Вероятность - Монеты

Для решения этой задачи мы можем использовать нормальную аппроксимацию биномиального распределения. Дисперсия числа выпавших орлов равна 1000*(1/2)*(1/2)=250. Следовательно, стандартное отклонение равно 250 ^1/2 = 15,8114. Вероятность выпадения менее 548 орлов равна normdist((548+0,5-500)/15,8114) = 0,998920, где normdist — это функция Excel для вероятности того, что случайная величина со средним значением 0 и стандартным отклонением 1 окажется ниже заданного Z-балла. Далее вычитаем вероятность выпадения менее 452 орлов. Это normdist((452-0,5-500)/15,8114) = 0,001080. Таким образом, ответ равен 0,99892-0,00108 = 0,997840. Опять же, это аппроксимация. Фактический ответ — 0,997856, но его вычисление более трудоемко. В среднем, после установления точки в игре в кости, как часто игрок будет её устанавливать?

Учитывая, что точка была установлена, в 5/12 случаев это будет 6 или 8, в 4/12 — 5 или 9, и в 3/12 — 4 или 10. Вероятность получить 6 или 8 составляет 5/11, 5 или 9 — 4/10, а 4 или 10 — 3/9. Таким образом, вероятность установить точку, при условии, что она была установлена, составляет (5/12)*(5/11)+(4/12)*(4/10)+(3/12)*(3/9) = 40,61%.

Вероятность того, что любой человек выбросит 8 орлов или решек, составляет 2*(1/2) ⁸ = 1 к 128. Если 50 человек сделают это в среднем, то 0,39 из них получат все орлы или решки. Вероятность того, что хотя бы один человек получит все орлы или решки, составляет 32,44%.

Это классический пример задачи на байесовскую условную вероятность. В общем случае вероятность события А при условии события В равна вероятности событий А и В, деленной на вероятность события В. В данном случае А подбрасывает 10 орлов подряд, а В выбирает монету с двумя орлами. Вероятность событий А и В равна 1/100. Это потому, что вероятность выбрать монету с двумя орлами составляет 1 к 100, а если это произойдет, то вероятность выпадения 10 орлов подряд составляет 100%. Вероятность выпадения 10 орлов подряд, при условии случайного выбора монеты, равна (1/100)*1 + (99/100)*(1/2) ^10. Это потому, что вероятность выбрать монету с двумя орлами составляет 1%, что соответствует 100% вероятности выпадения 10 орлов, а вероятность выбрать честную монету, которая соответствует (1/2) ¹⁰ вероятности выпадения 10 орлов подряд, составляет 99%. Таким образом, вероятность того, что вы выбрали монету с двумя орлами, при условии, что вы подбросили 10 орлов подряд, составляет 0,01/(0,01*1 + 0,99* 0,000977) = 0,911843.

Да! Мой совет: в начале подбрасывания делайте ставку на верхнюю сторону монеты. Согласно Science News Online, вероятность того, что монета упадет на ту же сторону, с которой она начала, составляет 51%. В статье говорится, что причина в том, что подброшенная монета не вращается идеально вокруг своей оси и иногда кажется, что она подбрасывается, хотя на самом деле это не так. Эта гипотеза применима только в том случае, если монета находится в ладони, поэтому отскок не является проблемой. В статье также говорится, что вращающаяся монета в 80% случаев выпадет решкой, поскольку более тяжелая сторона с орлом стремится упасть первой. Однако я скептически отношусь к этому. Я попробовал это 20 раз и получил 11 орлов и 9 решек. Вероятность получить 9 или меньше решек за 20 вращений с вероятностью успеха 80% составляет 1 к 1775.

После множества потраченных впустую часов я наконец обнаружил, что вращал монетку слишком быстро, и более медленное вращение дало желаемый результат, то есть решку вверх. Кроме того, монетка не совсем ровная, и начало вращения с самой тонкой части, кажется, улучшило её равномерность. Несколько таблиц, полных всякой ерунды, и огромный картонный круг, украшенный как монетка, принесли мне пятёрку по естествознанию и провалы по всем остальным предметам, поскольку я игнорировал все домашние задания.

Хорошо, я попробовал еще раз, медленно вращая монетку 100 раз. Под «медленно» я подразумеваю время между броском и моментом, когда результат становился очевидным, не менее двух секунд, но менее пяти. Я использовал красивую блестящую монетку 2004-D. В результате получилось 52 орла и 48 решек. Так что я по-прежнему не убежден, что вращающаяся монетка на любой скорости сильно склоняется к выпадению решек.

Действительно, для одиночных событий, если вероятность равна p, то среднее время ожидания составляет 1/p. Однако с последовательными событиями ситуация усложняется. Пусть x — состояние, в котором последний бросок не выпал на двойку. Это также состояние в начале. Пусть y — состояние, в котором последний бросок выпал на двойку. После первого броска вероятность того, что мы останемся в состоянии x, составляет 5/6, а вероятность того, что мы останемся в состоянии y, — 1/6. Пусть Ex(x) — ожидаемое количество бросков из состояния x, а Ex(y) — ожидаемое количество из состояния y. Тогда...

Ex(x) = 1 + (5/6)*ex(x) + (1/6)*ex(y), и
Ex(y) = 1 + (5/6)*ex(x)

Решая эти два уравнения...

Ex(x) = 1 + (5/6)*ex(x) + (1/6)*( 1 + (5/6)*Ex(x))
Ex(x) = 7/6 + (35/36)*Ex(x)
(1/36)*Ex(x) = 7/6
Ex(x) = 36*(7/6) = 42

Таким образом, среднее время ожидания двух последовательных двоек составляет 42 броска кубика.

У меня похожая проблема, только для получения двух орлов нужны ожидаемые подбрасывания кубика. На моем сайте с математическими задачами , смотрите задачу 128.

Назовем x ожидаемым числом бросков относительно начальной точки.
Назовем y ожидаемым числом оставшихся бросков, если одна из сторон выигрывает один раз из большинства.
Назовем z ожидаемым числом оставшихся бросков, если одна сторона имеет преимущество в два броска в большинстве.

E(x) = 1 + E(y)
E(y) = 1 + 0,5*E(x) + 0,5*E(z)
E(z) = 1 + 0,5*E(y)

Затем, с помощью матричных алгебраических вычислений, легко увидеть, что E(x) = 9, E(y) = 8 и E(z) = 5. Таким образом, в среднем потребуется 9 бросков, чтобы разница между орлом и решкой составила 3. Поэтому ставка в 8 рупий является выгодной для игрока, получающего одну рупию за бросок, поскольку в среднем он получит 9 рупий, но вернет только 8. Преимущество казино для игрока составляет 11,11%. При ставке в 9 рупий это справедливая ставка, при 7 рупиях преимущество казино составляет 22,22%.

Несколько человек попросили меня подробнее объяснить свой ответ. Для решения требуется базовая матричная алгебра.

Начните с того, что обозначьте x как ответ, или среднее количество бросков, при котором разница между орлом и решкой становится равной 3.

Пусть y — ожидаемое количество бросков из точки, где одна сторона находится выше на один бросок.

Пусть z — ожидаемое количество бросков из точки, где одна сторона находится выше на два броска.

После первого броска одна из сторон окажется в большинстве на один бросок. Следовательно, x = 1 + y.

Когда одна из сторон опережает другую на один ход, следующий ход приведет либо к первоначальному ничейному состоянию, либо к тому, что одна из сторон окажется впереди на два хода. Оба исхода одинаково вероятны. Таким образом, y = 1 + 0,5*x + 0,5*z

Когда одна из сторон опережает другую на два броска, следующий бросок приведет либо к тому, что одна из сторон окажется впереди на один бросок, либо к концу игры. Опять же, оба исхода одинаково вероятны. Таким образом, z = 1 + 0,5 * y

Таким образом, у нас есть три уравнения и три неизвестных:

(1) X = 1 + y

(2) Y = 1 + 0,5x + 0,5z

(3) Z = 1 + 0,5y

Для решения давайте сначала избавимся от десятичных знаков, умножив последние два уравнения на 2.

(1) X = 1 + y

(2) 2Y = 2 + x + z

(3) 2Z = 2+ y

Подставим 1+y из (1) вместо x в (2).

2Y = 2 + 1 + y + z

(4) y = 3 + z

В (3) нет замены 3+z на y.

2z = 2 + 3 + z

z = 5

Теперь подставим 5 вместо z в (4), чтобы получить

(5) y = 3 + 5 = 8

Подстановка y = 8 в (1) не дает

(6) x = 9

В следующей таблице показана вероятность выигрыша игрока А при всех возможных вариантах развития событий, выбранных игроком А и игроком В.

Вероятность победы игрока А

Игрок А	Игрок Б
	ХХХ	ХХТ	СПАСИБО	ХТТ	ТХХ	ТХТ	ТТХ	ТТТ
ХХХ		1/2	2/5	2/5	1/8	5/12	3/10	1/2
ХХТ	1/2		2/3	2/3	1/4	5/8	1/2	7/10
СПАСИБО	3/5	1/3		1/2	1/2	1/2	3/8	7/12
ХТТ	3/5	1/3	1/2		1/2	1/2	3/4	7/8
ТХХ	7/8	3/4	1/2	1/2		1/2	1/3	3/5
ТХТ	7/12	3/8	1/2	1/2	1/2		1/3	3/5
ТТХ	7/10	1/2	5/8	1/4	2/3	2/3		1/2
ТТТ	1/2	3/10	5/12	1/8	2/5	2/5	1/2

Для выбора оптимальной комбинации карт, учитывающей особенности вашей стратегии, первым и вторым выбором оппонента должны быть ваши второй и третий выборы соответственно. Ваш первый выбор должен быть противоположным третьему. Например, если ваш оппонент выбирает HTT, ваши второй и третий выборы должны быть HT. Ваш последний выбор — T, поэтому ваш первый выбор должен быть H, если комбинация HHT. Следуя этой стратегии, ваша вероятность выигрыша составит от 2/3 до 7/8, в зависимости от того, какую комбинацию выберет оппонент.

Ваши тиражи близки к тиражам Mountain View Coins . Предполагая, что каждая когда-либо отчеканенная монета достоинством в один пенни с изображением пшеничного колоса имеет одинаковую вероятность оказаться в мешке, вероятность того, что любая монета не будет иметь номер 55, составляет (24 267 000 000 - 330 000 000) / 24 267 000 000 = 0,986401286. Вероятность того, что 5500 монет не будут иметь номер 55, можно очень точно оценить как 0,986401286. ⁵⁵⁰⁰ = 1 из 507 033 772 284 213 000 000 000 000 000 000.

Мой отец — коллекционер монет, поэтому я попросил его помочь мне в этом вопросе. Вот что он сказал:

Вот моя догадка. В 1955 году в Филадельфии было отчеканено небольшое количество центов с изображением Линкольна, на которых дата была указана дважды. Никто точно не знает, сколько именно. Они были смешаны с другими центами для обращения до того, как ошибка была обнаружена. Сегодня экземпляр в идеальном состоянии стоит от 2000 до 6000 долларов. Я подозреваю, что из мешка с «пшеничными» монетами уже были отобраны все монеты 1955 года кем-то, кто искал экземпляры с двойным штампом. Вот фотография одной из таких монет: 1955 год, аверс, двойной штамп, один цент .

Обратите внимание, что на этом сайте продаются «пшеничные пенни», и можно с уверенностью сказать, что после того, как монеты были собраны дилером, произошла некоторая сортировка по датам. Я бы предположил, что пенни 1955 года, не имеющие двойного штампа, были бы возвращены в коллекцию, но, возможно, они продаются отдельно или переплавляются. Медь в пшеничных пенни сегодня стоит гораздо больше одного цента. Именно поэтому несколько десятилетий назад перешли на медные цинковые центы. Возможно, сам монетный двор решил не распространять многие пенни 1955 года и переплавил их после чеканки, чтобы избежать ажиотажа вокруг редких экземпляров с двойным штампом. Монетный двор и Почта всегда стеснялись ошибок печати и стараются не допускать их попадания в обращение.

Да, я сказал «приблизительно», потому что в мире не так уж много пенни. Удалите из мешка один пенни, не равный 55, и эффект удаления увеличит вероятность того, что каждый второй пенни в мешке будет иметь число 55. Если бы я не сказал «приблизительно», по крайней мере три человека написали бы мне, чтобы меня поправить. Конечно, это крайне незначительный эффект, но многие из моих читателей — перфекционисты, и они набросятся на меня из-за малейшей ошибки.

Решение можно найти на моём другом сайте, mathproblems.info (осторожно, спойлер!).

Вероятность получить ровно 50 каждого вида равна (100,50)*(1/2) ¹⁰⁰ = 7,96%. Справедливые шансы составили бы 11,56 к 1. Таким образом, при коэффициенте 3 к 1 это ужасная ставка с преимуществом казино в 68,2%. Вот уж у вас друг. 50/50 — наиболее вероятное точное разделение между орлом и решкой. Интересная ставка — попадет ли количество орлов/решек в диапазон от 47 до 53 или нет. Вероятность попадания в этот диапазон составляет 51,59%. Если вы найдете кого-нибудь, кто поставит на то, что сумма выйдет за пределы этого диапазона, то при равных шансах у вас будет преимущество в 3,18%.

В следующей таблице показана вероятность выпадения каждого из 30-70 орлов/решек.

Общая формула для вероятности выигрыша w из n испытаний, где вероятность каждого выигрыша равна p, имеет вид combin(n,w) × p ^w × (1-p) ^(nw) = [n!/(w! × (nw)!] × p ^w × (1-p) ^(nw) .

Забавно, что вы спросили; другой читатель только что прислал мне научную статью на эту тему. В этой статье есть следующий график, который показывает вероятность того, что она составит около 62%.

Для получения дополнительной информации по этой теме, пожалуйста, посетите статью Фрэнка Мартина «Какова была вероятность такой ужасной полосы неудач в казино?» (483K).

Если существует простое, нерекурсивное выражение для ответа, мне о нём неизвестно. Однако существует простое рекурсивное выражение для ответа.

f(n) = pr(решка при первом броске)×f(n-1) +
pr(орёл при первом броске, решка при втором броске)×f(n-2) +
pr(орёл в первых двух бросках, решка в третьем броске)×f(n-3) +
pr(орёл в первых трёх бросках, решка в третьем броске)×f(n-4) +
pr(орёл в первых 4 бросках, решка в четвёртом броске)×f(n-5) +
pr(орёл в первых 5 бросках, решка в пятом броске)×f(n-6) +
pr(орёл в первых 6 бросках, решка в шестом броске)×f(n-7) +
pr(орёл в первых 7 бросках) =

(1/2)×f(n-1) +
(1/2) ² ×f(n-2) +
(1/2) ³ ×f(n-3) +
(1/2) ⁴ ×f(n-4) +
(1/2) ⁵ ×f(n-5) +
(1/2) ⁶ ×f(n-6) +
(1/2) ⁷ ×f(n-7) +
(1/2) ⁷

Где:
f(n) = вероятность успеха при n бросках.
pr(x) = вероятность наступления события x.

Электронные таблицы идеально подходят для решения подобных задач. На скриншотах таблицы ниже я указал вероятность 0 для ячеек B2–B8, потому что невозможно получить 7 орлов подряд за 6 или менее бросков. Для ячейки B9 я ввел формулу:

=(1/2)*B8+(1/2)^2*B7+(1/2)^3*B6+(1/2)^4*B5+(1/2)^5*B4+(1/2)^6*B3+(1/2)^7*B2+(1/2)^7

Затем я скопировал и вставил это из ячейки B10 в ячейку B102, что соответствует 100 броскам. Вероятность составляет 0,317520. Случайное моделирование это подтверждает.

Кстати, если вам интересно, вероятность того, что хотя бы один раз выпадет орёл или решка подряд из 7 или более выпадений, составляет 54,23%. Вероятность того, что один или несколько раз выпадет ровно семь орлов подряд, составляет 17,29%.

---

После первоначальной публикации Рик Перси поделился со мной своим решением задачи матричной алгебры. Вот оно, изложенное моими собственными словами. Я предполагаю, что читатель уже знаком с основами матричной алгебры.

Во-первых, в любой момент времени ласт может находиться в восьми различных состояниях:

p ₁ = Вероятность успеха при условии, что вам нужно еще 7 орлов с текущей точки.
p ₂ = Вероятность успеха при условии, что вам нужно еще 6 орлов с текущей точки.
p ₃ = Вероятность успеха при условии, что вам нужно еще 5 орлов с текущей точки.
p ₄ = Вероятность успеха при условии, что вам нужно еще 4 орла с текущей точки.
p ₅ = Вероятность успеха при условии, что вам нужно еще 3 орла с текущей точки.
p ₆ = Вероятность успеха при условии, что вам нужно еще 2 орла с текущей точки.
p ₇ = Вероятность успеха при условии, что вам нужно еще 1 орёл с текущей точки.
p ₈ = Вероятность успеха при условии, что вам больше не нужно выпадать орлом = 1.

Определим макстрикс S _n как вероятность нахождения в каждом состоянии после n ^-го броска. S ₀ представляет собой вероятности до первого броска, когда существует 100% вероятность нахождения в состоянии 0. Таким образом, S ₀ =

 | 1 0 0 0 0 0 0 0 |

Пусть T — матрица преобразования двух последовательных переворотов, или S _n в S _n+1 , где S _n+1 = T × S _n

• Если вы находитесь в состоянии 1, то после одного броска у вас есть 0,5 шанса оказаться в состоянии 2 (при выпадении орла) и 0,5 шанса остаться в состоянии 1 (при выпадении решки).
• Если вы находитесь во втором состоянии, то после одного броска у вас есть 0,5 шанса оказаться в третьем состоянии (при выпадении орла) и 0,5 шанса вернуться в первое состояние (при выпадении решки).
• Если вы находитесь в состоянии 3, то после одного броска у вас есть 0,5 шанса оказаться в состоянии 4 (при выпадении орла) и 0,5 шанса вернуться в состояние 1 (при выпадении решки).
• Если вы находитесь в состоянии 4, то после одного броска у вас есть 0,5 шанса оказаться в состоянии 5 (при выпадении орла) и 0,5 шанса вернуться в состояние 1 (при выпадении решки).
• Если вы находитесь в состоянии 5, то после одного броска у вас есть 0,5 шанса оказаться в состоянии 6 (при выпадении орла) и 0,5 шанса вернуться в состояние 1 (при выпадении решки).
• Если вы находитесь в состоянии 6, то после одного броска у вас есть 0,5 шанса оказаться в состоянии 7 (при выпадении орла) и 0,5 шанса вернуться в состояние 1 (при выпадении решки).
• Если вы находитесь в 7-м состоянии, то после одного броска у вас есть 0,5 шанса оказаться в 8-м состоянии (при выпадении орла) и 0,5 шанса вернуться в 1-е состояние (при выпадении решки).
• Если вы находитесь в состоянии 8, значит, вы добились успеха и останетесь в состоянии 8 с вероятностью 1,0.

Представим все это в виде матрицы перехода T =

| 0.5 0.5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 |
| 0.5 0.0 0.5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 |
| 0.5 0.0 0.0 0.5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 |
| 0.5 0.0 0.0 0.0 0.5 0.0 0.0 0.0 0.0 |
| 0.5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.5 0.0 0.0 0.0 |
| 0.5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.5 0.0 0.0 |
| 0.5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.5 0.0 |
| 0.5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.5 |
| 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 |

Чтобы определить вероятность каждого состояния после одного броска...

(1) S ₁ = S ₀ × T

А что, если после двух переворотов?

(2) S ₂ = S ₁ × T

Подставим уравнение (1) в уравнение (2)...

(3) S ₂ = S ₀ × T × T = S ₀ × T ²

А что будет после 3 переворотов?

(4) S ₃ = S ₂ × T

Подставляя уравнение (3) в (4)...

(5) S ₃ = S ₀ × T ² × T = S ₀ × T ³

Мы можем продолжать это делать вплоть до штата и после сотой попытки переворота...

S ₁₀₀ = S ₀ × T ¹⁰⁰

Итак, что же такое T ¹⁰⁰ ? До появления компьютеров, должно быть, было очень сложно разобраться в таких вещах. Однако, с помощью функции MMULT в Excel и множества операций копирования и вставки, мы получаем T ¹⁰⁰ =

| 0.342616 0.171999 0.086347 0.043347 0.021761 0.010924 0.005484 0.317520 |
| 0.339863 0.170617 0.085653 0.042999 0.021586 0.010837 0.005440 0.323005 |
| 0.334379 0.167864 0.084271 0.042305 0.021238 0.010662 0.005352 0.333929 |
| 0.323454 0.162380 0.081517 0.040923 0.020544 0.010313 0.005178 0.355690 |
| 0.301693 0.151455 0.076033 0.038170 0.019162 0.009620 0.004829 0.399038 |
| 0.258346 0.129694 0.065109 0.032686 0.016409 0.008237 0.004135 0.485384 |
| 0.171999 0.086347 0.043347 0.021761 0.010924 0.005484 0.002753 0.657384 |
| 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 1.000000 |

Термин в правом верхнем углу показывает вероятность нахождения в состоянии 8 после 100 бросков, которая составляет 0,317520.

Я об этом не слышал, пока вы не упомянули. Вы имеете в виду удивительную историю юной крикетистки Кристи Перрин из команды «Магпайс», которая действительно 35 раз подряд неправильно угадала результат подбрасывания монеты. Вероятность получить ровно 35 или более неправильных результатов составляет (1/2) ³⁵ = 1 к 34 359 738 368. Для сравнения, вероятность выигрыша в лотерею Powerball составляет 1 к 195 249 054. Это в 176 раз вероятнее, чем промахнуться 35 раз подряд при подбрасывании монеты.

Да! Ставьте на сторону, лежащую в руке подбрасывающего монету. В научной статье «Динамическая предвзятость при подбрасывании монеты» Перси Диаконис, Сьюзан Холмс и Ричард Монтгомери делается вывод, что монета упадет на ту же сторону, с которой начала падение, в 51% случаев.

Этот вопрос был поднят и обсужден на форуме моего дочернего сайта Wizard of Vegas .

Давайте сначала решим задачу для случая с двумя убытками.

Пусть x — ожидаемое количество будущих бросков кубиков, начиная с самого начала или после любой выигрышной комбинации.
Пусть y — ожидаемое количество будущих переворотов после одного проигрыша.

Мы можем составить следующие два уравнения:

(1) x = 1 + 0,5x + 0,5y

Первый вариант означает, что игрок должен подбросить монету, чтобы изменить состояние. Вероятность выигрыша составляет 50%, игрок остаётся в состоянии x. Вероятность проигрыша составляет 50%, игрок переходит в состояние y.

(2) y = 1 + 0,5x

Снова из состояния y, 1 обозначает бросок в этот момент. Существует 50% вероятность выигрыша, что приводит к возвращению в состояние x. Существует 50% вероятность проигрыша, что завершает игру и не требует дополнительных бросков, поэтому подразумевается 0,5*0.

Умножьте оба уравнения на 2 и переставьте их местами, чтобы получить:
(3) x - y =2
(4) -x + 2y = 2

Сложите два уравнения, чтобы получить:

(5) y = 4

Подставьте это в любое уравнение от (1) до (4) и получите x=6.

В случае трех потерь определим три возможных состояния следующим образом:

Пусть x — ожидаемое количество будущих бросков кубиков, начиная с самого начала или после любой выигрышной комбинации.
Пусть y — ожидаемое количество будущих переворотов после одного проигрыша.
Пусть z — ожидаемое количество будущих переворотов после двух проигрышей.

Исходные уравнения следующие:

x = 1 + 0,5x + 0,5y
y = 1 + 0,5x + 0,5z
z = 1 + 0,5x

Начальные состояния можно представить в матричной форме следующим образом:

0,5	-0.5	0	1
-0.5	1	-0.5	1
-0.5	0	1	1

Если вы помните матричную алгебру, мы можем решить уравнение относительно x как determinant(A)/determinant(B), где

А =

1	-0.5	0
1	1	-0.5
1	0	1

Б =

0,5	-0.5	0
-0.5	1	-0.5
-0.5	0	1

0,5	-0.5	0
-0.5	1	-0.5
-0.5	0	1

В Excel есть удобная функция определения: =mdeterm(диапазон). В данном случае x = mdeterm(матрица A)/mdeterm(матрица B) = 1,75/0,125 = 14.

Для дополнительных последовательных проигрышей мы можем использовать рекурсию. Рассмотрим число 4. Из вышеизложенного мы знаем, что в среднем потребуется 14 подбрасываний монеты, чтобы получить 3 проигрыша подряд. В этот момент монета будет подброшена снова, с 50% вероятностью начала заново. Итак:

x = 14 + 1 + x/2
x/2 = 15
x = 30

Иными словами, прибавьте единицу к предыдущему ответу, а затем удвойте его.

Заметить закономерность несложно. Ожидаемое количество бросков, необходимых для получения n проигрышей подряд, равно ^2n+1-2 .

Этот вопрос был поднят и обсужден на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

Ответ равен 1-F ^(t) _n+2 / ²ⁿ , где F ^(t) _n — n-е число в последовательности Фибоначчи из t шагов.

Что такое последовательность Фибоначчи, спросите вы? Первое число — единица. В последовательности из t шагов каждое последующее число является суммой предыдущих t чисел. Предположим, что любое число перед первым числом равно нулю.

Рассмотрим последовательность из двух шагов. Первое число — 1. Второе — сумма двух предыдущих чисел. Предположим, перед единицей стоит ноль, тогда второе число — 0+1=1. Третье число — 1+1=2, четвёртое — 1+2=3, пятое — 2+3=5.

Первые двенадцать чисел Фибоначчи, вычисленных в два шага, это: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144.

Давайте рассмотрим пример. Какова вероятность того, что хотя бы раз из десяти бросков выпадут две решки подряд?

Мы используем двухшаговую последовательность Фибоначчи, потому что нам нужно всего два хвоста. 12-е число в последовательности (на два больше, чем количество подбрасываний) равно 144. Таким образом, ответ 1-F ⁽²⁾ ₁₀₊₂ /2 ¹⁰ = 1 - 144/2 ¹⁰ = 1 - 144/1024 = 85,94%.

А какова вероятность выпадения пяти решек подряд из 20 бросков?

Первые 22 числа Фибоначчи, состоящие из 5 шагов, это 1, 1, 2, 4, 8, 16, 31, 61, 120, 236, 464, 912, 1793, 3525, 6930, 13624, 26784, 52656, 103519, 203513, 400096, 786568.

Таким образом, ответ равен 1 - F ⁽⁵⁾ ₂₀₊₂ /2 ²⁰ = 1 - 786,568/1,048,576 = 1 - 75,01% = 24,99%.

Этот вопрос обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

Вот ответ и решение (PDF).

Для обсуждения этой проблемы, пожалуйста, посетите мой форум на сайте Wizard of Vegas .

Нет. Хорошая попытка, однако. У игрока, действующего вторым, огромное позиционное преимущество. Вот стратегия для игрока, действующего вторым, и его вероятность победы.

Как показывает таблица выше, мой лучший шанс на победу, или ваш наименьший, — это если я выберу либо THT, либо HTH, где мой шанс на победу все равно составляет всего 1 к 3. Для честной ставки мне нужно получить 2 к 1, поэтому, получив 3 к 2, вы получаете преимущество в 16,67%.

Вот как запомнить стратегию второго игрока. Пусть P(x) — выбор первого игрока на позицию x. Пусть O(x) — противоположный выбор первого игрока на позицию x. Второй игрок всегда должен выбирать: O(2) - P(1) - P(2).

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

Пожалуйста, нажмите на кнопку ниже, чтобы получить ответ.

Вот моё решение (PDF).

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

Этот вопрос был задан и обсуждался на форуме Wizard of Vegas .

Давайте сначала ответим на вопрос о том, какова вероятность того, что игрок окажется в минусе более чем на x единиц после миллиона бросков, при условии, что у игрока неограниченный банкролл.

Поскольку это честная ставка, средний выигрыш после миллиона бросков равен нулю. Дисперсия каждого броска равна 1, поэтому дисперсия одного миллиона бросков равна одному миллиону. Таким образом, одно стандартное отклонение равно sqrt(1 000 000) = 1000.

Необходимый банкролл можно рассчитать с помощью функции Excel =norm.inv(вероятность, среднее значение, стандартное отклонение). Например, если ввести =norm.inv(.25,0,1000), получим -674,49. Это означает, что после миллиона бросков у игрока есть 25% шанс проиграть 674 или больше. Обратите внимание, что это приблизительная оценка. Для получения точного ответа следует использовать биномиальное распределение, что было бы очень трудоемко при миллионе бросков.

Вполне возможно, что если игрок взял на кон 674 доллара, то может остаться без денег до того, как выпадет миллион. Если же он сможет продолжать играть в кредит, то, возможно, ему удастся отыграться и закончить игру с убытком менее 674 долларов. Фактически, как только игрок окажется в минусе (-674), существует 50/50 вероятность, что в любой момент в будущем его баланс окажется выше или ниже -674.

Таким образом, если игрок может играть в кредит, возможны три варианта развития событий.

1. Игрок никогда не опускается ниже -674.

2. В какой-то момент игрок опускается ниже отметки -674, но затем восстанавливается и завершает игру с результатом выше -674.
3. В какой-то момент игрок опускается ниже отметки -674, продолжает играть и проигрывает еще больше.

Мы установили, что вероятность сценария 3 составляет 25%.

Вероятность второго сценария должна быть такой же, как и у третьего, потому что, как только игрок окажется в минусе -674, у него есть 50/50 шанс закончить игру выше или ниже этого значения после миллиона бросков.

Сценарий 1 — единственная альтернатива, вероятность которой должна составлять 100%-25%-25% = 50%.

Если вероятность того, что игрок никогда не опустится ниже 674, составляет 50%, то вероятность того, что он опустится ниже 674, должна составлять 100% - 50% = 50%.

Итак, вот ответ на первоначальный вопрос: 674 доллара.

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .