Критерий Келли

Введение

Критерий Келли — это метод определения размера ставки, который уравновешивает риск и вознаграждение для игрока, получающего преимущество. Тот же принцип применим к любым инвестициям, ожидающим прибыли. Для игрока/инвестора со средним уровнем удачи и фиксированным размером ставки ожидаемый рост капитала после одной ставки составляет:

Например, предположим, что казино проводит акцию в крэпсе, где за выпадение 2 выплачивается 3 к 1, а за выпадение 12 — 4 к 1. Выпадение 3, 4, 9, 10 или 11 по-прежнему приносит выигрыш 1 к 1, а все остальные суммы приводят к проигрышу. Вероятность выпадения 2 или 12 составляет 1/36 для каждого числа, вероятность выигрыша при равных шансах — 14/36, а вероятность проигрыша — 20/36. Предположим также, что игрок ставит 1% от своего банкролла на каждую ставку. Тогда ожидаемый прирост банкролла на одну ставку составит:

(1 + (0.01*3))^(1/36) * (1 + (0.01*1)^(14/36) * (1 + (0.01*-1))^(20/36) * (1 + (0.01*4))^(1/36)) - 1 = 0.00019661.

Этот продукт максимизируется за счет ставок Келли. Ставки Келли также минимизируют ожидаемое количество ставок, необходимых для удвоения банкролла, поскольку размер ставок всегда пропорционален текущему банкроллу.

Ставка по Келли — это оптимальная сумма для максимизации ожидаемого роста банкролла для игрока со средней удачей. Хотя ставка больше, чем по Келли, принесет больший ожидаемый выигрыш в расчете на одну ставку, большая волатильность приводит к снижению долгосрочного роста банкролла по сравнению со ставкой точно по Келли. Ставка вдвое больше, чем по Келли, приводит к нулевому ожидаемому росту. Любая ставка больше, чем вдвое больше, приводит к снижению ожидаемого роста банкролла. Чаще всего встречается ставка меньше полной суммы Келли. Хотя это и снижает ожидаемый рост, это также уменьшает волатильность банкролла. Например, ставка в размере половины суммы Келли снижает волатильность банкролла на 50%, но рост — всего на 25%.

Для простых ставок с двумя исходами оптимальная ставка Келли — это преимущество, деленное на сумму выигрыша по принципу «к одному». Для ставок с несколькими возможными исходами оптимальная ставка Келли — это та, которая максимизирует логарифм банкролла после ставки. Однако для ставок с несколькими исходами это определить сложно. Большинство игроков используют преимущество/дисперсию в качестве приблизительной оценки, которая является очень хорошим показателем. Например, если ставка имеет преимущество в 2% и дисперсию 4, игрок, использующий «полную ставку Келли», поставит на это событие 0,02/4 = 0,5% своего банкролла. Помните, что дисперсия — это квадрат стандартного отклонения, который указан для многих игр в моем Руководстве по сравнению игр .

Рассмотрим три примера.

Пример 1: Игрок, считающий карты, видит преимущество в 1% при заданном счете. Из моего руководства по сравнению игр мы видим, что стандартное отклонение блэкджека составляет 1,15 (которое может варьироваться в зависимости от правил и счета). Если стандартное отклонение равно 1,15, то дисперсия равна ^1,15² = 1,3225. Доля банкролла, которую нужно поставить, составляет 0,01 / 1,3225 = 0,76%.

Пример 2: В одном из казино города действует акция с 5-кратным увеличением количества очков в видеопокере. Обычно казино выплачивает 2/9 от 1% в виде бесплатных игр. Таким образом, при 5-кратном увеличении, казино выплачивает 1,11%. Лучшая игра — «Валеты или лучше» с коэффициентом 99,54% возврата. После начисления очков казино возврат составляет 99,54% + 1,11% = 100,65%, или преимущество в 0,65%. В справочнике Game Comparison Guide указано, что стандартное отклонение для игры «Валеты или лучше» с коэффициентом 9/6 составляет 4,42, поэтому дисперсия равна 19,5364. Доля банкролла для ставок составляет 0,0065 / 19,5364 = 0,033%. Кстати, эта акция действует в казино Wynn на момент написания этого текста, 2 и 3 сентября 2007 года.

Пример 3: Ставка на спорт имеет 20% шанс на выигрыш и выплачивается по коэффициенту 9 к 2. Преимущество составляет 0,2 × 4,5 + 0,8 × -1 = 0,1. Оптимальная ставка по Келли составляет 0,1/4,5 = 2,22%.

Ниже приведена точная математика примера 3. Пусть x — оптимальная ставка Келли, при банкролле, равном 1 до ставки. Ожидаемый логарифм банкролла после ставки равен...

f(x) = 0,2 × log(1+4,5x) + 0,8 × log(1-x)

Чтобы максимизировать f(x), возьмите производную и приравняйте её к нулю.

f’(x) = 0,2 × 4,5/(1+4,5x) – 0,8/(1-x) = 0

0,9 / (1+4,5x) = 0,8/(1-x)

0,9 - 0,9x = 0,8 + 3,6x

4,5x = 0,1

x = 1/4,5 = 1/45 = 2,22%

Математические вычисления становятся намного сложнее, когда существует более одного возможного исхода, например, в видеопокере. Метод остается тем же, но найти решение для x становится труднее. На мой взгляд, самый простой способ найти x в таких случаях — это экспериментировать с различными значениями, используя методы больших и малых значений (как в игре «Часы» в телеигре «Цена правильная»), пока f'(x) не приблизится к нулю.

Я провел это для двух распространенных видеопокерных игр с доходностью более 100%. Для игры " Full Pay Deuces Wild " с доходностью 100,76% оптимальный размер ставки составляет 0,0345% от банкролла. Для игры " 10/7 Double Bonus " с доходностью 100,17% оптимальный размер ставки составляет 0,0062637% от банкролла. Я слышал эмпирическое правило, что для успеха в видеопокере банкролл должен быть в 3-5 раз больше суммы роял-карты, на которую вы играете. При игре в Full Pay Deuces Wild точная сумма составляет 3,66 роял-карты. Для 10/7 Double Bonus — 19,96 роял-карты.

Моделирование

Чтобы доказать своё утверждение о том, что Келли минимизирует количество ставок для удвоения банкролла, я предположил, что ставка с равными шансами имеет 51% шанс на выигрыш, что даёт преимущество в 2%, а размер ставки Келли составляет 2%. Вот сколько ставок в среднем требовалось для удвоения банкролла при различных размерах ставок. Если выигрышная ставка позволяла игроку увеличить банкролл более чем вдвое, он ставил только то количество ставок, которое было необходимо для точного удвоения банкролла.

Келли против оптимальной стратегии видеопокера

В своей колонке «Спроси волшебника» от 20 сентября 2007 года я предположил, что игроку, делающему ставки по системе Келли, иногда не следует использовать оптимальную стратегию видеопокера. Мои доводы изложены там.

Ссылки на Келли

«Формула удачи» Уильяма Паундстоуна. Прочитайте мой отзыв .

Азартные игры в казино для победителя

Хорошим источником информации о Келли, особенно в части, касающейся блэкджека, является книга Дона Шлезингера «Blackjack Attack» .

Критерий Келли в Википедии .

Автор: Michael Shackleford