Вероятность - Кубики

Ответ: 6*(1/6) ⁶ = 6/46 656 = 1/7 776 ≈ 0,0001286.

Среднее количество бросков на одного игрока составляет 8,525510. Вероятность выпадения ровно 2 бросков до 200 бросков можно посмотреть на моей странице, посвященной вероятности выживания в крэпсе .

В моем приложении по игре в кости показано, как рассчитать шансы для любой отдельной ставки. Там вы увидите, что вероятность проигрыша ставки «не пас» составляет 2928/5940. Вероятность проигрыша n ставок подряд равна (2928/5940) ⁿ . Частоту проигрыша ровно n раз из 100 000 можно приблизительно оценить как 100 000 * (2928/5940) ⁿ⁺² .

Вероятность выпадения шести одинаковых чисел на шести игральных костях составляет 6*(1/6) ⁶ = 1/7776 ≈ 0,01286%.

Спасибо за комплимент. Я так понимаю, вы имеете в виду вероятность того, что пара игральных костей выпадет 28 раз без семерки? Вероятность того, что семерка не выпадет ни при одном броске, составляет 5/6. Вероятность того, что семерка не выпадет за 28 бросков, равна (5/6) ^²⁸ = 0,006066, или примерно 1 к 165.

Вероятность совпадения трех чисел составляет 1/216. Вероятность совпадения двух чисел составляет 3*5/216. Вероятность совпадения одного числа составляет 25*5/216. Вероятность отсутствия совпадений составляет 5*5*5/216. Таким образом, ожидаемая прибыль составляет 3*(1/216)+2*(15/216)+1*(75/216)-1*(125/216)=-17/216=-7,87%. Оптимального количества ставок не существует, вы потеряете ожидаемые 7,87% от общей суммы поставленных денег независимо от того, что вы делаете.

Эти ставки можно делать как в сик бо , так и в чак а лак .

Существует 15 возможных комбинаций пар (6,2). Существует 6 способов выпадения любых двух пар на кубиках. Всего существует 6^4 = 1296 способов выпадения четырех кубиков. Таким образом, вероятность составляет 90/1296 = 6,9444%.

Если вы бросили x кубиков, вероятность выпадения хотя бы одной шестерки составляет 1-(5/6) ^² . В случае двух кубиков эта вероятность равна 30,56%.

Во-первых, существует 20 способов выбрать три единицы из 6 возможных, используя функцию комбинации (6,3). Затем каждая из оставшихся трех единиц может выпадать из пяти возможных чисел. Таким образом, общее количество способов составляет 20 × 5 × ³ = 2500. Общее количество способов бросить все кости равно 6 ^{× 6} = 46 656, поэтому вероятность выпадения ровно трех единиц равна 2500/46656 = 0,0536. Для получения помощи по функции комбинации см. мой раздел о вероятностях в покере .

Вероятность выпадения ровно одной единицы на трех кубиках составляет 3*(5/6) ² *(1/6) = 75/216 = 34,72%.

Пара может состоять из любого из 6 чисел. Два других числа могут быть из остальных пяти. Таким образом, уже существует 6*комбинаций(5,2)=60 комбинаций. Существует комбинаций(4,2)=6 комбинаций игральных костей, на которых может появиться пара. Два числа могут быть расположены двумя способами. Таким образом, существует 60*12=720 способов выбросить пару. Общее количество способов выбросить кости равно ⁶⁴ =1296. Следовательно, вероятность составляет 720/1296 ≈ 55,56%.

Вероятность того, что при броске 10 кубиков выпадут ровно 8 одинаковых чисел, равна 6*combin(10,8)*(1/6) ⁸ *(5/6) ² = 1/8957,952. Вероятность совпадения хотя бы 8 чисел равна 6*[combin(10,8)*(1/6) ⁸ *(5/6) ² + combin(10,9)*(1/6) ⁹ *(5/6) + (1/6) ¹⁰ ] = 1/8569,469.

При каждом новом броске вероятность того, что следующие четыре броска будут состоять из двух шестерок, составляет (1/36) ⁴ = 1 из 1679616.

Существует два возможных варианта расположения чисел: от 1 до 5 и от 2 до 6. Каждый из этих вариантов можно упорядочить 5! = 120 способами. Существует 6 ⁵ = 7776 способов бросить пять кубиков. Таким образом, вероятность составляет 2*120/7776 = 3,09%. Вероятность этого кажется намного выше сразу после того, как я поставил отметку 0 для большого стрита во время игры в Ятзи.

Ожидаемое количество единиц равно 30*(1/6) = 5. Вероятность выпадения ровно 5 единиц равна combin(30,5)*(1/6) ⁵ *(5/6) ²⁵ = 19,21%.

Вероятность того, что на всех кубиках выпадет не единица, равна (5/6) ⁿ . Следовательно, вероятность выпадения хотя бы одной единицы равна 1-(5/6) ⁿ . Рассмотрим пример с пятью кубиками. Ответ будет 1-(5/6) ⁿ = 59,81%.

1-(5/6) ³⁶ = 99,86%

Ожидается, что при каждом броске останется 5/6 кубиков. Таким образом, ожидаемое количество кубиков, оставшихся после n бросков, составит 36*(5/6) ⁿ . Например, после 10 бросков в среднем останется 5,81 кубика.

Вероятность того, что все числа будут разными, составляет (5/6)*(4/6)=20/36. Следовательно, вероятность того, что хотя бы два числа будут одинаковыми, равна 1-(20/36) = 16/36 = 44,44%.

Да. Просто переберите все числа от 2 до 12 и определите вероятность выпадения каждого из них дважды. Таким образом, ответ будет (1/36) ^² + (2/36) ^² + (3/36) ^² + (4/36) ^² + (5/36) ^² + (6/36) ^² + (5/36) ^² + (4/36) ^² + (3/36) ^² + (2/36) ^² + (1/36) ^² = 11,27%.

Вероятность выпадения семи шестерок на семи игральных костях составляет (1/6) ⁷ = 1 к 279 936. Таким образом, чтобы ставка была выгодной, автомобиль должен стоить 279 936 фунтов стерлингов или больше. Даже средний Rolls Royce столько не стоит, поэтому я бы сказал, что это ужасная ставка.

[Bluejay добавляет: Да, конечно, но, думаю, суть в том, что это было благотворительно. Что интереснее: пожертвовать 1 фунт стерлингов на благотворительность и не получить ничего взамен, кроме приятного чувства помощи, или пожертвовать 1 фунт стерлингов и получить приятное чувство плюс небольшой шанс выиграть машину?]

• Пять одинаковых чисел: 6/6 ⁵ = 0,08% (очевидно)
• Четыре одинаковых символа: 5*6*5 = 1,93% (пять возможных позиций для одного символа * 6 рангов для четырех одинаковых символов * 5 рангов для одного символа).
• Фулл-хаус: combin(5,3)*6*5/6 ⁵ = 3,86% (комбинация(5,3) позиций для тройки * 6 рангов для тройки * 2 ранга для пары).
• Три одинаковых числа: COMBIN(5,3)*COMBIN(2,1)*6*COMBIN(5,2) / 6 ⁵ = 15,43%. (позиции COMBIN(5,3) для трех одинаковых чисел * позиции COMBIN(2,1) для большего из отдельных чисел * 6 рангов трех одинаковых чисел * ранги COMBIN(5,2) для двух отдельных чисел.
• Две пары: COMBIN(5,2)*COMBIN(3,2)*COMBIN(6,2)*4 / 6 ⁵ = 23,15% (позиции COMBIN(5,2) для старшей пары * позиции COMBIN(3,2) для младшей пары * ранги COMBIN(6,4) для двух пар * 4 ранга для одиночного элемента.
• Пара: COMBIN(5,2)*fact(3)*6*combin(5,3) / 6 ⁵ = 46,30% (позиции COMBIN(5,2) для пары * позиции Fact(3) для трех отдельных элементов * 6 рангов для пары * ранги COMBIN(5,3) для отдельных элементов.
• Прямой порядок: 2*факт(5) / 6 ⁵ = 3,09% (2 варианта для прямого порядка {1-5 или 2-6} * факт(5) способов расположить элементы в порядке).
• Ничего: ((COMBIN(6,5)-2)*FACT(5)) / 6 ⁵ = 6,17% (combin(6,5) способов выбрать 5 рангов из шести, минус 2 для прямых, * fact(5) способов расположить в порядке.

Конечно, это просто. Вероятность выпадения хотя бы одной двенадцатки из 24 бросков составляет 1-(35/36) ²⁴ = 49,14%. Таким образом, шансы склоняются в пользу ставки против двенадцатки. Это умная ставка, потому что ожидаемое количество двенадцаток из 24 бросков составляет 2/3. Однако это не означает, что вероятность выпадения двенадцатки равна 2/3, потому что иногда выпадает больше одной двенадцатки, и игрок, ставящий на двенадцатку, не выигрывает больше, если выпадет дополнительная двенадцатка после первой. Если вероятность выигрыша в любом данном испытании равна p, количество испытаний равно n, а вероятность хотя бы одного выигрыша равна w, то, выразив p и w через n, мы получаем...

w=1-(1-p) ⁿ
1-w = (1-p) ⁿ
log(1-w) = log((1-p) ⁿ )
log(1-w) = n*log(1-p)
n = log(1-w)/log(1-p)

В вашем примере n = log(1-.5) / log(1-(1/36)) = log(0.5) / log(35/36) = 24.6051. Таким образом, если вероятность успеха составляет 50% при 24,6 бросках, то при 24 бросках она должна быть немного меньше.

Вероятность выпадения числа 123456 шестью кубиками за один бросок можно выразить как: вероятность (второй кубик не совпадает с первым) * вероятность (третий кубик не совпадает с первым или вторым) * ... = 1 * (5/6) * (4/6) * (3/6) * (2/6) * (1/6) = 0,015432. Таким образом, вероятность повторения этого события шесть раз подряд составляет 0,015432 ^{/ 6} = 1 из 74 037 208 411.

Combine(6,2)*(1/6) ⁴ *(5/6) ² = 0.008037551.

Вот вероятности:

3 кубика: 25,93%
4 кубика: 48,77%
5 кубиков: 66,13%.

Вероятность выпадения A при условии выпадения B равна вероятности выпадения A и B, деленной на вероятность выпадения B. В данном случае вероятность выпадения 4 на первой кости и затем 8 на двух других составляет (1/6) * (5/36) = 5/216. Вероятность выпадения любой суммы 12 на трех костях составляет 25/216, как показано в моем разделе по сик-бо . Таким образом, ответ равен (5/216) / (25/216) = 5/25 = 20%.

Упомянутые вами два способа — единственные способы выбросить в сумме 100 очков за 17 бросков. Вероятность выбросить 16 шестерок и одну четверку составляет 17*(1/6) ^¹⁷ . Существует 17 возможных позиций для 4, и каждая последовательность имеет вероятность (1/6)*(1/6)*...*(1/6) с 17 членами. Количество способов получить 15 шестерок и 2 пятерки — это комбинация (17,2) = 136. Таким образом, вероятность 15 шестерок и 2 пятерок составляет 136*(1/6) ^¹⁷ . Следовательно, общая вероятность равна (17+136)*(1/6) ^¹⁷ = 1 из 110 631 761 077.

Пусть A = Выбор обычной игральной кости
Пусть B = выпадение шестерки при броске случайно выбранной игральной кости.
Ответ = Pr(A при условии B) = Pr(A и B)/pr(B) = ((2/3)*(1/6))/((2/3)*(1/6)+(1/3)*1) = (2/18)/((2/18)+(6/18)) = 1/4.

Существует 6!/(4!*1!*1!) = 30 способов расположить эти числа в любом порядке. Другими словами, есть 6 позиций для размещения 1 и 5 для размещения 4, поэтому 6*5=30. Вероятность получить 666614 именно в таком порядке составляет 1 из ⁶ = 1 из 46656. Умножим это на 30 для 30 возможных порядков, и получим 30/46656 = 0,0643%, или 1 из 1552,2.

Действительно, для одиночных событий, если вероятность равна p, то среднее время ожидания составляет 1/p. Однако с последовательными событиями ситуация усложняется. Пусть x — состояние, в котором последний бросок не выпал на двойку. Это также состояние в начале. Пусть y — состояние, в котором последний бросок выпал на двойку. После первого броска вероятность того, что мы останемся в состоянии x, составляет 5/6, а вероятность того, что мы останемся в состоянии y, — 1/6. Пусть Ex(x) — ожидаемое количество бросков из состояния x, а Ex(y) — ожидаемое количество из состояния y. Тогда...

Ex(x) = 1 + (5/6)*ex(x) + (1/6)*ex(y), и
Ex(y) = 1 + (5/6)*ex(x)

Решая эти два уравнения...

Ex(x) = 1 + (5/6)*ex(x) + (1/6)*( 1 + (5/6)*Ex(x))
Ex(x) = 7/6 + (35/36)*Ex(x)
(1/36)*Ex(x) = 7/6
Ex(x) = 36*(7/6) = 42

Таким образом, среднее время ожидания двух последовательных двоек составляет 42 броска кубика.

У меня похожая проблема, только для получения двух орлов нужны ожидаемые подбрасывания кубика. На моем сайте с математическими задачами , смотрите задачу 128.

Вот вероятность выпадения хотя бы одного числа более одного раза в зависимости от количества бросков:

Я начал использовать нормальное приближение для решения этой задачи, но вероятность получения более 100 точек слишком низка, чтобы этот метод был точным. Поэтому я провел случайное моделирование 8,25 миллионов испытаний, и количество испытаний, в которых было 101 точка или больше, составило 127. Таким образом, вероятность составляет примерно 1 к 65 000.

Пусть n — ваш ответ. Вероятность выпадения 7 или 11 составляет 8/36. Чтобы найти n:

(8/36) ⁿ = 1/41 400 000

log((8/36) ⁿ ) = log(1/41,400,000)

n × log(8/36) = log(1/41,400,000)

n = log(1/41 400 000)/log(8/36)

n = -7,617 / -0,65321

n = 11,6608

Итак, вероятность выигрыша в SuperLotto такая же, как при выпадении семерки или одиннадцати чисел 11,66 раз подряд. Для тех, кто не понимает, что такое частичный бросок, я бы перефразировал: вероятность составляет от 11 до 12 последовательных бросков.

Вероятность выпадения пяти одинаковых чисел за один бросок составляет 6 * (1/6) ^·5 = 1/1296. Это потому, что существует шесть различных пяти одинаковых чисел (от одного до шести), и вероятность того, что на каждой игральной кости выпадет именно это число, равна (1/6). Вероятность не получить пять одинаковых чисел составляет 1 - (1/1296) = 1295/1296. Вероятность трех попыток без трех одинаковых чисел составляет (1295/1296) ^·3 = 99,77%. Таким образом, вероятность получить хотя бы одну пятерку одинаковых чисел за три попытки составляет 100% - 99,77% = 0,23%.

Если вероятность чего-либо равна p, то в среднем потребуется 1/p испытаний, чтобы это произошло в первый раз. Очевидно, что при первом броске вы вычеркнете одно число. Вероятность выпадения одного из пяти других чисел в следующий раз составляет 5/6. Таким образом, в среднем потребуется 1/(5/6) = 6/5 = 1,2 броска, чтобы это произошло. Следуя этим рассуждениям, ожидаемое количество бросков составляет (6/6) + (6/5) + (6/4) + (6/3) + (6/2) + (6/1) = 14,7.

Надеюсь, вы довольны, я только что добавил новый раздел с ответами на подобные вопросы для игральных костей от 1 до 25. Как показывает таблица для пяти игральных костей, вероятность выпадения суммы 12 составляет 0,039223251028807.

Боюсь, вы выбрали квадратную сторону этой ставки. Вероятность выпадения двух семерок до шестерки и восьмерки составляет 45,44%. Вот все возможные исходы. В первом столбце указан порядок бросков кубиков, приведших к результату ставки, без учета всех остальных.

В принципе, преимущество стороны с 6 и 8 заключается в том, что эти числа можно выбить в любом порядке: сначала 6, потом 8, или сначала 8, потом 6. С двумя семерками порядок выпадения только один: сначала 7, потом еще одна 7.

Вероятность выпадения шести шестерок составляет (1/6) ⁶ = 1 из 46656. Вероятность выпадения чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 на шести кубиках равна 6 ! /6 ⁶ = 1 из 64,8

1-(5/6) ¹⁰ -10 × (1/6) × (5/6) ⁹ = 51,55%.

Вероятность выпадения 7, 11 или 12 равна (6+2+1)/36 = 9/36 = 1/4. См. мой раздел об основах вероятности при броске игральных костей , чтобы узнать, как я получил эту цифру. Вероятность выпадения чего-либо другого равна 3/4. Вероятность пяти бросков без выпадения 7, 11 или 12 равна (3/4) ⁵ = 23,73%.

Не то чтобы вы спрашивали, но позвольте мне сначала рассмотреть среднее значение. Для шестигранной игральной кости ожидаемое количество бросков, при которых каждая грань выпадет хотя бы один раз, составляет (6/6)+(6/5)+(6/4)+(6/3)+(6/2)+(6/1) = 14,7. Для n-гранной игральной кости ожидаемое количество бросков составляет (n/n) + (n/(n-1)) + (n/(n-2)) + ... + n. Медианное количество необходимых бросков равно 13. Вероятность выпадения 13 или менее граней составляет 51,4%, а 13 или более граней — 56,21%.

Для большого количества бросков мы можем использовать аппроксимацию кривой Гаусса. Ожидаемое количество семерок из 655 бросков составляет 655 × (1/6) = 109,1667. Дисперсия равна 655 × (1/6) × (5/6) = 90,9722. Стандартное отклонение равно sqr(90,9722) = 9,5379. Ваши 78 семерок на 109,1667 − 78 = 31,1667 меньше ожидаемого значения. Это (31,1667 - 0,5)/9,5379 = 3,22 стандартных отклонения ниже ожидаемого значения. Вероятность отклонения на 3,22 или более стандартных отклонений от ожидаемого значения составляет 0,000641, или 1 к 1560. Этот результат я получил в Excel, используя формулу normsdist(-3.22).

Спасибо за добрые слова. Не следует говорить, что вероятность того, что броски были неслучайными, равна p. Правильнее было бы сформулировать это так: вероятность того, что случайная игра даст такой результат, равна p. Никто не ожидал, что 500 бросков что-либо докажут или опровергнут. Не я установил линию в 79,5 семерок, но сомневаюсь, что она была выбрана с целью статистической значимости; скорее, я подозреваю, что это была точка, при которой обе стороны согласились бы на пари.

Уровень значимости 2,5% составляет 1,96 стандартных отклонений от ожидаемого значения. Это можно рассчитать с помощью формулы =normsinv(0,025) в Excel. Стандартное отклонение для 500 бросков равно sqr(500*(1/6)*(5/6)) = 8,333. Таким образом, 1,96 стандартных отклонений — это 1,96 * 8,333 = 16,333 бросков в сторону меньше ожидаемого значения. Ожидаемое количество семерок в 500 бросках составляет 500*(1/6) = 83,333. Таким образом, 1,96 стандартных отклонений в сторону меньше этого значения равно 83,333 − 16,333 = 67. Проверив это с помощью биномиального распределения, получаем, что точная вероятность выпадения 67 или менее семерок составляет 2,627%.

Если предположить, что игрок всегда вытягивает наиболее часто встречающееся число, то среднее значение составляет 11,09. Ниже приведена таблица, показывающая распределение количества бросков в ходе случайной симуляции, включающей 82,6 миллиона испытаний.

Если говорить только о максимизации ожидаемой выгоды, игрок должен играть бесконечно. Хотя вероятность того, что игрок в конечном итоге проиграет, равна 1, в любой момент принятия решения ожидаемая выгода всегда склоняется в пользу повторной игры. Это кажется парадоксом. Ответ кроется в том, что некоторые события имеют вероятность 1, но всё же могут не произойти. Например, если вы бросили дротик в числовую прямую от 0 до 10, вероятность того, что он не попадёт точно в число пи, равна 1, но это всё ещё может произойти.

Однако на практике существует некий предел. Дело в том, что счастье, которое приносят деньги, не пропорционально их сумме. Хотя общепринято, что чем больше денег, тем больше счастья, чем богаче вы становитесь, тем меньше счастья приносит каждый дополнительный доллар.

Я считаю, что хороший способ ответить на этот вопрос — применить к задаче критерий Келли . Согласно Келли, игрок должен принимать каждое решение с целью максимизации ожидаемого логарифма своего банкролла после ставки. Если говорить коротко (я опустил много математических вычислений), игрок должен продолжать удваивать ставки до тех пор, пока сумма ставки не превысит 96,5948% от его общего состояния. Состояние определяется как сумма выигрыша плюс деньги, которые были у игрока до первой ставки. Например, если у игрока изначально было 100 000 долларов, он должен продолжать удваивать ставки до 23 раз, до выигрыша в 4 194 304 доллара. В этот момент общее состояние игрока составит 4 294 304 доллара. Ему будет предложено поставить 4 194 304 / 4 294 304 = 96,67% от его общего состояния, что превышает пороговое значение в 96,5948%, поэтому ему следует прекратить игру.

Обозначим ответ на этот вопрос как p. Вероятность выпадения суммы шести кубиков равна 5/36, а вероятность выпадения суммы семи кубиков равна 6/36. Если вам непонятно почему, пожалуйста, ознакомьтесь с моим разделом об основах вероятности при броске кубиков . Мы можем определить p следующим образом:

p = Вероятность (6 при первом броске) + Вероятность (нет 6 при первом броске) * Вероятность (нет 7 при втором броске) * p.

Это происходит потому, что если ни один из игроков не выигрывает после первых двух бросков, игра возвращается в исходное состояние, и вероятность выигрыша игрока А остается неизменной.

Итак, у нас есть:

p = (5/36) + (31/36)×(30/36)×p
p = 5/36 + (930/1296)×p
п * (1-(930/1296)) = 5/36.
п * (366/1296) = 5/36
p = (5/36)×(1296/366) = 30/61.

Ответ можно выразить как combin(n+5,n) = (n+5)!/(120×n!). Вот ответ для игральных костей от 1 до 20.

Благодарим Алана Такера, автора книги «Прикладная комбинаторика» .

Конечно. Это будет Pr(2) ^² + Pr(3) ^² + ... + Pr(12) ^² = (1/36) ^² + (2/36) ^² + (3/36) ^² + (4/36) ^² + (5/36) ^² + (6/36) ^² + (5/36) ^² + (4/36) ^² + (3/36) ^² + (2/36) ^² + (1/36) ^² = 11,27%.

Я не вижу никакой полезной причины знать эту информацию, но меня часто об этом спрашивают, поэтому я вам отвечу.

Получить заданную последовательность семерок, начинающуюся с первого броска или заканчивающуюся последним, немного проще, потому что последовательность ограничена с одной стороны. В частности, вероятность получить последовательность из s семерок, начинающуюся с первого броска или заканчивающуюся последним, составляет (1/6) ^s × (5/6). Член 5/6 обусловлен тем, что в открытом конце последовательности должна выпасть не семерка.

Вероятность начала последовательности из s семерок в любой точке середины последовательности равна (1/6) ^s × (5/6) ^2. Мы возводим член 5/6 в квадрат, потому что игрок должен получить не-7 на обоих концах последовательности.

Если выпало r бросков, то для внутренней последовательности будет 2 места, а для последовательности из n семерок — rn-1 место. Записав эти уравнения в таблицу, получаем ожидаемое количество последовательностей из семерок от 1 до 10. Столбец «внутри» равен 2*(5/6)*(1/6) ^r , а столбец «снаружи» — (179-r)*(5/6) ² *(1/6) ^r , где r — количество семерок в последовательности. Таким образом, мы можем ожидать 3,46 последовательности из двух семерок, 0,57 последовательности из трех семерок и 0,10 последовательности из четырех семерок.

Ответ и решение можно найти на моем дополнительном сайте mathproblems.info , задача 201.

Если ограничиться правильными многоугольниками и захотеть, чтобы каждая грань имела одинаковую вероятность, то вы будете ограничены платоновыми телами. Однако, если можно снять требование к правильным многоугольникам, то можно добавить и 13 каталонских тел .

Отвечая на ваш другой вопрос, нет, я никогда не видел в казино игры, в которой использовались бы какие-либо игральные кости, кроме кубиков. Примерно десять лет назад я видел демонстрацию игры на игровой выставке в Атлантик-Сити, в которой, как мне кажется, использовался ромбический триаконтаэдр , одно из каталонских тел, но, думаю, она так и не попала в казино. На выставке Global Gaming Expo я каждый год вижу игру с вращающимся волчком (похожим на дрейдл), но, увы, я никогда не видел её в казино.

Существует ^6³ = 216 способов бросить три игральные кости. Шесть из этих комбинаций приведут к выпадению трех одинаковых чисел (от 1-1-1 до 6-6-6). Таким образом, вероятность выпадения трех одинаковых чисел составляет 6/216 = 1/36. Существует четыре возможных варианта для стрита (от 1-2-3 до 4-5-6). Также существует 3! = 6 способов расположить три игральные кости в стрит. Таким образом, существует 4*6 = 24 комбинации для стрита. Следовательно, вероятность выпадения стрита составляет 24/216 = 1/9.

В следующей таблице показано количество комбинаций для всех возможных сумм от 3 до 18.

Средний результат составляет 12,2446, а стандартное отклонение — 2,8468.

Вероятность выпадения 7 составляет 1/6, а вероятность выпадения 12 — 1/36. Вероятность выпадения 7 при условии, что выпало 7 или 12, равна (1/6)/((1/6)+(1/36)) = 6/7. Таким образом, вероятность того, что первые шесть раз, когда выпадает 6 или 12, это всегда будет 6, составляет (6/7) ⁶ = 39,66%.

Если переформулировать вопрос так: какова вероятность выпадения пяти шестерок до двенадцати? Тогда ответ будет (6/7) ^·5 = 46,27%. При четырех бросках вероятность составит (6/7) ^·4 = 53,98%. Таким образом, нет такого количества семерок до двенадцати, вероятность которого была бы ровно 50/50. Если вы ищете выгодную ставку, предложите либо четыре семерки до двенадцати, либо двенадцать до пяти семерок.

Этот вопрос был поднят и обсужден на форуме моего дочернего сайта Wizard of Vegas .

Вот полезный трюк от Роберта Гудханда из Сомерсета, Великобритания. Сначала поместите в ряд шесть единиц, окруженных пятью нулями с каждой стороны, следующим образом:

Это показывает количество комбинаций, при которых на одном кубике выпадает число от 1 до 6. Знаю, довольно очевидно. Но давайте разберемся. Для двух кубиков добавьте еще одну строку внизу, и для каждой ячейки возьмите сумму значений строки выше и пяти ячеек слева от нее. Затем добавьте еще пять фиктивных нулей справа, если хотите продолжить. Это показывает количество комбинаций, при которых выпадает сумма от 2 до 12.

Для трех кубиков просто повторите. Это будет представлять количество комбинаций от 3 до 18.

Чтобы вычислить вероятность любой заданной суммы, разделите количество комбинаций этой суммы на общее количество комбинаций. В случае с тремя игральными костями сумма равна 216, что также легко найти как ^6³ . Например, вероятность выпадения суммы 13 при броске трех игральных костей составляет 21/216 = 9,72%.

Итак, для кубиков d вам нужно будет пройти путь от 1 до d-1. Это очень легко сделать в любой электронной таблице.

Это классическая задача в истории теории вероятностей. Многие ошибочно считают, что ответ — 18, потому что вероятность выпадения 12 составляет 1 к 36, а 18 × (1/36) = 50%. Однако, по этой логике, вероятность выпадения 12 из 36 бросков должна составлять 100%, что явно не так. Вот правильное решение. Пусть r — количество бросков. Вероятность того, что выпадет не 12, равна 35/36. Вероятность того, что из r бросков выпадет 0 12, равна (35/36) ^r . Таким образом, нам нужно найти r в следующем уравнении:

(35/36) ^r = 0,5
log(35/36) ^r = log(0.5)
r × log(35/36) = log(0.5)
r = log(0.5)/log(35/36)
r = 24,6051

Таким образом, округленного ответа нет. Вероятность выпадения 12 при 24 бросках составляет 1-(35/36) ²⁴ = 49,14%. Вероятность выпадения 12 при 25 бросках составляет 1-(35/36) ²⁵ = 50,55%.

Если вы хотите сделать ставку, допустим, вы сможете выбросить 12 за 25 бросков, или кто-то другой не сможет за 24 броска. В любом случае, у вас будет преимущество при равных шансах.

Для тех, кто не знаком с игрой, поясним: и атакующий, и защищающийся бросают кубики от 1 до 8, в зависимости от количества армий, которыми они располагают на данном этапе сражения. Побеждает тот, у кого большее число. В случае ничьей побеждает защищающийся. Если атакующий проигрывает, он сохраняет одну армию на территории, где начал атаку. Поэтому для атаки ему необходимо иметь как минимум две армии, чтобы в случае победы одна армия могла занять захваченную территорию, а другая осталась на месте.

В следующей таблице показана вероятность победы нападающего при всех 64 комбинациях бросков кубиков.

В следующей таблице показана ожидаемая выгода для атакующего, определяемая как pr(количество побед атакующего)*(количество бросков кубиков защитника)+pr(количество побед защитника)*(количество бросков кубиков атакующего -1). Она показывает, что наибольшая ожидаемая выгода достигается при атаке с 8 очками против противника с 5 очками.

Для тех, кто не знаком с игрой, поясним: Ятзи — это комбинация из пяти одинаковых кубиков. В игре Ятзи игрок может оставить любые кубики, какие пожелает, и перебросить остальные. Он может сделать это до трех раз.

Игрок может перебросить ранее выпавшие кубики, если пожелает. Например, если при первом броске выпали 3-3-4-5-6, и у него остались тройки, а после второго броска — 3-3-5-5-5, он может оставить пятерки и перебросить тройки при третьем броске.

В следующей таблице показано максимальное количество одинаковых граней на кубиках за 1–20 бросков. Таблица показывает, что вероятность выпадения Ятзи в течение трех бросков составляет примерно 4,6%.

Ответ — 50/50. Это будет верно для любого количества брошенных кубиков, а не только для двух.

Немного не по теме, но я всегда считал, что комбинация четных и нечетных чисел была бы хорошей заменой ужасным крупным ставкам 6/8 в крэпсе. Чтобы дать казино преимущество, вот мои предлагаемые таблицы выплат и анализ.

Среднее количество бросков обратно пропорционально вероятности события, завершающего бонусную игру, которая составляет 1/6, поэтому игрок в среднем совершит шесть бросков. Однако последний бросок будет седьмым, поэтому в среднем пять выигрышных бросков за бонусную игру.

Далее, вот вероятность каждого числа, если предположить, что семерка не выпадет:

• 2 или 12: 1/30
• 3 или 11: 2/30
• 4 или 10: 3/30
• 5 или 9: 4/30
• 6 или 8: 5/30

Вот первоначальный вопрос, заданный в столбце № 179: Если бросать две игральные кости снова и снова, пока не произойдет одно из следующих событий, то какое из них с большей вероятностью произойдет первым:

• Выпадают числа шесть и восемь, в любом порядке, допускаются дубликаты.
• Число семь выпадает дважды.

Суть в том, что один и тот же бросок кубика не может помочь обоим игрокам. Вместо этого они бросают кубики по очереди, и только тот, кто бросил, может использовать результат броска.

Ответ зависит от того, кто бросит кубик первым. Если первым бросает игрок, которому нужны шестерка и восьмерка, то вероятность его выигрыша составляет 57,487294%. Если первым ходит игрок, которому нужны две семерки, то вероятность выигрыша игрока, которому нужны шестерка и восьмерка, составляет 52,671614%. Я решил задачу, используя простой процесс цепи Маркова.

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

При первом броске существует 58 различных типов последовательностей. Я определяю каждую по числу выпавших чисел, затем по общему числу выпавших чисел и так далее. Например, выпадение комбинации 3, 3, 3, 6, 6, 6, 5, 5, 2 будет обозначено как 4-3-2-1. В следующей таблице показано количество комбинаций каждой последовательности, вероятность её выпадения, вероятность выпадения 12 одинаковых чисел при втором броске и произведение этих двух значений. Для вероятности при втором броске я предполагаю, что игрок держит в руках кости с наибольшей суммой при первом броске. В нижней правой ячейке показана общая вероятность 0,0000037953, что равно 1 из 263 486.

Нажмите на кнопку ниже, чтобы увидеть ответ.

Вот моё решение . (PDF)

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

Нажмите на кнопку ниже, чтобы получить несколько формул бесконечных рядов, которые могут вам пригодиться.

Нажмите на кнопку ниже, чтобы увидеть ответ.

Нажмите на кнопку ниже, чтобы получить решение.

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

[spoiler=Решение]

Ответ можно приблизительно выразить как 1 - (вероятность (нет единиц) + вероятность (нет двоек) + ... + вероятность (нет шестерок)) = 1 - 6*(5/6)^20 = приблизительно 0,84349568.

Однако это приведет к двойному вычитанию ситуаций, когда две разные стороны никогда не выпадали. Существует 15 комбинаций (6,2) = 15 способов выбрать две стороны из шести. Вероятность того, что любые две заданные стороны никогда не выпадут, составляет (4/6)^20. Нам нужно добавить эти значения к вероятности, потому что они были вычтены дважды на предыдущем шаге. Таким образом, теперь мы имеем 1 - 6*(5/6)^20 + 15*(4/6)^20 = приблизительно 0,84800661.

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

Однако, если какая-либо группа из трех сторон, которые никогда не выпадали, была бы вычтена трижды на первом шаге и сложена трижды на втором шаге, нам нужно вычесть их обратно, как если бы не все шесть сторон были выброшены. Существует комбинаций (6,3) = 20 способов выбрать три стороны из шести. Вероятность того, что какие-либо конкретные три стороны никогда не будут выброшены, составляет (3/6)^20. Таким образом, теперь мы имеем 1 - 6*(5/6)^20 + 15*(4/6)^20 - 20*(3/6)^20 = приблизительно 0,847987537.

Однако, если какая-либо группа из четырех сторон, которые никогда не выпадали, была бы вычтена вчетверо на первом шаге, добавлена вчетверо на втором шаге и вычтена вчетверо на третьем шаге, нам нужно добавить их обратно, потому что каждое такое состояние уже было вычтено дважды. Существует комбинаций (6,4) = 15 способов выбрать четыре стороны из шести. Вероятность того, что какие-либо конкретные четыре стороны никогда не будут выпадать, составляет (2/6)^20. Таким образом, теперь мы имеем 1 - 6*(5/6)^20 + 15*(4/6)^20 - 20*(3/6)^20 + 15*(2/6)^20 = приблизительно 0,84798754089.

Однако, если бы все 20 бросков были одинаковыми числами, то на первом шаге произошло бы пятикратное вычитание, на первом шаге — пятикратное добавление, на третьем шаге — пятикратное вычитание, и на четвертом шаге — пятикратное добавление. Нам нужно вычесть их обратно. Итак, теперь у нас есть 1 - 6*(5/6)^20 + 15*(4/6)^20 - 20*(3/6)^20 + 15*(2/6)^20 - 6*(1/6)^20 = приблизительно 0,84798754089.

Таким образом, ответ равен 1-6*(5/6)^20+COMBIN(6,4)*(4/6)^20-COMBIN(6,3)*(3/6)^20+COMBIN(6,2)*(2/6)^20-6*(1/6)^20 = приблизительно 0,84798754089.

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

Чтобы ответить на этот вопрос, как я это сделал, используя методы дифференциального и интегрального исчисления, я рекомендую использовать калькулятор интегралов, например, тот, что находится на сайте integral-calculator.com/ .

Вот моё решение (PDF).

Эта проблема (в несколько измененной формулировке) задается и обсуждается на моем форуме Wizard of Vegas .

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме " Волшебник из Вегаса" .

Вот моё решение (PDF).

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

Вот моё решение (PDF).

> [spoiler=Решение]

Позволять:

• p = Вероятность того, что первым выпадет число 12 из исходного состояния или в любой момент, когда предыдущий бросок не выпал на 7.
• q = Вероятность того, что при предыдущем броске выпадет 12, если 7 было 7.

Это называется задачей о цепи Маркова.

Прежде чем мы перейдем к этому, вспомним, что вероятность выпадения суммы 7 составляет 1/6, а 12 — 1/36.

Мы можем определить p и q через друг друга следующим образом:

• (1) p = (1/36) + (6/36)q + (29/36)p
• (2) q = (1/36) + (29/36)p

Умножим уравнение (1) на 36:

36p = 1 + 6q + 29p
(3) 7p = 1 + 6q

Подставим значение q из (2) в (3):

7п = 1 + 6*((1/36) + (29/36)п)
7p = 1 + (1/6) + (29/6)p
42p = 6 + 1 + 29p
13p = 7
q = 7/13

Таким образом, вероятность того, что первым выпадет 12, составляет 7/13 ≈ 53,85%.

Вероятность выпадения двух последовательных семерок составляет, таким образом, 46,15%.

Таким образом, более вероятно, что сначала выпадет число 12.