Видеопокер - Вероятность

Согласно информации на моей странице о видеопокере с последовательным выпадением королевской комбинации , вероятность составляет примерно один к четырем миллионам.

Количество способов вытянуть 3 карты из 47 оставшихся в колоде составляет комбинацию (47,3) = 16 215. Один из этих комбинаций будет содержать три карты, необходимые для получения роял-карты, поэтому вероятность составляет 1 к 16 215.

Ожидаемая доходность на автомате с тройной игрой такая же, как и на автомате с одной рукой, при условии одинаковой таблицы выплат.

Предположим, вы использовали обычную стратегию 8/5, тогда доходность в вашем примере составила бы 99,68%. Однако, если бы вы использовали оптимальную стратегию для этого джекпота, доходность составила бы 100,08%. Так что Вонг не ошибся.

Насколько я понимаю, оставшиеся 47 карт постоянно перемешиваются до тех пор, пока игрок не примет решение о том, какие карты взять. Таким образом, карты для взятия карт вовсе не предопределены. С математической точки зрения, это не имеет никакого значения.

Доходность составляет 99,9367%.

Пожалуйста, спасибо за добрые слова!

Общая формула: combin(X,Z) × p ^Z × (1-p) ^XZ , где p = 1/combin(47,5-Y).

Combin — это формула Excel, которая равна X!/[Z! × (XZ)!].

Рассмотрим пример видеопокера на 10 карт, где у игрока четыре карты, а у противника — роял.

Спасибо за добрые слова. Да, вероятность выпадения трёх одинаковых карт зависит от таблицы выплат, которая влияет на стратегию игрока. Моя программа для видеопокера всегда делает оптимальный ход для каждой раздачи, перебирая все возможные карты в дро-системе. Однако составление стратегии в письменном виде занимает очень много времени.

Вероятность получить натуральный роял-флеш составляет 1 к 649 740 в любой игре в видеопокер с 52 картами.

Надеюсь, вы довольны, я потратил весь день на этот вопрос. Пожалуйста, посетите мое новое приложение 1 по видеопокеру, чтобы найти ответ. Не существует простого способа получить показатель риска разорения, используя только дисперсию. Это зависит от того, каковы точные выигрыши в каждой раздаче и какова их вероятность.

Нет, это не так. Вопреки распространенному мифу, никакого цикла нет. Каждая раздача независима. Потребовалось бы бесконечное количество идеально сыгранных раздач, чтобы гарантировать достижение теоретической доходности в 99,54%.

Вот вам некоторые цифры. Роял-карты вносят 1,98% в доходность при раздаче с 9-6 валетами или лучше. Это означает, что вы можете ожидать доходность в 97,56% при наличии роял-карт. Стандартное отклонение доходности одной раздачи составляет 4,42. Стандартное отклонение доходности 40 391 раздачи, среднего числа раздач при наличии роял-карт, составляет 2,20%. Таким образом, даже после полного цикла с роял-картами вы все еще можете быть далеки от доходности в 99,54%. Существует 95% вероятность того, что ваша доходность будет где-то в диапазоне от 95,24% до 103,85%.

Что касается всплывающих окон, я их тоже ненавижу. Однако, что-то же должно приносить прибыль. Считайте это платой за получаемую информацию.

Существует 2598960 возможных комбинаций первых пяти карт (combin(52,5) = 2598960). Анализировать все комбинации необязательно. Лично я разбиваю их на 191659 различных типов и присваиваю каждому вес, равный количеству похожих комбинаций. Например, шансы одинаковы при наличии четырех тузов и короля в единственном числе, независимо от масти короля. Анализировать не нужно четыре комбинации для каждой возможной масти короля, достаточно одной и умножить на четыре. После того, как вы получили комбинацию, существует ^2⁵ = 32 способа её разыграть. Я анализирую каждый способ и выбираю ход с наибольшим ожидаемым значением. Чтобы определить ожидаемое значение хода, необходимо проанализировать все варианты выпадения карт-заменителей и оценить каждую комбинацию. В случае сброса всех пяти карт существует 1533939 возможных комбинаций-заменителей (combin(47,5) = 1533939). Общее количество раздач, которые необходимо проанализировать для определения наилучшего хода в конкретной руке, составляет combin(47,5)+5*combin(47,4)+10*combin(47,3)+10*combin(47,2)+5*47+1, что по совпадению также равно 2598960. Таким образом, если бы мы не использовали никаких упрощений, нам пришлось бы проанализировать 2598960 ² = 6 754 593 081 600 раздач. Просто сократив исходное количество раздач до 191659, мы все еще имеем 498 114 074 640 раздач для анализа. Очевидно, что необходимы дополнительные упрощения. На настольном компьютере потребовалось бы как минимум несколько часов, чтобы обработать такое количество раздач. Лично я не веду подсчет очков в каждой раздаче, а использую тщательно подобранные формулы для определения вероятности улучшения руки. Например, с любой парой и тремя синглтонами вероятность улучшения руки до двух пар всегда одинакова. С стритами и флешами все становится сложнее, но все еще управляемо. Моя программа может рассчитать ожидаемый выигрыш в игре в валеты или карты лучше примерно за одну минуту. Учитывая, что раньше у меня на это уходило больше суток, я этим очень горжусь. Надеюсь, это ответит на ваш вопрос.

Предположим, у вас на руках туз пик, и вы сбрасываете четыре карты, не являющиеся тузами. Существует 44 способа получить четыре одинаковые карты, сложенные тузами. 44 — это количество возможных одинаковых карт, которые вы могли бы получить при раздаче, помимо остальных трех тузов (52 карты минус 4 туза и 4 сброшенные вами карты). Вы также можете получить четыре одинаковые карты, сложенные другими 8 картами, помимо тузов и сброшенных вами четырех. Таким образом, общее количество способов получить четыре одинаковые карты при раздаче составляет 44 + 8 = 52. Общее количество комбинаций при раздаче равно combin(47,4) = 178365. Следовательно, вероятность получить четыре одинаковые карты составляет 52/178365 = 1 из 3430.

1. 1/47
2. 1/combin(47,2) = 1/1081
3. 1/комбинация(47,3) = 1/16215
4. 1/combin(47,4) = 1/178365
5. 4/combin(52,5) = 1/2598960

Существует 178365 способов выбрать 4 карты из 47 оставшихся. Только один из способов даст вам три нужные карты. Таким образом, вероятность составляет 1 из 178365.

Вероятность выпадения x роял-карт в n-игровом автомате при выпадении роял-карты из 4 карт равна combin(n,x) * (1/47) ^x * (46/47) ^nx . Объяснение функции combin(n,x) можно найти в моем разделе о вероятностях в покере . В случае 3-игровых автоматов вероятности следующие:

0 членов королевской семьи: 0,937519
1 королевский: 0,061143
2 королевских особы: 0,001329
3 королевских особы: 0,000010

Отвечая на ваш первый вопрос, существует 2598960 способов выбрать 5 карт из 52 для начальной руки. При раздаче карт есть 1, 47, 1081, 16215, 178365 или 1533939 способов вытянуть карты-заменители, в зависимости от количества карт у игрока. Наименьший общий знаменатель для этих чисел равен 7669695. Фактические комбинации взвешиваются, чтобы получить в сумме 7669695. Таким образом, общее количество комбинаций составляет 2 596 960 * 7 669 695 = 19 933 230 517 200. Отвечая на ваш второй вопрос, видеопокерные автоматы просто выбирают случайные числа от 1 до 52 и присваивают их картам. Сами генераторы случайных чисел очень сложны, но их принцип работы прост.

Постановление 14.040.1(a) Совета по контролю за азартными играми штата Невада гласит, что игровые устройства должны обеспечивать возврат не менее 75% при условии оптимальной стратегии игрока. Чтобы ответить на ваш второй вопрос, я модифицировал свою программу для видеопокера таким образом, чтобы всегда совершать наихудший возможный ход. Например, оставлять все пять карт в невыгодной руке и сбрасывать часть или все карты из выигрышной комбинации. В игре Jacks or Better (9/6) эта стратегия приводит к возврату 2,72%, или преимуществу казино в 97,28%. Ниже приведена полная таблица возврата. Такой игрок не сможет подать в суд на казино, потому что это будет его вина за плохую игру.

Вероятность составляет 1/комбинация(47,2) = 1 из 1081. Во всех изученных мною играх старшая пара является более сильной комбинацией, чем 3 против роял-карты, за исключением игры «Погоня за роял-картой».

Если у вас три двойки, то есть 46 способов получить вторую двойку и ещё одну карту. Существует комбинаций (47,2) = 1081, чтобы выбрать две карты из 47 оставшихся в колоде. Таким образом, вероятность получить четыре двойки при раздаче, имея три двойки, составляет 46/1081 = 4,26% = 1 из 23,5. Если у вас две двойки, то есть 45 способов получить ещё две двойки плюс ещё одну карту. Существует комбинаций (47,3) = 16215, чтобы выбрать 3 карты из 47. Таким образом, вероятность получить четыре двойки при раздаче после того, как у вас две двойки, составляет 45/16215 = 0,28% = 1 из 360,33.

Если ваша стратегия заключается в максимизации количества роял-карт любой ценой, то вы будете получать роял-карту один раз каждые 23081 раздачу. Я предположил, что при наличии двух вариантов с равной вероятностью выпадения роял-карт игрок выберет тот вариант, который максимизирует прибыль по другим раздачам. Преимущество казино в этой стратегии при игре с валетами 9/6 или лучше составляет 51,98%. Ниже приведена таблица, показывающая вероятность и прибыль по каждой раздаче.

Спасибо! Да, я уже говорил, что если бы у меня была система ставок с преимуществом всего в 1%, я мог бы превратить 1000 долларов в 1 000 000 долларов, просто используя это преимущество. Это также возможно в видеопокере, но займет гораздо больше времени, потому что игра с преимуществом в 0,77% (полная выплата, двойки, вайлды) встречается только на уровне четверти. Предположим, вы можете играть 1000 раздач в час (скорость, которой мало кто может достичь) и играть идеально, это приведет к среднему доходу в 9,63 доллара в час. Чтобы достичь 1 000 000 долларов, потребуется работать 11,86 лет без перерыва. 1000 долларов также были бы слишком мало для игры в видеопокер на четверть доллара, поэтому риск разорения был бы довольно высок. Достичь 1 000 000 долларов с тем же преимуществом было бы быстрее в настольной игре, потому что игрок может делать более крупные ставки.

Для ответа на этот вопрос существует простая формула: первоначальные инвестиции, деленные на преимущество казино. В данном случае ответ — 100 долларов / 0,02 = 5000 долларов. Однако из-за волатильности видеопокера в большинстве случаев 100 долларов не хватит надолго.

Вероятность выпадения любой тройки или фулл-хауса, при соотношении валетов "9/6" или выше, составляет 0,085961. Для упрощения я разделю на 13, чтобы получить вероятность того, что тройка выпадет тройкой. Это, очевидно, завышенная вероятность, поскольку вы чаще будете видеть тройки от валетов до тузов, так как правильная стратегия заключается в том, чтобы чаще держать эти карты. 0,085961/13 = 0,006612. Утроение выигрыша за 9 игр равносильно получению 18 бесплатных игр. 18 * 0,006612 = 0,119023. К этому я бы применил какой-нибудь корректирующий коэффициент, чтобы учесть непропорционально меньшее количество тройек в тройках, возможно, 75%. 0,119023 * 0,75 = 0,089267. Таким образом, ваш обычный выигрыш умножьте на 1,089.

Из раздела о двойках в джокере видно, что вероятность выпадения четырех двоек в одной раздаче составляет 0,000204. Следовательно, вероятность не получить четыре двоек в одной раздаче равна 1 - 0,000204 = 0,999796. Вероятность пройти 14000 раздач без четырех двоек составляет 0,999796 ^{/ 14000} = 5,75%.

В этом нет ничего необычного. Иногда в казино Лас-Вегаса проводятся акции, в рамках которых за второе выпадение роял-флеша за 24 часа выплачивается двойной выигрыш. Предположим, вы играете 8 часов со скоростью 400 раздач в час, или 3200 раздач всего. Вероятность того, что одна раздача будет роял-флешем, составляет 0,00002476. Вероятность получить ноль роял-флешей за 3200 раздач составляет (1-0,00002476) ³²⁰⁰ = 0,923825. Вероятность получить один роял-флеш составляет 3200*0,923825*(1-0,923825) ³¹⁹⁹ = 0,073198. Таким образом, вероятность получить два или более роял-флеша составляет 1- 0,923825 - 0,073198 = 0,002977, или примерно 1 к 336.

Это хороший вопрос для распределения Пуассона. Если событие одинаково вероятно в любой данный момент и не зависит от других событий, а среднее ожидаемое число равно m, то вероятность n событий равна e ^-m *m ⁿ /n!. Таким образом, в этой ситуации вероятность равна e ^-17,76 *17,76 ³ /3! = 0,00001808, или 1 из 55321.

Здесь показана вероятность выигрыша нуля за игру в зависимости от количества ходов.

Таблица основана на случайном моделировании. Я знаю, что теоретически возможно получить ноль выигрышей за 100 игр, но за 15 820 000 игр этого никогда не случалось. Поэтому, пожалуйста, не пишите об этом. В таблице показана вероятность получить ноль выигрышей за 10 игр, которая составляет 0,025914, или 2,59%. Вероятность того, что это произойдет десять раз подряд, составляет 0,025914 ^{. 10} = 1 из 7 323 073 295 177 980.

Я протестировал рассматриваемое программное обеспечение в режиме бесплатной игры, и результаты показались мне неплохими. В частности, в 10 играх я каждый раз что-то выигрывал. Однако, насколько мне известно, ни одно казино не предлагает это программное обеспечение и не принимает игроков из США, играющих на реальные деньги . Я планирую провести дальнейшее исследование, но не хочу объяснять, как именно, на этом форуме.

Стратегия, направленная на получение роял-карты любой ценой, как если бы все остальные руки приносили ноль, привела бы к доходности в 47,85% в игре Jacks or Better с коэффициентами 9/6. Ожидаемая частота выпадения роял-карты увеличилась бы с одного раза на 40388 раздач до одного раза на 23081 раздачу.

Почти. Если более одного роял-карты за раздачу в 5-ходовой игре считается только одним случаем, то случаи появления карт будут встречаться чуть реже, чем в 5 раз чаще. Это связано с тем, что общее количество роял-карт будет в пять раз больше, но иногда они будут сгруппированы в одной игре, обычно когда вы получаете роял-карту при раздаче, и, следовательно, 5 при розыгрыше.

В следующей таблице показана вероятность получения роял-карты за 1 ход в зависимости от количества карт, находящихся на руках до роял-карты, при условии оптимальной стратегии с полной оплатой.

Эта таблица показывает, что в 22,37% случаев у вас будет возможность выпадения роял-карты. В остальных случаях роял-карта будет невозможна по таким причинам, как наличие у вас джокера или пары. В нижней правой ячейке указана общая вероятность выпадения роял-карты, равная 0,00002208, или 1 к 45282.

В следующей таблице показаны те же данные, но для комбинации из 5 карт, а также вероятность выпадения хотя бы одной королевской карты.

Обратите внимание, что вероятность выпадения хотя бы одного рояля составляет 0,00010268. Это в 4,65 раза выше, чем вероятность при одном розыгрыше. Причина в том, что вероятность выпадения хотя бы одного рояля всегда меньше, чем в пять раз выше, чем при одном розыгрыше. Например, вероятность выпадения рояля с форой 1/47 при одном розыгрыше составляет 1/47. Однако при пяти розыгрышах вероятность выпадения хотя бы одного рояля составляет 1-(1-(1/47)) ⁵ = 0,101951341, что примерно в 4,79 раза выше.

В таких играх, как Bonus Poker и Double Bonus, я предполагаю, что за определенные каре выплачивается больше, чтобы дать игроку больше шансов на крупный выигрыш, конечно же, ценой небольших выигрышей. Логично, что четыре туза являются премиальной карей, потому что тузы — старшая карта в обычном покере. Причина, по которой я думаю, что четыре двойки выплачиваются больше, чем четыре короля, заключается в том, что игроки реже держат на руках младшие карты, и поэтому четыре двойки выпадают реже, чем четыре короля. Таким образом, хотя вероятность выпадения каждой карты одинакова, поведение игрока приводит к тому, что младшие каре выпадают реже, поэтому разработчику игры проще выплачивать больше за младшие каре.

Давайте сначала рассмотрим общий случай.

Определим p как вероятность того, что следующие четыре одинаковых числа окажутся теми, которые вам нужны для повышения по службе.

Определим q как 1 - p.

Определим m как ожидаемое количество четырех одинаковых предметов, необходимых для получения нужного вам экземпляра.

Сумма вероятностей равна 1. Следовательно,

(1) p + p×q ¹ + p×q ² + p×q ³ + p×q ⁴ + ... = 1

Ниже приведена формула для выражения m через p и q.

(2) m = 1×p + 2×q×p ¹ + 3×q ² ×p + 4×q ³ ×p + 5×q ⁴ ×p + ...

Умножьте обе стороны (2) на q.

(3) mq = 1×pq + 2×p×q ² + 3×p×q ³ + 4×p×q ⁴ + 5×p×q ⁵

Вычтите (3) из (2)

(4) m - mq = p + pq + pq ² + pq ³ + pq ⁴ + ...

Правая сторона (4) равна 1 из (1).

(5) m - mq = 1

(6) m×(1-q) = 1

(7) m = 1/(1-q) = 1/p.

Таким образом, если вероятность события равна p, то в среднем для его наступления потребуется 1/p испытаний.

Возвращаясь к рассматриваемой задаче, очевидно, что для вычеркивания первой карты из списка достаточно одной четверки одинаковых символов. Вероятность того, что следующая четверка будет нужной, составляет 12/13. Таким образом, в среднем потребуется 13/12 = 1,0833 попыток, чтобы получить ее. После того, как вы вычеркнули две карты из списка, вероятность того, что следующая будет нужной, составляет 11/13, поэтому потребуется еще 13/11 = 1,1818 попыток, чтобы получить третью.

Следуя этой схеме, общее ожидаемое количество четырех одинаковых предметов, чтобы получить хотя бы по одному предмету каждого вида, составляет

1 + (13/12) + (13/11) + (13/10) + ... + (13/1) = 41,34173882.

Да. Допустим, вы играете в Jacks or Better 9/6. Дисперсия на финальную раздачу составляет n*1,966391 + 17,548285, где n — количество ходов. Таким образом, дисперсия на раздачу при 10 ходах составляет 10*1,966391 + 17,548285 = 37,2122, а при 1 ходе — 1*1,966391 + 17,548285 = 19,51468. Дисперсия 1000 начальных или 10000 общих раздач при 10 ходах составляет 10000*37,2122 = 372122. Дисперсия 10000 раздач при 1 ходе составляет 10000*19,51468 = 195149. Однако, я думаю, нам следует говорить о стандартном отклонении, которое является квадратным корнем из дисперсии. Стандартное отклонение для 10 000 раздач в формате 10-play составляет 372 122 ^0,5 = 610,02. Стандартное отклонение для 10 000 раздач в формате 1-play составляет 195,149 ^0,5 = 441,75. Пока общее количество финальных раздач одинаково, в формате 10-play всегда будет на 38,1% более волатильным в игре Jacks or Better с 9/6. Для получения дополнительной информации посетите мой раздел о стандартном отклонении в видеопокере n-play .

В игре Jacks or Better (9/6) с идеальной стратегией вы увидите роял-карту при раздаче один раз из 40 601 раздачи, но четыре карты в роял-карте — один раз из 460 раздач. На каждую роял-карту, которую вы увидите, вы будете всего в одной карте от выигрыша в 88,33 случаях. Из комбинаций с четырьмя картами в роял-карте 50,37% не принесут выигрыша, 24,89% принесут выигрыша как пара, 7,89% как стрит, 16,16% как флеш и 0,69% как стрит-флеш. Вот точные цифры.

Ожидаемое количество членов королевской семьи при соотношении 170 к 170 составляет 170/88,33 = 1,92. Вероятность увидеть ноль членов королевской семьи со средним значением 1,92 равна e ^-1,92 = 14,59%.

Для ответа на подобные вопросы можно использовать распределение Пуассона. Общая формула: e ^- m * m ^x / x!, где x — количество наблюдаемых событий, а m — ожидаемое число. В данном случае x равно 3. Вероятность выпадения роял-флеша в игре " Not so Ugly Ducks deuces wild " составляет 0,000023. Таким образом, ожидаемое число в 10 000 раздачах будет равно 0,23. Следовательно, вероятность выпадения ровно трех роял-флешей в 10 000 раздачах составляет e ^{- 0,23} * 0,23 ³ / 3! = 0,161%. Формула в Excel для этого выглядит так: poisson(3,0,23,0).

Я предполагаю, что вы считаете вероятность выпадения роял-карты равной 1 к 40 000. При раздаче 4000 раздач за сессию ожидаемое количество роял-карт за сессию составляет 0,1. Очень близкая оценка вероятности отсутствия роял-карт за сессию составляет e ^-0,1 = 90,48%. Причина, по которой она не равна 90%, заключается в том, что иногда за сессию выпадает более одной роял-карты. Ожидаемое количество роял-карт за 50 сессий составляет 0,1 × 50 = 5. Вероятность отсутствия роял-карт за 50 сессий можно приблизительно оценить как e ^-5 = 0,67%. Точная вероятность также составляет (39 999/40 000)^(200 000) = 0,67%.

Если бы вы играли по одной линии, это было бы легко. 800 000 долларов — это 160 000 раздач по 5 долларов. Это 3,9616 циклов роял-карт. Вероятность отсутствия роял-карт можно приблизительно оценить как e ^{- 3,9616} = 1,9%.

Математические расчеты становятся сложнее в играх с несколькими линиями. Думаю, самый простой способ ответить на этот вопрос — это случайное моделирование. В приложении 6 к моему видеопокеру показано, что вероятность получить хотя бы один роял-карту за раздачу в игре Jacks or Better 9/6 на 50 раздач составляет 0,00099893. Каждая раздача на 50 раздач стоит 1 доллар и обходится в 250 долларов. Таким образом, вы сыграли бы 3200 начальных раздач. Ожидаемое количество раздач с роял-картой из 3200 составляет 3,1966. Тем же методом приближения вероятность получить ноль роял-карт составляет e ^-3,1966 = 4,09%. Точный ответ, основанный на результатах моделирования, равен (1-0,00099893)^3200 = 0,04083732, или 4,08%.

Пожалуйста. Я провел несколько случайных симуляций в игре «Валеты или лучше» с коэффициентами 9/6, чтобы получить ответ на ваш вопрос. В следующей таблице показана ковариация для разыгранных линий от 2 до 9 в игре «Валеты или лучше» с коэффициентами 9/6. Дисперсия будет такой же, как и в базовой игре.

Рассмотрим пример игры в Jacks or Better с 9 линиями (9/6) . Дисперсия базовой игры составляет 19,52. Ковариация равна 33,46. Таким образом, общая дисперсия равна 19,52 + 33,46 = 52,98. Стандартное отклонение равно 52,98 ^1/2 = 7,28.

Если она делает ставки стабильно, то да, конечно, берите ставку. Либо она использует какую-то бесполезную прогрессию, либо это преувеличение, полученное из вторых рук. Это натолкнуло меня на мысль: какое оптимальное количество раздач для стороны вашей подруги? Предполагая 9/6 валетов или лучше и оптимальную стратегию, вероятность оказаться впереди максимальна при 136 раздачах, с вероятностью 39,2782%.

Выигрыш от бонуса 6/5 Double Double составляет 0,946569, если быть точным. В моей таблице указана вероятность выпадения роял-карты 0,000025. Однако я предпочитаю использовать больше значащих цифр, поэтому давайте разделим выигрыш на сумму выигрыша: 0,020297/800 = 0,00002537. Выигрыш от всех выигрышей, кроме роял-карты, составляет 0,926273. Назовем j суммой джекпота, при которой достигается точка безубыточности. Решая уравнение относительно j:

1 = 0,926273 + 0,00002537*j
j = (1-0.926273)/ 0.00002537 = 2,906.

Число 2906 измеряется в единицах ставки. Для автомата с ставкой в 1 доллар (общая ставка 5 долларов) точка безубыточности составит 5 * 2906 = 14 530 долларов. Таким образом, до точки безубыточности еще далеко — 12 000 долларов. Прежде чем какой-нибудь перфекционист напишет мне, отмечу, что по мере увеличения прогрессивного джекпота оптимальная стратегия будет меняться, становясь более агрессивной в отношении игры на роял-карты. Мой ответ предполагает, что игрок все время следует одной и той же оптимальной стратегии 6/5.

Простой приблизительный расчет для любой игры в видеопокер с 52 картами — это добавление 0,5% за каждые дополнительные 1000 монет в счетчике. В случае счетчика на 10 100 долларов это на 6100 долларов больше, чем в игре без прогрессивного джекпота. Это игра на доллары, поэтому это 6100 монет, следовательно, к базовой доходности нужно добавить 0,5% × (6100/1000) = 3,05%. Базовая доходность составляет 92,63%, поэтому общую доходность можно приблизительно оценить как 94,66% + 3,05% = 97,71%. Фактическая доходность для счетчика на 10 100 долларов составляет 97,75%, так что довольно близко к истине.

Для получения тройки в роял-карту есть 4 масти на выбор. Существует 10 комбинаций (5,3) = 10 способов выбрать 3 из 5 рангов. Существует 1081 комбинация (47,2) = 1081 способ выбрать две другие карты. Существует 2 598 960 комбинаций (52,5) = 2 598 960 способов выбрать 5 карт из 52. Таким образом, вероятность получения тройки в роял-карту составляет 4 × 10 × 1081 / 2 598 960 = 1,66%.

Для удобства других читателей поясним: коэффициент асимметрии (скошенности) для любой случайной величины — это мера того, в каком направлении имеет более длинный хвост распределения. Отрицательная асимметрия означает, что наиболее вероятные исходы находятся в верхней части распределения, а крайние значения, как правило, находятся в нижней части. Положительная асимметрия — это противоположная ситуация, когда наиболее вероятные исходы находятся в нижней части, но крайние значения, как правило, находятся в верхней части. При отрицательной асимметрии среднее значение меньше медианы, а при положительной — больше. Точную формулу можно найти в Википедии или во многих учебниках по статистике.

Проще говоря, асимметрия коррелирует с частотой выигрышей за сессию. В Jacks or Better, как правило, вы не получите выигрышную сессию за несколько часов, если не соберете роял-карту. В Double Double Bonus вы можете чаще выигрывать через несколько часов благодаря крупным выплатам за каре. Поскольку большинство людей подвержены когнитивным искажениям, боль от проигрыша вдвое больше удовольствия от выигрыша. Люди играют в Double Double Bonus не потому, что им нравится дисперсия, а потому, что у них больше шансов на выигрыш. В следующей таблице приведены некоторые ключевые статистические данные для четырех распространенных игр в видеопокер. Интересно отметить, что асимметрия наибольшая в Jacks or Better.

Вакансия — 9/6 = Полная оплата труда , Jacks or Better
BP — 8/5 = Стандартная выплата Бонусный покер
DDB — 9/6 = Стандартная выплата Double Double Bonus Poker
DW — NSUD = "Не такие уж и гадкие утки" Deuces Wild

Как знание этого может помочь игроку в видеопокер? Можно сказать, что в игре с большим перекосом вероятность проигрыша за несколько часов игры выше. Например, в Jacks or Better, если вы не соберете роял-карты, преимущество казино, вероятно, в конечном итоге истощит ваш банкролл. Однако в таких играх, как Deuces Wild или Double Double Bonus, вторые по величине выигрыши могут вытащить вас из долгов за сессию. Другими словами, перекос не позволяет вам выигрывать, когда вы не собираете роял-карты. Знание перекоса не увеличит ваши шансы, но психологически полезно знать, чего ожидать. Поэтому, в следующий раз, когда вы потерпите поражение в Jacks 9/6, вините в этом перекос.

Выражаю благодарность Джеффу Б. за помощь в решении этого вопроса.

Отличная находка! Вы не указали, в каком номинале играете, а это важно, поэтому я предположу, что в долларах. При максимальной ставке в пять монет количество удвоений, необходимых для выигрыша w (где w<1200), равно 1+int(log(1200)-log(w))/log(2).

В следующей таблице для каждой начальной раздачи указаны: вероятность выигрыша до удвоения, вероятность выигрыша до удвоения, количество необходимых удвоений, вероятность выигрыша после удвоения и вероятность получения выигрыша после удвоения, включая бонус в размере 250 долларов. В нижней правой ячейке показана доходность в 115,5%. В среднем вы будете получать джекпот каждые 297 раздач, при этом средний джекпот составит 1717,46 долларов.

В следующей таблице показана вероятность каждого вида королевской карты в зависимости от количества карт на руках при условии наличия королевской карты. Она показывает, что 3,4% королевских карт возникают при наличии одной карты. Вероятность выпадения королевской карты изначально составляет 1 к 40 391, поэтому безусловная вероятность того, что королевская карта будет иметь одну карту, составляет 1 к 1 186 106.

Существует combin(52,5) = 2 598 960 возможных комбинаций при раздаче. Причина, по которой в моих таблицах возврата в видеопокере почти 20 триллионов комбинаций, заключается в том, что нужно также учитывать, что может произойти при раздаче. Вот количество комбинаций в зависимости от того, сколько карт игрок сбрасывает.

Наименьшее общее кратное всех этих комбинаций равно 5×combin(47,5) = 7 669 695. Независимо от того, сколько карт игрок сбрасывает, возвращаемые комбинации должны быть взвешены таким образом, чтобы общее количество составило 7 669 695. Например, если игрок сбрасывает 3 карты, то на розыгрыше остается 16 215 возможных комбинаций, и каждая из них должна быть взвешена с весом 7 669 695 / 16 215 = 473.

Таким образом, общее количество комбинаций в видеопокере составляет 2 598 960 × 7 669 695 = 19 933 230 517 200. Более подробную информацию о том, как самостоятельно программировать отдачи в видеопокере, вы найдете на моей странице «Методология анализа видеопокера» .

Этот вопрос был поднят и обсужден на форуме моего дочернего сайта Wizard of Vegas .

Предполагаю, что это Royal Aces Bonus Poker. Я видел его всего один раз в Меските много лет назад. За четыре туза выплачивается 800, но это компенсируется тем, что наименее выгодная комбинация — пара тузов, а не обычные валеты. Вот таблица выплат.

Стандартное отклонение составляет 13,58! Это более чем в три раза выше, чем в игре Jacks or Better (9-6), где оно равно 4,42.

Однако, если ограничиться играми, которые легко найти, я бы порекомендовал Triple Double Bonus со стандартным отклонением 9,91. Вот таблица выплат.

Этот вопрос был поднят и обсужден на форуме моего дочернего сайта Wizard of Vegas .

7 281,8 монет. Интересно отметить, что если бы вы сыграли всего один раз ровно на этом уровне, то выигрыш составил бы всего 98,5%. Причина, по которой стоит играть на этом уровне, заключается в предположении, что вы способны играть до тех пор, пока не сорвете джекпот. Это как иметь клуб игровых автоматов с 2% кэшбэком. 98,5% + 2% = 100,5%.

Добавлю, что если начать играть по стратегии с джекпотом в 4000 монет, имея ровно 7281,8 монет, то можно ожидать прибыли в 201,18 монет. Однако, если бы вы потратили время на изучение изменений стратегии для джекпота в 7281,8 монет, то ваша ожидаемая прибыль составила бы 234,31 монет.

Кстати, я только что закончил читать книгу Фрэнка Ниленда «Тайный мир прогрессивного видеопокера» . В этой книге много формул для гораздо более сложных ситуаций с прогрессивными джекпотами, а также практические советы и истории, основанные на его многолетнем опыте руководства командой охотников за прогрессивными джекпотами. Я рекомендую её игрокам в видеопокер с преимуществом.

Для получения практически точного ответа на подобные сложные вопросы нам необходимо использовать матричную алгебру. Я ответил на похожий, но более простой вопрос в своей колонке от 4 июня 2010 года . Если ваши знания матричной алгебры подзабылись, я бы посоветовал сначала обратиться к той статье.

Шаг 1: Определите вероятность выпадения от 0 до 6+ роял-карт в первых 5000 раздачах. Предположим, вероятность выпадения роял-карты составляет 1 к 40 000. Ожидаемое число в 5000 раздачах равно 5000/40000 = 0,125. Используя оценку Пуассона, вероятность выпадения ровно r роял-карт равна e ^-0,125 × 0,125 ^r /r!. Вот эти вероятности:

Шаг 2: Предположим, что для оставшихся 24 995 000 раздач существует семь состояний. В каждом из них в предыдущих 5000 раздачах может быть 0, 1, 2, 3, 4 или 5 роял-карт, или же игрок мог уже получить шесть роял-карт за 5000 раздач, в этом случае успех достигнут и не может быть отменен. С каждой новой раздачей с состоянием игрока может произойти одно из трех:

1. Снижение уровня. Это происходит, если рука, сыгранная 5000 игр назад, состояла из роял-карты, а теперь выбывает из игры, и новая рука не состояла из роял-карты.
2. Остаться на том же уровне. Обычно это происходит, если раздача, сыгранная 5000 игр назад, не была роял-картой, и новая раздача тоже не является роял-картой. Это также может произойти, если раздача, сыгранная 5000 игр назад, была роял-картой, но новая раздача тоже является роял-картой.
3. Перейдите на следующий уровень. Это произойдет, если рука, сыгранная 5000 игр назад, не была роял-картой, а новая рука ею является.

Шаг 3: Разработайте матрицу переходов для вероятности каждого изменения состояния при каждой дополнительной сыгранной игре.

Первый ряд будет соответствовать уровню 0 до начала новой раздачи. Вероятность перехода на уровень 1 в следующей раздаче составляет всего 1 к 40 000. Вероятность остаться на уровне 0 составляет 39 999/40 000.

Вторая строка будет соответствовать уровню 1 до начала новой раздачи. Вероятность перехода на уровень 2 в следующей раздаче равна произведению вероятности не проиграть роял-карту в выбывающей раздаче и получить роял-карту в новой раздаче = (4999/5000)×(1/40000) = 0,0000250. Вероятность возвращения на уровень 0 равна произведению вероятности выбыть роял-карту и не получить роял-карту в текущей игре = (1/5000)×(39999/40000) = 0,0002000. Вероятность сохранения прежнего уровня составляет pr(отсутствие снижения числа королевских особей) × pr(отсутствие новых королевских особей) + pr(снижение числа королевских особей) × pr(новые королевские особи) = (4999/5000)×(39999/40000) + (1/5000)×(1/40000) = 0,9997750.

Вероятности для строк со 2 по 6 будут зависеть от количества роял-карт в истории последних 5000 раздач. Чем больше их, тем выше вероятность того, что одна из них исчезнет при начале новой раздачи. Пусть r — количество роял-карт в последних 5000 раздачах, а p — вероятность получения новой роял-карты.

Pr(повышение уровня) = Pr(отсутствие снижения уровня королевской семьи) × Pr(новая королевская семья) = (1-(r/5000))× p.

Pr(остаться на том же уровне) = Pr(не отчислять королевские особи) × Pr(не причислять новых королевских особей) + Pr(отчислять королевские особи) × Pr(причислять новых королевских особей) = (1-(r/5000))× (1-p) + (r/5000)×p.

Pr(понижение уровня) = Pr(снижение числа членов королевской семьи) × Pr(отсутствие новых членов королевской семьи) = (r/5000)× (1-p).

Седьмая строка соответствует достижению состояния успеха, при котором шесть королевских карт выпадают из 5000 рук. Достигнув этого результата, его уже не вернуть, поэтому вероятность остаться в этом состоянии успеха составляет 100%.

Строки матрицы переходов будут соответствовать уровням до новой раздачи, начиная с уровня 0 в верхней строке. Столбцы будут соответствовать уровням после новой раздачи, начиная с уровня 0 в левом столбце. Числа в матрице будут соответствовать вероятностям перехода из каждого старого состояния в каждое новое состояние в одной игре. Назовем это T1 =

Если мы умножим эту матрицу переходов саму на себя, то получим вероятности каждого изменения состояния в двух последовательных играх. Назовем это T2, так будет обозначать матрицу переходов за две игры:

Кстати, в Excel для умножения двух матриц одинакового размера сначала выделите область, куда вы хотите поместить новую матрицу. Затем используйте формулу =MMULT(диапазон матрицы 1, диапазон матрицы 2). После этого нажмите Ctrl+Shift+Enter.

Если мы умножим T2 само на себя, то получим вероятности каждого изменения состояния в четырех последовательных играх, или T4:

Повторяйте этот процесс удвоения 24 раза, пока не получите T-16,777,216:

Если мы удвоим еще раз, то превысим нашу цель в 24 995 500. Поэтому теперь нам нужно тщательно умножить на меньшие матрицы переходов, которые мы уже рассчитали. Любое число можно получить, используя степени двойки (прелести двоичной арифметики!). В данном случае T-24 995 500 = T-16 777 216 × T-2 ²² × T-2 ²¹ × T-2 ²⁰ × T-2 ¹⁹ × T-2 ¹⁸ × T-2 ¹⁶ × T-2 ¹⁴ × T-2 ¹³ × T-2 ¹⁰ × T-2 ⁷ × T-2 ⁵ × T-2 ⁴ × T-2 ³ =

Честно говоря, ради простоты и экономии времени, вам не стоит заморачиваться с этими последними четырьмя умножениями. Они относятся только к последним 56 раздачам, и вероятность того, что эти 56 повлияют на конечный результат, ничтожно мала. Уверен, мои многочисленные читатели-перфекционисты отшлёпали бы меня за эти слова, если бы могли.

