Вероятность - Часто задаваемые вопросы

Кажется, я где-то читал, что если в комнате находится группа из двадцати человек, то вероятность того, что у двоих из них будет один и тот же день рождения, составляет менее 50/50. Это правда?

Ginny от Seattle, Washington

Вероятность того, что у 20 разных людей будут разные дни рождения (без учета високосного дня), составляет (364/365)*(363/365)*(362/365)*...*(346/365) = 58,8562%. Таким образом, вероятность совпадения хотя бы одного дня рождения составляет 41,1438%. Кроме того, 23 — это наименьшее количество людей, необходимое для того, чтобы вероятность совпадения превысила 50%.

Если у вас есть 30 человек, все родившиеся в одном и том же 365-дневном календарном году, какова вероятность того, что у любых двух из них день рождения будет одинаковым? Пожалуйста, объясните формулу в своем ответе.

Scott от Madison, Indiana

Представьте, что 30 человек выстроились в ряд. Вероятность того, что второй человек не совпадет с первым, составляет 364/365. Затем, если предположить, что они не совпали, вероятность того, что следующий человек не совпадет ни с одним из первых двух, составляет 363/365. Продолжайте по одному человеку за раз. Общая вероятность того, что ни один из двух человек не совпадет, составляет (364/365)*(363/365)*...*(346/365) = 29,3684%. Часто спрашивают, какое наименьшее количество людей нужно, чтобы вероятность совпадения составляла не менее 50%. Ответ: при наличии 23 человек вероятность совпадения хотя бы одного человека составляет 50,7297%.

Экзамен состоит из 75 вопросов с несколькими вариантами ответа. Каждый вопрос имеет 4 возможных ответа, но только 1 из них правильный. Проходной балл составляет 50%. Каковы шансы сдать экзамен, угадав каждый ответ?

Wendy от London

1 из 635 241.

Продолжительность жизни людей разного возраста рассчитана и обобщена на основе данных, размещенных на сайте Управления социального обеспечения . Однако я хочу узнать продолжительность жизни двух человек. Допустим, у меня есть два человека: тридцатилетний мужчина (я) и двадцативосьмилетняя женщина (моя девушка). Согласно таблице, я проживу еще 46,89 лет, а она — 53,22 года. Но сколько времени, как ожидается, пройдет до нашей смерти? Как это рассчитать?

zachisbest

Во-первых, было бы уместно использовать когортные таблицы продолжительности жизни, а не периодическую таблицу, на которую вы дали ссылку. Я пытался найти когортные таблицы продолжительности жизни в интернете, но безуспешно. Однако мы все еще можем использовать предоставленную таблицу. Она может немного занижать ожидаемую продолжительность жизни, поскольку не учитывает будущие увеличения продолжительности жизни.

Для ответа на ваш вопрос потребовалось создать большую матрицу вероятностей каждой комбинации года смерти для вас и 28-летней женщины. Простите, если я не буду вдаваться в подробности. Суть в том, что я показываю, что сначала одна из вас умрет через 41,8 года, а вторая — через 57,3 года. Обе цифры округляются в меньшую сторону; другими словами, вам не начисляются баллы за неполные годы.

Этот вопрос был поднят и обсужден на форуме моего дочернего сайта Wizard of Vegas .

Что такое i^i?

анонимный

Я не хочу просто сказать вам ответ, не дав вам возможности решить задачу самостоятельно.

Во-первых, вот подсказка , которая поможет. Если вы ещё не знаете это уравнение, вы вряд ли сможете его решить.

В противном случае, я признаю, что я плохой. Просто покажите мне решение.

Для обсуждения уравнения в подсказке, пожалуйста, посетите мой форум на сайте Wizard of Vegas .

Я слышал, что в Соединенном Королевстве есть женщина, которая родила своего первого и второго ребенка точно в те же даты, что и принц Джордж с принцессой Кейт. Какова вероятность такого совпадения?

анонимный

Чтобы ответить на этот вопрос, мне придётся сделать несколько приблизительных предположений.

Напомним, что принц Джордж родился 22 июля 2013 года, а принцесса Шарлотта — 2 мая 2015 года. Разница составляет 649 дней. Если учесть девятимесячный период беременности, то между рождением Джорджа и зачатием Шарлотты прошло 379 дней.

Исходя из личных наблюдений, предположим, что средний промежуток времени между рождением и зачатием следующего ребенка составляет три года. Это означает, что между рождением и зачатием следующего ребенка проходит 825 дней. Используя экспоненциальное распределение, я обнаружил, что вероятность разницы ровно в 379 дней составляет 0,0442%.

Далее предположим, что любая женщина в возрасте от 20 до 39 лет является потенциальной кандидаткой. Согласно Википедии , население Соединенного Королевства в этой возрастной категории составляет 16 924 000 человек. Разделим это число на два, чтобы исключить мужчин, и получим 8 462 000 женщин детородного возраста в Великобритании.

Коэффициент рождаемости в Соединенном Королевстве, то есть среднее число детей, рожденных каждой женщиной детородного возраста, составляет 1,92. Используя распределение Пуассона, я получаю вероятность рождения двух или более детей в 69,83%. Таким образом, число женщин детородного возраста в Великобритании, которые родят двух или более детей, составляет 8 462 000 × 69,83% = 5 909 015.

Поскольку женщины обычно рожают детей ближе к 20 годам, чем к 40, можно приблизительно сказать, что возраст матери на момент рождения первенца будет равномерно распределен между 20 и 37 годами. Таким образом, число женщин в Великобритании, которые родят своего первенца ровно в день рождения принца Джорджа, составляет 5 909 015 / (17 × 365) = 952,32.

Мы уже установили, что вероятность точной разницы в возрасте между первым и вторым ребенком в 379 дней составляет 0,0442%. Таким образом, ожидаемое число женщин, родивших второго ребенка в тот же день, что и принцессу Шарлотту, и уже родивших первенца в тот же день, что и принца Джорджа, составляет 952,32 × 0,000442 = 0,421.

Используя экспоненциальное распределение со средним значением 0,421, вероятность того, что хотя бы у одной женщины родятся первый и второй дети в те же самые дни, что и принц Джордж и принцесса Шарлотта, составляет 34,36%.

Кстати, я обнаружил, что вероятность того же самого в Соединенных Штатах составляет 86,32%.

Каково среднее количество итераций, необходимых для того, чтобы сумма чисел в равномерном распределении от 0 до 1 равнялась 1?

анонимный

Отвечать:

[спойлер] Ответ: e = 2,7182818....[/спойлер]

Решение:

[спойлер] Вот решение . [/спойлер]

Каково ожидаемое количество случайных чисел, выбранных из равномерного распределения от 0 до 1, для того чтобы сумма превысила 1?

анонимный

Ответ: [спойлер] e=2.718281828... [/спойлер] Решение: [спойлер] Вот решение . [/спойлер]

У двух игроков, Сэма и Дэна, по пять монет. Каждый должен выбрать, какую из них положить в руку — от одной до пяти монет. При этом каждый должен показать количество сыгранных монет. Если оба выберут одинаковое количество монет, то Сэм выиграет и заберет все сыгранные монеты. Если оба выберут разное количество монет, то Дэн заберет все сыгранные монеты. Предполагая, что оба игрока — совершенные логики, какова оптимальная стратегия для Дэна?

ThatDonGuy

[спойлер=Ответ]

Дэну следует рандомизировать свою стратегию следующим образом: