете 4 из любой строки, содержащей число 4. Продолжайте делать это, пока не сможете уменьшить количество единиц до 2, 2 или нечетного числа единиц.

Попробуйте эту стратегию в игре Pearl 3 , вы всегда будете выигрывать. Если вы начинаете с проигрышной ситуации, как это было у меня в 10-й игре (4+7+8+11), вы можете нажать кнопку «старт», чтобы он начал первым.

Вы на верном пути с двоичными числами, но это не совсем выигрышная стратегия. Во-первых, если вы можете оставить противнику нечётное количество строк по одному числу в каждой, сделайте это. В противном случае разбейте каждую строку на её двоичные компоненты. Например, 99 будет 64+32+2+1. Затем сложите количество каждого компонента по всем строкам. Затем найдите ход, который оставит противнику чётное количество всех двоичных компонентов по всем строкам.

Рассмотрим пример. Предположим, настала ваша очередь, и ситуация выглядит следующим образом.

В следующей таблице каждая строка разбита на двоичные компоненты.

Ход игрока 1

Ряд	1	2	4	8	16
6	0	1	1	0	0
9	1	0	0	1	0
4	0	0	1	0	0
5	1	0	1	0	0
25	1	0	0	1	1
Общий	3	1	3	2	1

Как видите, количество единиц, двоек, четверок и шестнадцаток нечетное. Очевидно, нам нужно уменьшить число 25 в ряду до 16, чтобы исключить 16-ю единицу. Чтобы сумма двоичных компонентов оставалась четной, нам нужно убрать 1, добавить 2, добавить 4, оставить 8 и убрать 16. Это означает, что лучший ход — 2+4+8=14 в последнем ряду. Оставив 14 в нижнем ряду, мы получаем следующее.

Первый ход компьютера

Ряд	1	2	4	8	16
6	0	1	1	0	0
9	1	0	0	1	0
4	0	0	1	0	0
5	1	0	1	0	0
14	0	1	1	1	0
Общий	2	2	4	2	0

Затем очередь переходит к компьютеру, и в итоге мы получаем вот это.

Вот бинарное разложение этого понятия.

Ход игрока 2

Ряд	1	2	4	8	16
6	0	1	1	0	0
9	1	0	0	1	0
2	0	1	0	0	0
5	1	0	1	0	0
14	0	1	1	1	0
Общий	2	3	3	2	0

Здесь нам нужно убрать 2 и 4, чтобы получить равные суммы. Есть только одна строка, 14, в которой присутствуют оба компонента. Поэтому уберем из нее 6, останется 8.

Второй ход компьютера

Ряд	1	2	4	8	16
6	0	1	1	0	0
9	1	0	0	1	0
2	0	1	0	0	0
5	1	0	1	0	0
8	0	0	0	1	0
Общий	2	2	2	2	0

Затем очередь переходит к компьютеру, и в итоге мы получаем вот это.

Теперь нам нужно поменять местами столбцы 1, 4 и 8.

Ход игрока 3

Ряд	1	2	4	8	16
6	0	1	1	0	0
4	0	0	1	0	0
2	0	1	0	0	0
5	1	0	1	0	0
8	0	0	0	1	0
Общий	1	2	3	1	0

Это можно сделать, изменив строку с 8 на 5 следующим образом.

Третий ход компьютера

Ряд	1	2	4	8	16
6	0	1	1	0	0
4	0	0	1	0	0
2	0	1	0	0	0
5	1	0	1	0	0
5	1	0	1	0	0
Общий	2	2	4	0	0

Затем очередь переходит к компьютеру, и в итоге мы получаем вот это.

Теперь нам нужно поменять местами суммы 2 и 4.

Ход игрока 4

Ряд	1	2	4	8	16
6	0	1	1	0	0
4	0	0	1	0	0
2	0	1	0	0	0
5	1	0	1	0	0
3	1	1	0	0	0
Общий	2	3	3	0	0

Это можно сделать, заменив 6 на 0.

Четвёртый ход компьютера

Ряд	1	2	4	8	16
0	0	0	0	0	0
4	0	0	1	0	0
2	0	1	0	0	0
5	1	0	1	0	0
3	1	1	0	0	0
Общий	2	2	2	0	0

Затем очередь переходит к компьютеру, и в итоге мы получаем вот это.

Теперь нам нужно поменять местами двойки и четверки.

Ход игрока 5

Ряд	1	2	4	8	16
0	0	0	0	0	0
2	0	1	0	0	0
2	0	1	0	0	0
5	1	0	1	0	0
3	1	1	0	0	0
Общий	2	3	1	0	0

Этого можно добиться, изменив ряд из 5 чисел на 3. Если вам удастся привести противника к ситуации x, x, y, y, вы обязательно выиграете, если сможете поддерживать эту ситуацию до конца.

Поворот компьютера 5

Ряд	1	2	4	8	16
0	0	0	0	0	0
2	0	1	0	0	0
2	0	1	0	0	0
3	1	1	0	0	0
3	1	1	0	0	0
Общий	2	4	0	0	0

В следующих нескольких ходах я заставляю компьютер использовать последовательность x, x, y, y. В этот раз компьютер оставляет мне 2, 2, 3, 2; поэтому я оставляю ему 2, 2, 2, 2.

Затем компьютер выдает мне 2,2,1,2. Я оставляю ему 2,2,1,1.

Компьютер оставляет мне 2, 2, 1. Я оставляю ему 2, 2. Если вам удастся выстроить два одинаковых ряда против вашего противника, вы обязательно выиграете, главное — чтобы ряды были одинаковыми.

Затем компьютер оставляет мне одну кучу из 2 штук, и я убираю 1.

Игра подошла к концу.

Итак, есть 30 черных, 30 красных и 4 зеленых числа. Это означает, что вероятность выпадения черного числа составляет 30/64, красного — 30/64, а зеленого — 4/64. Если вероятность события равна p, то справедливые шансы равны (1-p)/p к 1. Таким образом, справедливые шансы для любого красного числа будут (34/64)/(30/64) = 34 к 30 = 17 к 15. То же самое для черного. Справедливые шансы для зеленого числа равны (60/64)/(4/64) = 60 к 4 = 15 к 1. Для конкретного числа справедливые шансы равны (63/64)/(1/64) = 63 к 1.

Я предлагаю делать ставки 1 к 1 на красное и чёрное, 14 к 1 на зелёное и 60 к 1 на любой отдельный номер. Одна из формул для расчета преимущества казино — (ta)/(t+1), где t — истинные шансы, а a — фактические шансы. В данном случае преимущество казино на ставку на красное или чёрное составляет (63-60)/(63+1) = 3/64 = 4,69%. На ставку на зелёное преимущество казино составляет (15-14)/(15+1) = 1/16 = 6,25%. На отдельные номера преимущество казино составляет (63-60)/(63+1) = 3/64 = 4,69%.

Виртуальные лотерейные автоматы (VLT) — это, по сути, игры с отрывными карточками. Существует заранее определённый пул исходов. Когда вы играете, игра случайным образом выбирает один из исходов из пула и отображает выигрыш игроку в виде игрового автомата или видеопокера. Поскольку исход предопределён, любой элемент мастерства является воображаемым. Например, если вам выпал роял-флеш, и вы его выбросили, вы получите ещё один при раздаче. Обычно я говорю, что в азартных играх прошлое не имеет значения, но в данном случае есть эффект исключения. Если вы сыграли один раз и проиграли, то это незначительно улучшит шансы на выигрыш в оставшихся играх, пока не закончится запас виртуальных отрывных карточек, и, я полагаю, виртуальный барабан не будет пополнен. Я считаю, что ваши колебания — это просто обычная удача, а любая предопределённость — воображаемая.

Позже один из читателей добавил к этой теме следующее.

У меня есть комментарий к вашей колонке «Спроси волшебника» от 14 февраля (№ 183). Он не имеет прямого отношения к вашему вопросу. Просто вам это может показаться интересным.

До принятия Предложения 1A, разрешившего полноценные игровые автоматы 3-го класса, у нас в течение нескольких лет работала небольшая установка типа VLT (виртуальных лотерейных терминалов). В нашей системе, которой управляла компания SDG (теперь часть Bally), призовой фонд изначально составлял 4 миллиона розыгрышей. Когда фонд уменьшился и осталось 2 миллиона, был добавлен следующий фонд в 4 миллиона, в результате чего общий фонд составил 6 миллионов розыгрышей. Когда фонд снова уменьшился до 2 миллионов, процесс повторился.

Если предположить, что игрок всегда вытягивает наиболее часто встречающееся число, то среднее значение составляет 11,09. Ниже приведена таблица, показывающая распределение количества бросков в ходе случайной симуляции, включающей 82,6 миллиона испытаний.

Эксперимент «Яхтзи»

Роллы	События	Вероятность
1	63908	0.00077371
2	977954	0.0118396
3	2758635	0.0333975
4	4504806	0.0545376
5	5776444	0.0699327
6	6491538	0.0785901
7	6727992	0.0814527
8	6601612	0.0799227
9	6246388	0.0756221
10	5741778	0.0695131
11	5174553	0.0626459
12	4591986	0.0555931
13	4022755	0.0487016
14	3492745	0.042285
15	3008766	0.0364257
16	2577969	0.0312103
17	2193272	0.0265529
18	1864107	0.0225679
19	1575763	0.019077
20	1329971	0.0161013
21	1118788	0.0135446
22	940519	0.0113864
23	791107	0.00957757
24	661672	0.00801056
25	554937	0.00671837
26	463901	0.00561624
27	387339	0.00468933
28	324079	0.00392347
29	271321	0.00328476
30	225978	0.00273581
31	189012	0.00228828
32	157709	0.00190931
33	131845	0.00159619
34	109592	0.00132678
35	91327	0.00110565
36	76216	0.00092271
37	63433	0.00076795
38	52786	0.00063906
39	44122	0.00053417
40	36785	0.00044534
41	30834	0.00037329
42	25494	0.00030864
43	21170	0.0002563
44	17767	0.0002151
45	14657	0.00017745
46	12410	0.00015024
47	10299	0.00012469
48	8666	0.00010492
49	7355	0.00008904
50	5901	0.00007144
51	5017	0.00006074
52	4227	0.00005117
53	3452	0.00004179
54	2888	0.00003496
55	2470	0.0000299
56	2012	0.00002436
57	1626	0.00001969
58	1391	0.00001684
59	1135	0.00001374
60	924	0.00001119
61	840	0.00001017
62	694	0.0000084
63	534	0.00000646
64	498	0.00000603
65	372	0.0000045
66	316	0.00000383
67	286	0.00000346
68	224	0.00000271
69	197	0.00000238
70	160	0.00000194
71	125	0.00000151
72	86	0.00000104
73	79	0.00000096
74	94	0.00000114
75	70	0.00000085
76	64	0.00000077
77	38	0.00000046
78	42	0.00000051
79	27	0.00000033
80	33	0.0000004
81	16	0.00000019
82	18	0.00000022
83	19	0.00000023
84	14	0.00000017
85	6	0.00000007
86	4	0.00000005
87	9	0.00000011
88	4	0.00000005
89	5	0.00000006
90	5	0.00000006
91	1	0.00000001
92	6	0.00000007
93	1	0.00000001
94	3	0.00000004
95	1	0.00000001
96	1	0.00000001
97	2	0.00000002
102	1	0.00000001
Общий	82600000	1

Нарды — одна из моих любимых азартных игр. Я не пишу о них, потому что анализ игр между игроками крайне сложен. К тому же, я никак не могу найти в этой игре ничего принципиально нового. Поэтому я оставлю советы другим. Вот мои рекомендуемые ресурсы:

Нарды Пола Магриэля: Если бы существовала Библия нардов, это была бы она. Я горжусь тем, что являюсь обладателем старого издания в твердом переплете. Эта книга станет отличным началом. Хотя она была написана в 1976 году, советы по-прежнему актуальны.

«501 основная задача по нардам» Билла Роберти: Я пытаюсь осилить эту книгу уже много лет, и до сих пор прошел только половину пути. Удручает, что я допускаю ошибки в половине задач, и это заставляет меня думать, что я играю в нарды так же плохо, как и в гольф. Однако каждая ошибка – это ценный урок. Для игроков среднего и продвинутого уровня эта книга станет ценным и поучительным инструментом.

Программа для игры в нарды Snowie : я играю около 1000 партий в год против этой программы. Snowie не только играет практически идеально, но и точно показывает, насколько дорогостоящими могут быть ваши ошибки, когда вы их совершаете. Есть много других функций, которые я никогда не изучал. Если я чему-то и научился у Snowie, так это тому, что самая большая проблема в моей игре — это глупые ошибки, когда я иногда не замечаю совершенно очевидных ходов. Как и в шахматах, один плохой ход может перечеркнуть 100 хороших.

Сайт Motif : До покупки Snowie я сыграл бесчисленное количество партий против Motif. Стратегия, используемая Motif, на мой взгляд, очень надежна. Нет ничего лучше, чем играть против более сильного соперника, чтобы улучшить свою собственную игру.

В следующей таблице показана вероятность выигрыша каждого игрока в зависимости от первого вращения барабанов, где игрок 1 ходит первым, за ним следует игрок 2, а игрок 3 — последним. В нижней строке показаны общие вероятности выигрыша до первого вращения барабанов.

Вероятности в соревновании участников телеигры «Цена правильная»

Вращение 1	Стратегия	Игрок 1	Игрок 2	Игрок 3
0,05	вращаться	20,59%	37,55%	41,85%
0.10	вращаться	20,59%	37,55%	41,86%
0,15	вращаться	20,57%	37,55%	41,87%
0.20	вращаться	20,55%	37,55%	41,9%
0,25	вращаться	20,5%	37,56%	41,94%
0.30	вращаться	20,43%	37,56%	42,01%
0,35	вращаться	20,33%	37,58%	42,10%
0,40	вращаться	20,18%	37,60%	42,22%
0,45	вращаться	19,97%	37,64%	42,39%
0,50	вращаться	19,68%	37,71%	42,61%
0,55	вращаться	19,26%	37,81%	42,93%
0,60	вращаться	18,67%	37,96%	43,36%
0,65	вращаться	17,86%	38,21%	43,93%
0,70	оставаться	21,56%	38,28%	40,16%
0,75	оставаться	28,42%	35,21%	36,38%
0,80	оставаться	36,82%	31,26%	31,92%
0,85	оставаться	46,99%	26,35%	26,66%
0,90	оставаться	59,17%	20,36%	20,47%
0,95	оставаться	73,61%	13,19%	13,21%
1.00	оставаться	90,57%	4,72%	4,72%
Средний		30,82%	32,96%	36,22%

Вот выигрышные комбинации из 6× ²⁰ возможных.

Игрок 1: 118 331 250
Игрок 2: 126 566 457
Игрок 3: 139,102,293

В правилах игры, где совпадение третьей карты означает ничью, шансы склоняются в вашу пользу, когда между первыми двумя картами разница составляет не менее шести рангов (шесть карт). В моей игре в округе Ориндж совпадение третьей карты приводило к двойному проигрышу. По этому правилу шансы равны при разнице в восемь карт. Если совпадение третьей карты приводит к проигрышу в 1 раз, то для того, чтобы шансы были в вашу пользу, вам нужна разница в семь карт.

Надеюсь, вы довольны; я потратил на это весь день. Ответ и решение можно найти на моем другом сайте mathproblems.info , задача 203, или в научной статье Джейсона Свонсона «Теория игр и покер» .

Для удобства других читателей поясню: пункт — это комиссия, взимаемая за кредит. Например, при кредите в 250 000 долларов один пункт будет равен 2500 долларам. Я предполагаю, что заемщик будет добавлять этот пункт к основной сумме долга и никогда не будет погашать основную сумму досрочно.

В следующей таблице показана эквивалентная процентная ставка без учета процентной ставки, в зависимости от процентной ставки с учетом процентной ставки и срока.

Эквивалентная процентная ставка без комиссионных сборов.

Процентная ставка с One Point	10 лет	15 лет	20 лет	30 лет	40 лет
4,00%	4,212%	4,147%	4,115%	4,083%	4,067%
4,25%	4,463%	4,398%	4,366%	4,334%	4,318%
4,50%	4,714%	4,649%	4,617%	4,585%	4,570%
4,75%	4,965%	4,900%	4,868%	4,836%	4,821%
5,00%	5,216%	5,151%	5,119%	5,088%	5,073%
5,25%	5,467%	5,402%	5,370%	5,339%	5,324%
5,50%	5,718%	5,654%	5,621%	5,590%	5,576%
5,75%	5,969%	5,905%	5,873%	5,842%	5,827%
6,00%	6,220%	6,156%	6,124%	6,093%	6,079%
6,25%	6,471%	6,407%	6,375%	6,344%	6,330%
6,50%	6,723%	6,658%	6,626%	6,596%	6,582%
6,75%	6,974%	6,909%	6,878%	6,847%	6,834%
7,00%	7,225%	7,160%	7,129%	7,099%	7,085%
7,25%	7,476%	7,412%	7,380%	7,350%	7,337%
7,50%	7,727%	7,663%	7,631%	7,602%	7,589%
7,75%	7,978%	7,914%	7,883%	7,853%	7,841%
8,00%	8,229%	8,165%	8,134%	8,105%	8,093%
8,25%	8,480%	8,416%	8,385%	8,357%	8,344%
8,50%	8,731%	8,668%	8,637%	8,608%	8,596%
8,75%	8,982%	8,919%	8,888%	8,860%	8,848%
9,00%	9,233%	9,170%	9,140%	9,112%	9.100%
9,25%	9,485%	9,421%	9,391%	9,363%	9,352%
9,50%	9,736%	9,673%	9,642%	9,615%	9,604%
9,75%	9,987%	9,924%	9,894%	9,867%	9,856%
10,00%	10,238%	10,175%	10,145%	10,119%	10,108%

Это показывает, что процентная ставка 5,75% с одним пунктом эквивалентна 5,842% без пунктов. Другими словами, платеж будет одинаковым в обоих случаях, если предположить, что начисленный пункт добавляется к основной сумме долга. Ваше другое предложение составляло 5,875% без пунктов, что выше, чем 5,842%, поэтому я бы выбрал 5,75% с пунктом.

P.S. Для тех, кому интересно, как я вычислил i, я использовал функцию rate в Excel.

Согласно книге Грегори Баера «Жизнь: шансы (и как их улучшить)» , вероятность попадания в лунку с первого удара на лунке пар-3 в турнирах PGA составляет 1 к 2491. Я считаю, что эти расстояния соответствуют лункам пар-3.

Гандикап 1 – это очень хороший результат, поэтому я не буду делать большой скидки по сравнению с игроками PGA Tour. Допустим, вероятность попадания вашего сына на лунку пар-3 составляет 1 к 3000. На типичном поле для гольфа около четырех лунок пар-3. Допустим, ваш сын играет каждый день. Это будет 28 лунок пар-3 в неделю. Вероятность сделать ровно два попадания в лунку с одного удара составит (28,2)×(1/3000) ^² ×(2999/3000) ^²⁶ = 1 к 24017.

Для простоты давайте не будем учитывать тот факт, что чем больше билетов вы покупаете, тем ниже становится стоимость каждого билета, потому что вы соревнуетесь сами с собой. При этом вероятность проиграть все пять билетов составляет (12/13) ⁵ = 67,02%. Таким образом, вероятность выиграть хотя бы один приз составляет 32,98%. В барабане до покупки находится 7033×13=91429 билетов. 91429-40=91389 — это не крупные призы. Вероятность не выиграть ни одного крупного приза с пятью билетами составляет (91389/91429) ⁵ = 99,78%. Таким образом, вероятность выиграть хотя бы один крупный приз составляет 0,22%, или 1 к 458.

Вероятности выпадения длинной масти в червах

Карты	Комбинации	Вероятность
4	222766089260	0.35080524800183
5	281562853572	0.44339660045899
6	105080049360	0.16547685914958
7	22394644272	0.03526640326564
8	2963997036	0.00466761219692
9	235237860	0.00037044541245
10	10455016	0.00001646424055
11	231192	0.00000036407412
12	2028	0.00000000319363
13	4	0.00000000000630
Общий	635013559600	1

Среднее количество карт в длинной масти составляет 4,9.

Во-первых, «правило 72» — это приблизительное значение времени, необходимого для удвоения ваших денег, а не точный ответ. В следующей таблице показаны значения «правила 72» и точное количество лет для различных годовых процентных ставок.

Почему именно 72? Необязательно точное значение 72. Это просто число, которое хорошо подходит для реалистичных процентных ставок, которые вы, вероятно, увидите при инвестировании. Оно почти точно соответствует процентной ставке 7,8469%. В числе 72 нет ничего особенного, как, например, в π или e. Почему любое число подходит? Если процентная ставка равна i, то давайте вычислим количество лет (y), необходимых для удвоения инвестиций.

2 = (1+i) ^y
ln(2) = ln(1+i) ^y
ln(2) = y × ln(1 + i)
y = ln(2)/ln(1+i)

Возможно, это не самый лучший мой ответ, но попробуйте следовать этой логике: пусть y = ln(x).
dy/dx=1/x.
1/x ≈ x при значениях x, близких к 1.
Таким образом, dy/dx ≈ 1 для значений x, близких к 1.
Таким образом, наклон графика ln(x) будет близок к 1 при значениях x, близких к 1.
Таким образом, наклон графика ln(1+x) будет близок к 1 при значениях x, близких к 0.
«Правило 72» гласит, что 0,72/i ≈ 0,6931/ln(1+i).
Мы установили, что i и ln(1+i) подобны для значений i, близких к 0.
Таким образом, 1/i и 1/ln(1+i) похожи для значений i, близких к 0.
Использование 72 вместо 69,31 позволяет скорректировать различия между i и ln(1+i) для значений i около 8%.

Надеюсь, это хоть как-то понятно. Мои знания математического анализа довольно сильно подзабылись; мне потребовались часы, чтобы разобраться в этом самостоятельно.

Этот вопрос был поднят и обсужден на форуме моего дочернего сайта Wizard of Vegas .

В индустрии эту игру называют «Разгром». Я помню, как в детстве видел её в Южной Калифорнии, а совсем недавно, в прошлом году, в Сан-Фелипе, Мексика. Обычно её оформляют так, чтобы она выглядела как футбольный матч. На мой взгляд, это худшая из всех афер на карнавалах. Штату Нью-Йорк должно быть стыдно за то, что он её разрешает. Судя по некоторым исследованиям, правила различаются в зависимости от места, но суть аферы всегда одна и та же.

В основе этой ставки лежит та же иллюзия, что и в крэпсе. Для тех читателей, кто не знаком с этой ставкой, поясним: игрок выигрывает, если сумма выпавших на двух кубиках чисел равна 2, 3, 4, 9, 10, 11 или 12. Проигрышные числа — 5, 6, 7 и 8. Выигрышные числа выплачиваются в равных суммах, за исключением 2, где выплата составляет 2 к 1, а 12 — 3 к 1 (кроме скупых казино Harrah's, где выплата 2 к 1 производится только на 12). Игрок, не разбирающийся в математике, может ошибочно предположить, что это хорошая ставка, потому что существует 7 выигрышных сумм и только 4 проигрышных. Причина, по которой шансы на стороне казино, заключается в том, что проигрышные числа имеют наибольшую вероятность выпадения.

Вот конкретные правила игры Razzle Dazzle, взятые из статьи Дональда А. Берри и Рональда Р. Регала «Вероятности выигрыша в определенной карнавальной игре» , опубликованной в ноябрьском номере журнала The American Statistician за 1978 год.

1. Цель игры — продвинуться по футбольному полю на 100 ярдов. За это игрок получит какой-нибудь приятный приз.
2. Игрок начинает платить определенную сумму за каждую игру, например, 1 доллар.
3. Игрок должен высыпать 8 шариков на сетку размером 11 на 13. Каждый шарик упадет в одно из 143 отверстий.
4. В каждом отверстии находится количество точек от 1 до 6. В следующей таблице показана частота встречаемости каждого количества точек.
   
   

   Распределение баллов Razzle Dazzle

   Баллы	Число на борту	Вероятность
   1	11	0.076923
   2	19	0.132867
   3	39	0.272727
   4	44	0.307692
   5	19	0.132867
   6	11	0.076923
   Общий	143	1.000000

5. Общее количество очков будет суммировано. Работник аттракциона посмотрит сумму очков в таблице пересчета, чтобы узнать, на сколько ярдов продвинулся игрок. Таблица пересчета показана ниже.
   
   

   Таблица конверсий Razzle Dazzle

   Баллы	Дворы Получено
   8	100
   9	100
   10	50
   11	30
   12	50
   13	50
   14	20
   15	15
   16	10
   17	5
   от 18 до 38	0
   39	5
   40	5
   41	15
   42	20
   43	50
   44	50
   45	30
   46	50
   47	100
   48	100

6. Если игрок выбросит в сумме 29, то плата за все последующие броски будет удвоена, и игрок получит один дополнительный приз, если и когда он достигнет другого конца футбольного поля.

Среднее количество очков на один шарик составляет 3,52, а стандартное отклонение — 1,31. Обратите внимание, что 3 и 4 очка имеют наибольшую вероятность. Это позволяет поддерживать низкое стандартное отклонение, и сумма результатов броска многих шариков близка к ожидаемой. Для сравнения, стандартное отклонение броска одной игральной кости составляет 1,71.

Далее, обратите внимание, что в таблице пересчета ярдов указано 20 выигрышных и 21 проигрышный вариант. Тот, кто играет в азартные игры на ярмарках, может ошибочно предположить, что вероятность его выхода в следующий раунд составляет 20/41 или 48,8%. Меня бы не удивило, если бы работники ярмарки ложно утверждали, что это шансы на выход в следующий раунд. Однако, как и в случае со ставкой на поле, наиболее вероятные исходы ничего не выигрывают.

В следующей таблице показана вероятность каждого количества очков за ход, количество набранных ярдов и ожидаемое количество набранных ярдов. В нижней правой ячейке указано среднее количество набранных ярдов за ход, равное 0,0196.

Ожидаемое количество ярдов, набранных за ход

Баллы	Вероятность	Дворы Получено	Ожидал Дворы Получено
8	0.00000000005	100	0.00000000464
9	0.00000000176	100	0.00000017647
10	0.00000002586	50	0.00000129285
11	0.00000022643	30	0.00000679305
12	0.00000143397	50	0.00007169849
13	0.00000713000	50	0.00035650022
14	0.00002926510	20	0.00058530196
15	0.00010234709	15	0.00153520642
16	0.00031168305	10	0.00311683054
17	0.00083981462	5	0.00419907311
18	0.00202563214	0	0.00000000000
19	0.00441368617	0	0.00000000000
20	0.00874847408	0	0.00000000000
21	0.01586193216	0	0.00000000000
22	0.02642117465	0	0.00000000000
23	0.04056887936	0	0.00000000000
24	0.05757346716	0	0.00000000000
25	0.07566411880	0	0.00000000000
26	0.09221675088	0	0.00000000000
27	0.10431970222	0	0.00000000000
28	0.10958441738	0	0.00000000000
29	0.10689316272	0	0.00000000000
30	0.09677806051	0	0.00000000000
31	0.08125426057	0	0.00000000000
32	0.06317871335	0	0.00000000000
33	0.04540984887	0	0.00000000000
34	0.03009743061	0	0.00000000000
35	0.01833921711	0	0.00000000000
36	0.01023355162	0	0.00000000000
37	0.00520465303	0	0.00000000000
38	0.00239815734	0	0.00000000000
39	0.00099365741	5	0.00496828705
40	0.00036673565	5	0.00183367827
41	0.00011909673	15	0.00178645089
42	0.00003349036	20	0.00066980729
43	0.00000797528	50	0.00039876403
44	0.00000155945	50	0.00007797235
45	0.00000023832	30	0.00000714969
46	0.00000002632	50	0.00000131607
47	0.00000000176	100	0.00000017647
48	0.00000000005	100	0.00000000464
Итоговые суммы	1.00000000000	0	0.01961648451

Вот некоторые результаты случайного моделирования 17,5 миллионов игр.

Результаты моделирования Razzle Dazzle

Вопрос	Отвечать
Вероятность продвижения за ход	0,0028
Ожидаемое количество ярдов, набранных за ход	0,0196
Ожидаемое количество ярдов, набранных за каждое продвижение.	6.9698
Ожидаемое количество ходов за игру	5238.7950
Среднее количество парных матчей за игру	559.9874
Средние призы за игру	560.9874

Мне бы хотелось указать среднюю общую ставку за игру, но мой компьютер не может обрабатывать такие большие числа. В среднем игрок удваивал свою ставку 560 раз за 5239 ходов в игре. В одной из игр в симуляции игрок удваивал свою ставку 1800 раз. Даже при среднем количестве удвоений в 560, ставка за один бросок составила бы 3,77 × ^10¹⁶⁸ долларов, при условии начальной ставки в 1 доллар. Это на много порядков больше, чем количество атомов в известной Вселенной ( источник ).

Даже самый наивный игрок не будет долго играть, если он продвигается вперед только раз в 355 ходов. Поначалу торговцы будут жульничать в пользу игрока. Они могут подсовывать игроку бесплатные броски или лгать при подсчете очков, давая игроку выигрышные суммы, чтобы поднять его уверенность. Я никогда не играл в эту игру, но предполагаю, что когда игрок приблизится к красной зоне (20 ярдов или меньше до тачдауна), торговец начнет играть честно. Игрок может удивляться, почему он вдруг никуда не продвигается, но, уже вложив деньги и находясь так близко к линии ворот, он будет колебаться, прежде чем уйти и отдать уже заплаченные ярды.

Ссылки

• «Блеск и ослепительность» — отрывок из книги «На Мидуэе».
• Афера с настольной игрой Razzle Dazzle Carny Board Game Arcade .
• Вероятности выигрыша в определенной карнавальной игре (авторы: Дональд А. Берри и Рональд Р. Регал)

Существует восемь способов выиграть: три ряда, три столбца и две диагонали. Комбинаций (9,3) = 84, чтобы выбрать 3 клетки из 9. Таким образом, вероятность выигрыша составляет 8/84 = 9,52%.

Этот вопрос был поднят и обсужден на форуме моего дочернего сайта Wizard of Vegas .

Вот базовая стратегия моего Волшебника в игре «Монополия»:

• Скупайте всё. Опытные игроки могут сделать исключения, если недвижимость не поможет вам создать монополию, не заблокирует действия другого игрока и не представляет большой ценности в качестве козыря в переговорах. В случае нехватки денежных средств от коммунальных услуг также можно отказаться.
• Торгуйте как можно эффективнее. Здесь вступает в игру мастерство. Старайтесь обменять их на лучший набор карт, какой только сможете. Вот как я их ранжирую в целом: оранжевый, жёлтый, светло-голубой, тёмно-синий, светло-фиолетовый, красный, зелёный, тёмно-фиолетовый. Это может меняться в зависимости от обстоятельств. В игре с ограниченными средствами отдавайте предпочтение наборам, которые дешевле развивать, например, светло-голубым. В игре с большими средствами выбирайте те, на которые есть больше возможностей потратить деньги, например, жёлтые или тёмно-синие.
• Как только вы обзаведетесь домом, естественным путем или в результате обмена, наращивайте его как можно быстрее. Постарайтесь как можно быстрее построить по три дома на каждом участке. После трех домов предельная доходность с каждого построенного дома падает. Заложите большую часть оставшейся недвижимости и тратьте свои деньги. Вам нужно оставить немного средств на мелкие расходы. Не тратить деньги — это как солдат в бою, не использующий свои патроны.
• Выступайте против всех нелепых правил игры. Особенно это касается денежного приза в игре «Бесплатная парковка» (я терпеть её не могу!). Если вы более опытны, чем ваши противники, вы должны свести к минимуму случайность в игре.

Этот вопрос был поднят и обсужден на форуме моего дочернего сайта Wizard of Vegas .

Шесть центральных граней куба неподвижны. Поворачивая грани, можно лишь переставлять углы и ребра. Если разобрать куб, то получится 8! = 40 320 способов расположить восемь углов, не принимая во внимание ориентацию каждой детали. Аналогично, существует 12! = 479 001 600 способов расположить 12 ребер, не принимая во внимание ориентацию.

Каждый угол может быть ориентирован тремя способами, что в сумме составляет 3 ⁸ = 6561 вариантов ориентации угла. Аналогично, каждый краевой элемент может быть ориентирован двумя способами, что в сумме составляет 2 ¹² = 4096 вариантов ориентации края.

Итак, если бы мы могли разобрать куб и переставить группы ребер и углов, то получили бы 8! × 12! × 3 ⁸ × 2 ¹² = 519 024 039 293 878 000 000 возможных перестановок. Однако не все из этих перестановок можно получить из исходного положения, вращая грани.

Во-первых, невозможно повернуть только один угол, оставив все остальное без изменений. Никакая комбинация поворотов этого не обеспечит. По сути, каждое действие должно вызывать противодействие. Если вы захотите повернуть один угол, это каким-то образом повлияет на другие фигуры. Точно так же невозможно перевернуть только одну реберную фигуру. По этим причинам нам приходится делить количество перестановок на 3 × 2 = 6.

Во-вторых, невозможно поменять местами две ребра, не нарушив целостность кубика. Это самая сложная часть ответа для объяснения. Все, что можно сделать с кубиком Рубика, — это вращать по одной грани за раз. Каждое движение поворачивает четыре ребра и четыре угловых элемента, всего перемещается восемь элементов. Последовательность вращений может быть представлена числом перемещений элементов, делящимся на 8. Часто последовательность движений приводит к тому, что два движения взаимно компенсируются. Однако при любой последовательности вращений всегда будет перемещено четное число элементов. Поменять местами два ребра — это одно движение, нечетное число, чего нельзя достичь суммой любых четных чисел. Математики назвали бы это проблемой четности. Поэтому нам нужно разделить на 2, потому что два ребра нельзя поменять местами, не нарушив целостность других элементов.

Таким образом, существует 3 × 2 × 2 = 12 возможных групп перестановок кубика Рубика. Если разобрать кубик Рубика и собрать его случайным образом, то вероятность того, что он будет решён, составляет 1 к 12. Следовательно, общее количество перестановок в кубике Рубика равно 8! × 12! × 3 ¹² × 2 ¹² / 12 = 43 252 003 274 489 900 000. Если бы у вас было семь миллиардов обезьян, примерно равных численности населения Земли, которые случайным образом играли бы с кубиком Рубика со скоростью один оборот в секунду, то в среднем один кубик проходил бы через решённое положение раз в 196 лет.

Ссылки

• Теория групп через кубик Рубика от Тома Дэвиса (PDF)
• Статья о кубике Рубика в Википедии

Для тех, кто не знаком с правилами игры в «Червы», игра начинается с раздачи по 13 карт каждому из четырех игроков. Масть червей имеет значение в игре, поэтому количество полученных карт важно. В следующей таблице показаны шансы получить от 0 до 13 червей.

Этот вопрос был поднят и обсужден на форуме моего дочернего сайта Wizard of Vegas .

Надеюсь, вы довольны. Чтобы ответить на этот вопрос, я купил большой рулон билетов в магазине Office Depot. Затем я положил 500 билетов в бумажный пакет, половину сложив пополам примерно под углом 90 градусов, а другую половину развернув. Затем шесть добровольцев по очереди вытаскивали от 40 до 60 билетов, возвращая их обратно, а я записывал результаты. Вот результаты.



Таким образом, 58,3% выпавших билетов были сложены!

Если предположить, что складывание не оказало никакого влияния, то эти результаты будут отличаться от ожиданий на 2,89 стандартных отклонения. Вероятность получить такое количество сложенных билетов или больше, если предположить, что складывание не повлияло на шансы, составляет 0,19%, или 1 к 514.

Добавлю, что те, кто быстро вытаскивал билеты, гораздо чаще вытаскивали сложенные. У тех, кто тщательно выбирал билеты, соотношение было примерно 50/50.

Итак, мой вывод однозначно таков: их нужно сложить.

Для обсуждения этого вопроса, пожалуйста, посетите мой форум на сайте Wizard of Vegas .