Сихерман Дайс

На этой неделе я приостановлю своё путешествие по Камино дель Норте. Вместо этого, я считаю, что представленная мной головоломка заслуживает отдельного выпуска. Вот она:

Как можно пронумеровать две игральные кости так, чтобы вероятность выпадения любой заданной суммы была такой же, как и у двух обычных шестигранных игральных костей? На одной из костей должно быть от одной до четырех точек на каждой стороне. На другой кости может быть любое число на каждой стороне.

Для начала давайте рассмотрим количество комбинаций каждой суммы с двумя обычными игральными костями.

Вот итоговые значения, полученные по результатам броска обеих игральных костей.

Кубик 1	Кубик 2
	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

Вот как часто наблюдается каждое значение от 2 до 12.

Общий	Комбинации
2	1
3	2
4	3
5	4
6	5
7	6
8	5
9	4
10	3
11	2
12	1

Допустим, что кубик 1 — это тот, на котором выпадают только числа от 1 до 4. Можно с уверенностью предположить, что там есть как минимум одна единица и как минимум одна четверка. В противном случае, указанный диапазон, вероятно, был бы уже.

Для того чтобы получить комбинацию из 2 чисел, на кубике 2 должно выпасть ровно одно число 1.

Для того чтобы получить комбинацию из 12 чисел, на кубике 2 должно выпасть ровно одно число 8.

На первом кубике не может быть больше одной единицы и одной четверки, иначе сумма чисел будет больше двух или двенадцати. Вот что мы имеем сейчас:

Кубик 1	Кубик 2
	1	?	?	?	?	8
1	2	?	?	?	?	9
2 или 3	?	?	?	?	?	?
2 или 3	?	?	?	?	?	?
2 или 3	?	?	?	?	?	?
2 или 3	?	?	?	?	?	?
4	5	?	?	?	?	12

Если на первом кубике четыре двойки, то существует как минимум 4 способа получить в сумме 3. Нам нужно ровно два способа. Следовательно, как минимум на одной грани должна быть тройка.

Если бы на кубике 2 выпали числа 1-2-2-2-3-4, то было бы как минимум 3 способа получить в сумме 3. Опять же, нам нужно ровно два способа.

Итак, на втором кубике должно выпасть число 1-2-2-3-3-4. Это дает нам 3 способа выбросить тройку.

Учитывая конфигурацию первой кости, на второй кости не может выпасть ни одной двойки. В противном случае, было бы слишком много способов получить в сумме 3. Давайте попробуем выбросить 3 в качестве следующего числа на второй кости. Это даст нам следующие суммы между двумя костями:

Кубик 1	Кубик 2
	1	3	?	?	?	8
1	2	4	?	?	?	9
2	3	5	?	?	?	10
2	3	5	?	?	?	10
3	4	6	?	?	?	11
3	4	6	?	?	?	11
4	5	7	?	?	?	12

Обратите внимание, что есть три способа получить в сумме 5. Нам нужно четыре способа. Вспомните, что с двумя кубиками мы можем получить в сумме 5, если 1+4, 4+1, 2+3 или 3+2.

Если мы добавим еще одну тройку на второй кубик, то получим пять способов выбросить в сумме 5, что слишком много. Следовательно, следующее число на втором кубике должно быть 4, чтобы совпасть с единицей на первом кубике и получить еще одну сумму 5. Таким образом, теперь мы имеем:

Кубик 1	Кубик 2
	1	3	4	?	?	8
1	2	4	5	?	?	9
2	3	5	6	?	?	10
2	3	5	6	?	?	10
3	4	6	7	?	?	11
3	4	6	7	?	?	11
4	5	7	8	?	?	12

Обратите внимание, что существует четыре способа получить в сумме шесть. Нам нужно пять способов. Если бы мы добавили еще 4 к кубику 2, то у нас было бы слишком много способов получить в сумме 5. Следовательно, второй способ получить в сумме 5 должен заключаться в выпадении 5 на кубике 2, чтобы объединить это с единицей на кубике 1. Это дает нам:

Кубик 1	Кубик 2
	1	3	4	5	?	8
1	2	4	5	6	?	9
2	3	5	6	7	?	10
2	3	5	6	7	?	10
3	4	6	7	8	?	11
3	4	6	7	8	?	11
4	5	7	8	9	?	12

Следующая сумма, которую нужно рассмотреть, — 7. Пока у нас есть пять способов, а нам нужно шесть. Этого можно достичь только добавив 6 к броску кубика 2. Это в сочетании с единицей на кубике 1 даст нам еще одну сумму — 7. Таким образом, мы получим:

Кубик 1	Кубик 2
	1	3	4	5	6	8
1	2	4	5	6	7	9
2	3	5	6	7	8	10
2	3	5	6	7	8	10
3	4	6	7	8	9	11
3	4	6	7	8	9	11
4	5	7	8	9	10	12

Суммарные комбинации для каждой суммы совпадают с комбинациями двух обычных игральных костей. Итак, на этом всё. Кстати, это так называемые игральные кости Сихермана.

Кредит

Я сталкивался с этой проблемой несколько раз за десятилетия. Думаю, она слишком сложная, если не дать подсказки, что значение одной игральной кости может варьироваться от 1 до 4.

Хорошее видео, откуда я почерпнул логику для этого решения, называется « Сможете ли вы разгадать загадку с проклятыми игральными костями? — Дэн Финкель » на YouTube-канале Ted-Ed.