Шаг 4: Умножьте начальное состояние после 5000 раздач на T-24 995 500. Пусть S-0 из шага 1 будет следующим:

Таким образом, S-0 × T-24 995 500 =

Число в нижней ячейке — это вероятность того, что хотя бы раз за 25 000 000 раздач выпала шестая королевская карта. Таким образом, вероятность составляет 1 к 7336.

Выражаю благодарность CrystalMath за помощь в решении этого вопроса.

Прежде чем ответить, я хотел бы напомнить всем, что количество способов выбрать k из n предметов с заменой равно combin(n+k-1,k) = (n+k-1)!/((n-1)!×k!).

При этом, вот следующие типы комбинаций из семи карт и количество различных способов составить каждую из них:

• 7 карт одной масти: комбинация (13,7) = 1176.
• 6 карт одной масти и 1 карта другой: COMBIN(13,6)×13 = 22,308.
• 5 карт одной масти и 2 карты другой: COMBIN(13,5)×combin(13,2) = 100,386.
• 5 карт одной масти и по одной карте двух других мастей: COMBIN(13,5)×combin(13+2-1,2) = 117,117.
• 4 карты одной масти и 3 карты другой: COMBIN(13,4)×combin(13,3) = 204,490.
• 4 карты одной масти, 2 карты второй масти и 1 карта третьей масти: COMBIN(13,4)×combin(13,2)×13 = 725,010.
• 4 карты одной масти и по одной карте каждой из 3 других мастей: COMBIN(13,4)×combin(13+3-1,3)×13 = 325,325.
• 3 карты двух разных мастей и одна карта третьей масти: 13×((COMBIN(13,3)×(COMBIN(13,3)-1)/2+COMBIN(13,3))) = 533,533.
• 3 карты одной масти и по две карты каждой из двух других мастей: COMBIN(13,3)×(COMBIN(13,2)×(COMBIN(13,2)+1)/2) = 881,166.
• 3 карты одной масти, 2 карты второй масти и по одной карте каждой из двух других мастей: COMBIN(13,3)×COMBIN(13,2)×COMBIN(13+2-1,2) = 2 030 028.
• 2 карты каждой из трех мастей и 1 из четвертой: ((КОМБИНАЦИЯ(13,2)×(КОМБИНАЦИЯ(13,2)+1)×(КОМБИНАЦИЯ(13,2)+2)/6) = 1 068 080.

Сумма этих комбинаций составляет 6 009 159. По сравнению с комбинацией (52,7) = 133 784 560 способов выбрать 7 карт из 52, это на 95,5% меньшее количество проанализированных комбинаций.

Более подробное обсуждение этого вопроса вы можете найти на моем форуме Wizard of Vegas .

Вероятность того, что пара улучшится до четырех одинаковых карт, составляет 45/COMBIN(47,3) = приблизительно 0,002775208.

Вероятность того, что это произойдет в десяти случаях из десяти, составляет (0,002775208) ^·10 = приблизительно 1 к 36 901 531 632 979 700 000 000 000.

Вероятность выигрыша сравнима с покупкой трех независимых и случайных лотерейных билетов Powerball и выигрышем по всем трем из них.

Объяснение заключается в том, что это НЕ обычная игра в видеопокер с естественными вероятностями, в которой каждая карта имеет равные шансы быть вытянутой из оставшихся карт в колоде. Нет, это то, что называется «VLT», или видеолотерейный терминал. В таких играх исход предопределен, независимо от того, как игрок оплачивает свою руку. Это похоже на лотерейный билет, но результат отображается игроку как в игре в видеопокер. Вы можете спросить, что произойдет, если у игрока окажутся все пять карт. Тогда придет джинн и подменит некоторые карты, или игрок выиграет бонус, чтобы получить окончательный выигрыш в 2500 кредитов.

Этот вопрос поднимается и обсуждается на моём форуме в Wizard of Vegas .

В этом вопросе я обратился к своему уважаемому коллеге Гэри Колеру, эксперту по математике видеопокера. Вот его ответы, в зависимости от количества колод:

Для первого рояля вероятность получить три рояля при раздаче, в любой масти, составляет 4*combin(5,3)*combin(47,2)/combin(52,5) = 0,01663742. Вероятность завершения рояля при раздаче равна 1/combin(47,2) = 0,00092507. Таким образом, вероятность обоих событий составляет 0,01663742 * 0,00092507 = 0,00001539, или 1 к 64974.

Вероятность получить любые две роял-карты в любых двух мастях таким образом за десять раздач составляет combin(10,2) * 0.00001539 ² (1-0.00001539) ⁸ = 0.00000001065810. Вы также указали, что две роял-карты должны быть одной масти. Вероятность того, что вторая роял-карта совпадает с первой, составляет 1/4, поэтому разделите предыдущую вероятность на 4, чтобы получить 0.00000000266453, что равно 1 из 375 301 378.

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .