Разновидности в многокарточном кено

Введение

В этой статье рассматривается дисперсия в многокарточном кено. Во многих видео-кено игрок может одновременно использовать четыре карты, а в других — до 20 карт. Игрок может контролировать дисперсию игры, определяя количество общих чисел на своих картах. Чем больше карт имеют одинаковые числа, тем больше дисперсия.

Повторение математики

Позволять:

E(x) = Математическое ожидание случайной величины X.
Cov(x) = Ковариация между любыми двумя картами.

Дисперсию отдельной карты можно выразить следующим образом:

Var(x)=E(x^2)-(E(x)) ²

Когда две карты имеют одинаковые числа, результаты каждой игры будут коррелированы. Обычно эта корреляция измеряется их ковариацией. Общая формула для ковариации между двумя случайными величинами x и y выглядит следующим образом:

Cov(x,y) = E(xy) - E(x)*E(y)

Если общие числа у любых двух карт одинаковы, то для n карт общая дисперсия равна:

Общая ковариация = n*Var(x) + n*(n-1)*Cov(x,y)

Выберите 6 чисел, у которых есть 3 одинаковых числа.

Для начала найдем дисперсию одной карты при типичной таблице выплат 3, 4, 68, 1500. В следующей таблице показаны ожидаемый выигрыш и квадрат выигрыша для всех возможных исходов.

В нижней строке показано ^, что ожидаемая доходность составляет 0,907591, а ожидаемый квадрат выигрыша равен 306,155328. Таким образом, дисперсия равна 306,155328 - 0,907591² = 305,331607.

Далее давайте подробно рассмотрим случай, когда игрок выбирает 6 чисел, 3 из которых встречаются на всех картах, а остальные 3 имеют уникальные значения на каждой карте. Например, в игре с 4 картами я мог бы выбрать:

• Карта А: 1, 2, 3, 5, 10, 15
• Карта B: 1, 2, 3, 20, 25, 30
• Карта C: 1,2,3,35,40,45
• Карта D: 1,2,3,50,55,60

В следующей таблице показана вероятность всех 49 возможных комбинаций количества попаданий между двумя картами А и В, которые имеют три из шести общих чисел. В левом столбце указано количество попаданий на карте А, а в верхней строке — количество попаданий на карте В.

В следующей таблице показано произведение выигрышей по обеим картам.

Следующая таблица представляет собой произведение двух таблиц выше, чтобы получить ожидаемое произведение выигрышей по обеим картам. В нижней правой ячейке показано, что ожидаемое произведение выигрышей составляет 7,390131.

Таким образом, ковариация между двумя картами составляет 7,390131 - ^0,907591² = 6,566409.

В следующей таблице показаны дисперсия и стандартное отклонение для игры от 1 до 20 карт, как для всех карт вместе взятых, так и для каждой карты в отдельности.

Выберите 10 чисел, содержащих 5 часто встречающихся символов.

В следующей таблице показаны ожидаемый выигрыш и ожидаемое количество очков выигрыша в кено Pick-10 по таблице выплат 3-4-68-1500.

В нижней строке показано, что ожидаемая доходность составляет 0,897920, а ожидаемый квадрат выигрыша равен 306,014533. Таким образом, дисперсия равна 306,014533 - 0,897920² = 305,208273.

После множества вычислений, которые я опущу, ковариация составила 9,998613.

В следующей таблице показаны дисперсия и стандартное отклонение для игры от 1 до 9 карт, как для всех карт вместе взятых, так и для каждой карты в отдельности.

Выберите 9 с тремя общими числами.

В следующей таблице показаны ожидаемый выигрыш и ожидаемое количество очков выигрыша в кено Pick-9 по таблице выплат 1-6-44-300-4700-10000.

В нижней строке показано ^, что ожидаемая доходность составляет 0,899305, а ожидаемый квадрат выигрыша равен 858,006889. Таким образом, дисперсия равна 858,006889 - 0,899305² = 857,198138.

После множества вычислений, которые я опущу, ковариация составила 3,401478.

В следующей таблице показаны дисперсия и стандартное отклонение для игры с 1 по 12 карт, как для всех карт вместе взятых, так и для каждой карты в отдельности.

Выберите 9 с 6 распространенными числами.

Таблица ожидаемой доходности для одной карты показана выше для случая выбора девятки с тремя общими числами. Напомним, что дисперсия составляет 857,198138.

После множества математических вычислений, которые я опущу, ковариация для двух карт из игры «Выбери 9» с шестью общими числами составляет 57,283444.

В следующей таблице показаны дисперсия и стандартное отклонение для игры от 1 до 20 карт, как для всех карт вместе взятых, так и для каждой карты в отдельности.

Краткое содержание

В следующей таблице представлены соответствующие статистические данные по всем вышеперечисленным случаям, а также по каждому числу выборов от 2 до 10, без пересечения каких-либо чисел.

Пример

Чем всё это может быть полезно? Вот пример математической задачи, где приведенная выше информация окажется полезной.

Джо играет в кено с четырьмя картами 10 000 раз. В каждой игре он выбирает три общих числа для всех четырех карт, а остальные три числа на каждой карте уникальны. Он делает ставку в 1 доллар за карту. Используется таблица выплат 3-4-68-1500. Каков 95% доверительный интервал для его ожидаемого общего выигрыша?

Нажмите на кнопку ниже, чтобы увидеть ответ.

Нажмите на кнопку ниже, чтобы получить краткое решение.

[spoiler=Решение]

Ожидаемый выигрыш составляет 10 000 × 4 × 1 доллар × (0,907591-1) = -3696,35.

В приведенной выше таблице показано, что разница на одну карту составляет 325,0308343. При общем количестве карт в 40 000 общая разница составляет 40 000 × 325,0308343 = 13 001 233 долларов.

Квадратный корень из дисперсии равен стандартному отклонению, которое равно sqrt($13 001 233) = $3 605,72.

95% доверительный интервал охватывает 1,959964 стандартных отклонения в любом направлении. Это означает, что в 95% случаев фактический выигрыш будет находиться в пределах 1,959964 × 3605,72 $ = 7067,09 $ от ожидаемого.

Таким образом, нижняя граница 95% доверительного интервала составляет -$3 696,35 - $7 067,09 = -$10 763,44.

Верхняя граница 95% доверительного интервала составляет -3696,35 долл. + 7067,09 долл. = 3370,73 долл.

[/спойлер]

Внутренние ссылки

• Стандартное отклонение для видеопокера с несколькими руками
• Дисперсия в блэкджеке

Автор: Michael Shackleford