Wizard рекомендует

$11000 Приветственный бонус

Играть
Читать обзор
$3000 Приветственный бонус

Играть
Читать обзор
Бонус до $777

Играть
Читать обзор

Дом ›
Спросите Волшебника ›
Вероятность - Общие вопросы

Вероятность - Общие вопросы

Вы хотите сказать, что в долгосрочной перспективе вы будете проигрывать в каждой игре в казино, независимо от того, что вы делаете?

Joe от Harrisburg, US

За исключением редких случаев положительного математического ожидания в блэкджеке и видеопокере, да, именно это я и имею в виду.

Как мне преобразовать ваши вероятности в формат x-y?

Ralph Harpster от Turlock, USA

Утверждение, что вероятность события равна x к y, означает, что рассматриваемое событие произойдет x раз на каждые y раз, когда оно не произойдет. Для преобразования пусть p — вероятность некоторого события. Вероятность также можно выразить как (1/p)-1 к 1. Рассмотрим пример. Вероятность вытягивания фулл-хауса в пятикарточном стаде составляет 0,00144058. Это также можно представить как 693,165 к 1.

Недавно я смотрел футбольный тотализатор. Это был один из тех, где на сетке из 100 квадратов числа от 0 до 9 расположены по осям X и Y и соответствуют последней цифре счета. Я не фанат футбола и не делал ставок в этом тотализаторе, но я азартный игрок и не считаю это выгодной ставкой.

Я предполагаю, что вы знаете, о каком типе тотализатора я говорю. Каждый ящик стоит 5 долларов, а выплаты производятся ежеквартально. Если ваш ящик выигрывает, вы получаете 125 долларов, и есть возможность выиграть все 4 квартала, если последние числа останутся неизменными, выиграв 500 долларов, то есть выплата составит 100 к 1.

Человек, предлагавший пари, пытался убедить меня, что шансы выиграть 500 долларов составляют 100 к 1. Я не согласен. Во-первых, у коробки, в которой выпали 0 + 7, гораздо больше шансов на выигрыш, чем у коробки, в которой выпали 2 + 9. Однако вероятность того, что 0 + 7 останутся двумя последними числами на протяжении всей игры, должна быть высокой. Если коробки выбираются случайным образом, можете ли вы сказать мне приблизительные шансы на выигрыш приза в 500 долларов?

Sam от Phillipsburg, USA

Если предположить, что ячейки сетки выбираются случайным образом, то вероятность выигрыша в любой из четырех четвертей составит 1/100. Если предположить, что каждая четверть является независимым событием, что не так, то вероятность выигрыша во всех четырех четвертях составит (1/100) ⁴ = 1 к 100 миллионам.

Мне бы очень хотелось узнать, как читать коэффициенты, например, 12 к 1 или 3 к 2. Какой из них показывает лучшие шансы на победу? 12 к 1 или 3 к 2?

Louis от Montreal, Canada

Мне не нравится использовать вероятности в такой форме, но обычно они используются в таком синтаксисе: «Шансы на то, что роял-флеш не выпадет, составляют 649 739 к 1». Это означает, что существует 649 739 способов, которыми вы не можете вытянуть роял-флеш, и 1 способ, которым вы можете. В ваших примерах 12 к 1 — это вероятность 1/13, или 7,69%, а 3 к 2 — 2/5, или 40,00%, поэтому 3 к 2 — это более высокий шанс на выигрыш.

В статье газеты St. Louis Post-Dispatch репортер пишет: «Наводнение, случающееся раз в 500 лет, — это наводнение с вероятностью 1 к 500, которое может произойти в любой конкретный год. Иными словами, это будет 1 к 10, если речь идет о наводнении за 50 лет, или 1 к 5, если речь идет о наводнении за столетие». Прочитав все ваши страницы, посвященные азартным играм, я считаю, что это неверная формулировка, не так ли? Если экстраполировать их утверждение, это означало бы, что существует 1 к 1 вероятность того, что наводнение произойдет каждые 500 лет, а это никак не может быть правдой.

анонимный

Вы правы, эта статья неверна. Вероятность наводнения, случающегося раз в 500 лет, за период в x лет составляет 1-e ^-x/500 . Таким образом, вероятность хотя бы одного наводнения, случающегося раз в 50 лет, составляет 9,52%, а за 100 лет — 18,13%.

Если я определю справедливую линию игры как -160/+160, а затем обнаружу неверную линию -145, каково мое ожидаемое значение (EV)? Буду очень признателен за любую формулу, с помощью которой я смогу вычислить свое ожидаемое значение +/- после определения справедливой линии.

анонимный

Пусть p — вероятность победы фаворита. Если -160 — справедливая линия, то:

100*p - 160*(1-p) = 0
260 пенсов = 160
p = 160/260 = 8/13 = 61,54%.

Таким образом, ожидаемая прибыль от ставки в 145 долларов при коэффициенте -145 составит (8/13)*100 + (5/13)*-145 = 75/13 = 5,77 долларов. Следовательно, преимущество игрока составит 5,77 долларов / 145 долларов = 3,98%.

Давайте обозначим t как истинную денежную линию без преимущества казино, а a как фактическую денежную линию. Ниже приведены формулы для расчета ожидаемой прибыли игрока:

A отрицательно, t отрицательно: (100*(ta) / (a*(100-t))
А положительно, t положительно: (at)/(100+t)
A положительно, t отрицательно: (a*t + 10000)/((t-100)*100)

В вашем случае ожидаемая доходность составляет 100*(-160 -(-145))/(-145*(100-(-160))) = 3,98%.

Что вы думаете о приведенном ниже утверждении, что Бог — демократ, о чем свидетельствует тот факт, что все округа, проголосовавшие за Гора в 2000 году, избежали воздействия трех ураганов, недавно обрушившихся на Флориду?

анонимный

Во-первых, я публикую это, потому что автор дал на это разрешение внизу. Это хороший пример того, что корреляция не обязательно означает причинно-следственную связь. Легко оглянуться назад и найти множество совпадений. Чтобы обосновать что-либо, необходимо выдвинуть гипотезу, прежде чем собирать какие-либо доказательства.

Дополнение (13 ноября 2004 г.): Другой читатель отметил, что эта карта изначально была шуткой, но превратилась в городскую легенду . Как указано по этой ссылке, траектории ураганов на графике просто не соответствуют действительности, и на самом деле ураганы обрушились на многие округа округа Гор. Это лишь доказывает, что не стоит верить всему, что читаешь, особенно в интернете.

Просто подумал, что вам это может показаться интересным. На сайте Bodog предлагают следующую ставку: «Каким будет второй ребенок Бритни Спирс и Кевина Федерлайна — мальчиком или девочкой?» Коэффициент на мальчика — +105, на девочку — −145. Насколько я помню, соотношение 1:1 существует с начала человечества. Мне бы хотелось узнать, кто поставит на -145. Мне нравится ваш сайт, заходите почаще и благодарите своих спонсоров.

анонимный

Спасибо за добрые слова. Честно говоря, никого уже не особо волнует показатель кликабельности. Так что не чувствуйте себя обязанными переходить по баннерам, если это просто показуха. Отвечая на ваш вопрос, в США вероятность рождения мальчика очень близка к 50,5%, а девочки — к 49,5%. Если предположить, что никакой другой информации не известно сообществу игроков, то преимущество игрока на ставке на мальчика составит 0,505 * 1,05 - 0,495 = 3,53%. Возможно, кто-то, обладающий инсайдерской информацией, делает ставку на девочку. Другая теория заключается в том, что некоторые люди ошибочно считают, что пол можно определить по форме живота матери, и эти люди делают ставки на девочку. Лично я оставлю эту версию без комментариев.

В этом видео на YouTube Мэтт Дэймон утверждает, что у Джона Маккейна шанс не пережить свой первый срок — 1 к 3. Прав ли он?

Lisa от San Antonio, TX

Нет. Используя эту актуарную таблицу от CDC (Центров по контролю и профилактике заболеваний), вероятность того, что 72-летний белый мужчина доживет до 76 лет, составляет 85,63%. Это примерно 1 шанс из 7 на смерть. Показатель выживаемости можно найти, разделив когорту, родившуюся в возрасте 76 лет (57 985 человек), на когорту, родившуюся в возрасте 72 лет (67 719 человек), используя таблицу для белых мужчин на странице 14. Используемая таблица называется «таблицей продолжительности жизни за период», которая предполагает, что показатели смертности 2003 года не изменятся в будущем, и является наиболее распространенным видом актуарной таблицы. Перфекционист мог бы использовать таблицу продолжительности жизни когорты 1936 года, но я не думаю, что это сильно повлияет на ситуацию.

P.S. После публикации этого ответа я получил несколько комментариев о том, что мой ответ не учитывал индивидуальную ситуацию со здоровьем Джона Маккейна. Против него играет то, что он пережил рак. В его пользу играет доступ к лучшей медицинской помощи, которую можно купить за деньги, очевидно, что он все еще в хорошей форме как физически, так и психически для 72-летнего человека, а также долголетие, о чем свидетельствует тот факт, что его мать все еще жива. Однако я никогда не собирался учитывать эту информацию. Это Мэтт Дэймон цитировал актуарные таблицы, на которые я и ссылался. Я лишь говорю, что для среднестатистического 72-летнего белого мужчины вероятность прожить еще четыре года составляет 86%. Если бы меня заставили, я бы предсказал, что шансы Джона Маккейна были бы еще выше.

Если взять одинаковое количество бумаги, какой бумажный стаканчик вместит больше воды: цилиндрический или конусообразный? Предположим, что цилиндр открыт с одного конца и имеет оптимальные размеры в обоих случаях.

анонимный

Пожалуйста, обратитесь к моему дополнительному сайту MathProblems.info , задача номер 210, для получения ответа и решения.

Слышали ли вы историю о Принцессе, верблюдице из зоопарка Попкорн-Парк в Нью-Джерси, у которой статистика 88-51 по ставкам на НФЛ? Каковы шансы на это?

анонимный

Без учета ничьих, вероятность получить хотя бы 88 побед из 139 прогнозов составляет 0,00107355, или 1 к 931. Это довольно неутешительно. Уверен, есть еще 930 животных, которые показали худшие результаты, о которых никто не пишет. Для получения дополнительной информации о Принцессе, прочитайте статью « Верблюд из Нью-Джерси предсказывает победу «Джайентс» над «Патриотс»» на ESPN.com.

В эфире шоу "Chelsea Lately" 8 мая 2012 года Челси заявила, что рыжеволосые девушки вымирают, потому что не вступают в брак друг с другом. Правда ли это?

анонимный

Надеюсь, вам понравится; я потратил на это несколько часов.

Чтобы ответить на этот вопрос, важно количественно оценить поведение в рамках гипотезы Челси Хэндлер о рыжих волосах. Вот мои предположения.

Рыжеволосая девушка никогда не будет спариваться с другой рыжеволосой девушкой.
Самка всегда выберет самца для спаривания.
Все особи будут спариваться, и каждое спаривание даст одинаковое количество детей.
Самки с рыжими волосами получат первоочередное право выбора партнера, выбирая его случайным образом среди самок без рыжих волос.
Самки-носительницы (обладающие одним геном рыжих волос) будут выбирать себе партнера случайным образом среди мужчин, оставшихся от рыжеволосых особей.
Самки, не имеющие гена рыжих волос (ни гена, отвечающего за этот ген), будут выбирать случайным образом среди мужчин, оставшихся от рыжеволосых самок и носителей гена.

Исходя из вероятности того, что среди людей с рыжими волосами окажется человек с 4% волос, согласно данным сайта Today I Found It . Затем я предполагаю, что до настоящего момента не существовало предвзятого отношения к рыжеволосым.

Предположим, что предвзятое отношение к рыжеволосым начнётся со следующего поколения и сохранится. Какова будет тенденция изменения общего числа людей с рыжими волосами? После долгих раздумий в электронной таблице, в которую я не буду вдаваться, вот первые восемь поколений, начиная с этого.

Пропорция рыжих волос

Поколение	Пропорция
1	4.000000%
2	3,888889%
3	3,895219%
4	3,894863%
5	3,894883%
6	3,894882%
7	3,894882%
8	3,894882%

Как мы видим, к третьему поколению доля рыжеволосых в населении приблизится к 3,90%. Поэтому, несмотря на заявления «Челси», я думаю, рыжеволосым не о чем беспокоиться.

Этот вопрос был поднят и обсуждался на моём форуме в Wizard of Vegas .

Согласно CardPlayer.com , Амир Лехавот, один из девяти игроков, вышедших за финальный стол Мировой серии покера 2013 года, продает любой выигрыш, превышающий минимальную сумму в 733 224 доллара за девятое место, по цене 29 248 долларов за каждый 1%-ный процент. Справедливая ли это цена?

анонимный

Для начала давайте рассмотрим структуру микросхем.

Количество фишек за финальным столом WSOP 2013

Игрок	Чипсы
Дж. К. Тран	38 000 000
Амир Лехавот	29 700 000
Марк Маклафлин	26 525 000
Джей Фарбер	25 975 000
Райан Рисс	25 875 000
Сильвен Лоосли	19 600 000
Михиль Бруммельхейс	11 275 000
Марк Ньюхаус	7 350 000
Дэвид Бенефилд	6 375 000

В следующей таблице показана победа в каждом финальном раунде турнира.

Призовые деньги финального стола WSOP 2013

Место	Победить
1-й	8 359 531 долларов США
2-й	5 173 170 долларов США
3-й	3 727 023 долларов США
4-й	2 791 983 долларов США
5-й	2 106 526 долларов США
6-й	1 600 792 долларов США
7-й	1 225 224 долларов США
8-й	944 593 долларов США
9-й	733 224 долларов США

Предполагая, что все игроки обладают одинаковым уровнем мастерства, вероятность выигрыша можно оценить как долю от общего стека фишек. Однако для каждой последующей позиции расчеты становятся сложнее. Чтобы помочь ответить на этот вопрос, я разработал свой калькулятор для покерных турниров .

Введя приведенную выше информацию, вы увидите, что ожидаемый выигрыш Амира составляет 3 658 046 долларов. Затем вычтите минимальный приз в размере 733 224 долларов за 9-е место, и вы получите 2 924 822 доллара ожидаемого негарантированного выигрыша. Каждая 1% доля стоит 29 248,22 доллара. Это, как ни странно, та же цена, что указана в статье на cardplayer.com.

Кстати, Лехавот занял третье место и получил призовые в размере 3 727 023 долларов. Вычтя гарантированные 733 224 доллара за 9-е место и разделив на 100, получаем, что каждая 1%-ная акция принесла 29 938 долларов. Первоначальная стоимость одной акции составляла 29 248 долларов, поэтому каждая акция принесла бы 2,36% прибыли.

Этот вопрос обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

В казино, где до сих пор используются обычные билеты в настоящем барабане (не электронные), которые вы распечатываете на стойке игрока и опускаете в барабан, — вы сгибаете/мнёте билеты перед тем, как положить их в барабан? Считаете ли вы, что согнутые билеты имеют больше шансов быть выбранными?

AxiomOfChoice

Надеюсь, вы довольны. Чтобы ответить на этот вопрос, я купил большой рулон билетов в магазине Office Depot. Затем я положил 500 билетов в бумажный пакет, половину сложив пополам примерно под углом 90 градусов, а другую половину развернув. Затем шесть добровольцев по очереди вытаскивали от 40 до 60 билетов, возвращая их обратно, а я записывал результаты. Вот результаты.

Эксперимент с розыгрышем билетов

Предмет	Сложенный	Развернуто	Общий
1	25	25	50
2	38	22	60
3	25	15	40
4	34	16	50
5	27	23	50
6	26	24	50
Общий	175	125	300

Таким образом, 58,3% выпавших билетов были сложены!

Если предположить, что складывание не оказало никакого влияния, то эти результаты будут отличаться от ожиданий на 2,89 стандартных отклонения. Вероятность получить такое количество сложенных билетов или больше, если предположить, что складывание не повлияло на шансы, составляет 0,19%, или 1 к 514.

Добавлю, что те, кто быстро вытаскивал билеты, гораздо чаще вытаскивали сложенные. У тех, кто тщательно выбирал билеты, соотношение было примерно 50/50.

Итак, мой вывод однозначно таков: их нужно сложить.

Для обсуждения этого вопроса, пожалуйста, посетите мой форум на сайте Wizard of Vegas .

Двум игрокам раздают случайные числа в интервале (0,1). Первый игрок решает либо оставить число без изменений, либо сбросить его и взять новое число. Второй игрок поступает так же. Выигрывает игрок с большим числом. Какова оптимальная стратегия для каждого игрока? Предполагая оптимальную стратегию, какова вероятность выигрыша каждого игрока?

Joe Shipman от New Jersey

Отличный вопрос! Вот мой ответ и краткое решение . Также смотрите мое решение в формате PDF .

Предположим, вам предложили сыграть в игру с подбрасыванием монеты. Если при первом броске выпадает орел, вы получаете обратно 2 доллара, и игра заканчивается. В противном случае, вы бросаете монету еще раз. Если при втором броске выпадает орел, вы получаете обратно 4 доллара. Если при втором броске выпадает решка, вы продолжаете бросать монету, пока не выпадет орел. При каждом броске приз удваивается. Другими словами, вы получаете обратно 2^n, где n — количество бросков (включая последний бросок с орлом). Сколько бы вы заплатили за эту игру? Я слышал, что математический ответ — бесконечная сумма денег, но это не имеет смысла, потому что в какой-то момент вы должны выиграть конечную сумму денег.

Omaha

Это явление известно как Санкт-Петербургский парадокс .

Действительно, ожидаемый выигрыш в игре равен ∞, в то же время вероятность выпадения решки равна нулю, что приводит к конечной сумме выигрыша. Расчет ожидаемого выигрыша выглядит следующим образом:

Ожидаемый выигрыш = pr(1 бросок)×2 + pr(2 броска)×4 + pr(3 броска)×8 + pr(4 броска)×16 + pr(5 бросков)×32 + pr(6 бросков)×64 + ... =

(1/2) ¹ × 2 ¹ + (1/2) ² × 2 ² + (1/2) ³ × 2 ³ + (1/2) ⁴ × 2 ⁴ + (1/2) ⁵ × 2 ⁵ + (1/2) ⁶ × 2 ⁶ + ...

= ((1/2)*(2/1)) ¹ + ((1/2)*(2/1)) ² + ((1/2)*(2/1)) ³ + ((1/2)*(2/1)) ⁴ + ((1/2)*(2/1)) ⁵ + ((1/2)*(2/1)) ⁶ + ...

= 1 ¹ + 1 ² + 1 ³ + 1 ⁴ + 1 ⁵ + 1 ⁶ + ...

= 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ... = ∞

Парадокс заключается в том, что игрок должен выиграть конечную сумму денег, но ожидаемый выигрыш бесконечен. Как такое возможно?

Возможно, это не самый удовлетворительный ответ, но в отношении бесконечности существует множество парадоксов. Это может вызвать гневные письма, но что позволяет мне спокойно спать по ночам, несмотря на такие парадоксы бесконечности, так это моя вера в то, что бесконечность — это математическое или философское понятие, существование которого в реальной физической вселенной не доказано. Это понятие или теория бесконечности содержит в себе парадоксы.

Для тех, кто с этим не согласен, пожалуйста, приведите мне любые доказательства бесконечной плотности или возможности измерения. Пожалуйста, не утверждайте, что черная дыра имеет бесконечную плотность, если у вас нет доказательств ее размера.

Чтобы ответить на первоначальный вопрос о том, сколько следует заплатить за участие в этой игре, следует помнить, что счастье не пропорционально сумме денег. Лично я на уроках экономики учился и считаю, что полезность, или счастье, от денег пропорциональна логарифму суммы денег. При этом предположении, если увеличить или уменьшить богатство любых двух людей на одинаковый процент, за исключением начального богатства, равного нулю, то оба они испытают одинаковое изменение счастья. Например, если богатство Джима внезапно увеличится с 1000 до 1100 долларов, а богатство Джона внезапно увеличится с 10 000 000 до 11 000 000 долларов, то оба они испытают одинаковое увеличение счастья, потому что в обоих случаях их богатство увеличилось на 10%. Предполагая, что счастье от денег действительно пропорционально логарифму суммы, то следующая таблица показывает максимальную сумму, которую человек должен быть готов заплатить в зависимости от своего богатства, прежде чем платить за участие в игре.

Безразличие Сумма для игры

Богатство	Безразличие Количество
10 долларов	4,97 доллара
100 долларов	7,79 долларов США
1000 долларов	10,96 долларов США
10 000 долларов США	14,26 долларов США
100 000 долларов США	17,78 долларов США
1 000 000 долларов США	20,88 долларов США
10 000 000 долларов США	24,19 долларов США
100 000 000 долларов США	27,51 долл. США
1 000 000 000 долларов США	30,84 долл. США

Как видите, в реальных условиях сумма, которую вам следует заплатить, намного меньше $∞. Например, если ваше состояние составляет один миллион долларов, то вам должно быть все равно, стоит ли играть за $20,88.

Этот вопрос поднимается и обсуждается на моём форуме Wizard of Vegas .

В Мичиганской лотерее есть игра для трех игроков со следующими правилами:

Игроки играют по одному, а те, кто ещё не играл, остаются за пределами игровой зоны и не получают никакой информации о результатах предыдущих игроков.

В колоде 100 карт, пронумерованных от 1 до 100.

Игрок начинает, выбирая любую карту.

После просмотра карты игрок может оставить её себе или обменять на новую.

Все карты раздаются с заменой. Другими словами, старые карты возвращаются в колоду, в том числе и после сброса.

Побеждает игрок, вытянувший самую старшую карту.

Есть ли какое-либо позиционное преимущество у игрока, ходящего последним в этой игре? Какова оптимальная стратегия для каждого игрока?

Вот видеона YouTube, демонстрирующее игру.

Dween

Во-первых, ход последним не дает никакого преимущества в плане позиции. Поскольку игроки находятся в звукоизолированной кабине, пока играют предыдущие игроки, порядок не имеет значения.

Во-вторых, в игре должно существовать равновесие Нэша, при котором стратегия, направленная на то, чтобы остаться с результатом не менее x очков, будет превосходить любую другую стратегию. Вопрос в том, чтобы найти x.

Я задался вопросом: какой была бы стратегия, если бы вместо карты с номерами от 1 до 100 каждый игрок получал случайное число, равномерно распределенное между 0 и 1, и искал точку x, в которой идеальный логик был бы безразличен к тому, оставаться ли на месте или менять карту? Получив такой ответ, легко применить его к дискретному распределению от 1 до 100.

На этом я закончу говорить и позволю читателям самим разобраться в проблеме. Ответ и решение вы найдете по ссылкам ниже.

Ответ для непрерывного распределения от 0 до 1 .

Ответ для дискретного распределения от 1 до 100.

Моё решение вы найдёте здесь (PDF) .

Этот вопрос был поднят и обсуждался на моём форуме в Wizard of Vegas .

Предположим, у вас есть колода из десяти красных и десяти черных карт. После случайного перемешивания вы вытягиваете карты без возвращения. Какова вероятность вытянуть все десять черных карт раньше, чем пять красных?

Don

Это то же самое, что спросить, какова вероятность того, что из 14 случайных карт окажутся все 10 черных карт. Существует комбинаций (10,4) = 210 способов выбрать 4 красные карты из 10 в колоде. Конечно, есть только один способ выбрать все десять черных карт. Существует комбинаций (20,14) = 38760 способов выбрать 14 карт из 20. Таким образом, ответ равен 210/38760 = 0,005418, или 1 из 184,57.

Мне известно о повышении по службе, которое предусматривает бонус за получение четырех одинаковых карт во всех 13 рангах. Сколько раздач для этого потребуется в среднем?

AxelWolf

Давайте рассмотрим эталон видеопокера — 9-6 Jacks or Better — чтобы ответить на ваш вопрос.

Первый шаг — модифицировать мой калькулятор, чтобы он включал строку для всех 13 одинаковых чисел. Вот модифицированная таблица возврата:

Модифицированный стол возврата Jacks or Better

Событие	Платит	Комбинации	Вероятность	Возвращаться
Флеш-рояль	800	493,512,264	0.000025	0.019807
Прямой смыв	50	2 178 883 296	0.000109	0.005465
Четыре А	25	3 900 253 596	0.000196	0.004892
Четыре К	25	3 904 533 816	0.000196	0.004897
Четыре Q	25	3,898,370,196	0.000196	0.004889
Четыре Дж	25	3 886 872 684	0.000195	0.004875
Четыре 10	25	3 471 687 732	0.000174	0.004354
Четыре 9	25	3 503 226 684	0.000176	0.004394
Четыре 8	25	3,504,128,652	0.000176	0.004395
Четыре 7	25	3 504 825 252	0.000176	0.004396
Четыре 6	25	3 504 861 888	0.000176	0.004396
Четыре 5	25	3 504 895 944	0.000176	0.004396
Четыре 4	25	3 504 032 676	0.000176	0.004395
Четыре 3	25	3,503,177,148	0.000176	0.004394
Четыре 2	25	3,502,301,496	0.000176	0.004393
Аншлаг	9	229,475,482,596	0.011512	0.103610
Румянец	6	219,554,786,160	0.011015	0.066087
Прямой	4	223,837,565,784	0.011229	0.044917
Три одинаковых	3	1 484 003 070 324	0.074449	0.223346
Две пары	2	2,576,946,164,148	0.129279	0.258558
Валеты или лучше	1	4 277 372 890 968	0.214585	0.214585
Ничего	0	10,872,274,993,896	0.545435	0.000000
Общий		19,933,230,517,200	1.000000	0.995439

Вероятность выпадения любых четырех одинаковых чисел составляет 0,002363.

Следующий вопрос, на который нужно ответить, — сколько в среднем потребуется четыре одинаковых символа, чтобы получить все 13 символов? Чтобы ответить на этот вопрос, я создал свой калькулятор ожидаемого количества испытаний . Чтобы использовать его, введите количество комбинаций каждого из четырех одинаковых символов в первые 13 ячеек. Калькулятор покажет вам, что в среднем потребуется 41,532646 четырех одинаковых символов, чтобы получить все 13 символов.

Таким образом, ожидаемое количество раздач, необходимых для получения всех 13 одинаковых карт, составляет 41,341739/0,002363 = 17 580.

Одного поля травы достаточно для питания ровно такого количества животных:

Одна корова и одна лама на 21 день.
Одна лама и одна овца на 42 дня.
Одна овца и одна корова на 28 дней.
Корова съедает столько же травы, сколько лама и овца вместе взятые.
Трава растёт с постоянной скоростью.

Сколько времени потребуется этим трём животным, чтобы полностью съесть всю траву на поле?

MatiX

[спойлер] Пусть:
c = скорость поедания травы коровой
l = скорость, с которой лама ест траву
s = скорость поедания травы овцами
g = скорость роста травы

По истечении определенного периода времени количество потребленной травы должно равняться первоначальному количеству травы плюс количество травы, выращенной за это время. Таким образом...

(1) 21*(c+l) = 1 + 21g
(2) 42*(l+s) = 1+42g
(3) 28*(s+c) = 1+28g

Где цифра 1 обозначает одно травяное поле.

Нам также дано:

(4) c=s+l

Сначала подставим уравнение (4) в (2):

(5) 42c = 1 + 42g

Выразите это через g:

(6) g = (42c-1)/42

Далее подставим уравнение (6) в (1)...

(7) 21(c+l) = 1 + 21*(42c-1)/42

После несложных алгебраических вычислений получаем...

(8) л = 1/42.

Далее подставим уравнение (4) в (3)...

(9) 28*(2s + l) = 1+28g

Мы знаем, что l=1/42, поэтому...

28*(2s + 1/42) = 1+28g
56с + 28/42 = 1 + 28г
2352 г + 28 = 42 + 1176 г
(10) г = (2352с - 14)/1176

Далее подставим уравнения (8) и (10) в (2) ...

42*(1/42 + s) = 1 + 42*(2352s - 14)/1176

После несложных алгебраических преобразований получаем:

(11) s = 14/1176 = 1/84

Из уравнения (4)

(12) c = (1/84) + (1/42) = 3/84 = 1/28

Таким образом, если бы трава не росла, корове потребовалось бы 28 дней, чтобы съесть всё поле, ламе — 42, а овце — 84.

Далее решим уравнение относительно g. Подставим (11) в (10):

g = [2352*(1/84)- 14]/1176
(13) г = 14/1176 = 1/84.

По совпадению, скорость поедания травы овцами совпадает с той, с которой они это делают.

Пусть t — окончательный ответ. Мы знаем, что за t дней количество съеденной травы должно равняться количеству травы на поле (1) плюс траве, выращенной за это время. Итак...

(13) t*(s+l+c) = 1 + tg

Решение задачи...

t*[(1/84) + (1/42) + (1/28)] = 1 + t/84
t = 1/[(1/84) + (1/42) + (1/28) - (1/84)]
(14) t = 84/5 = 16,8 дней = 16 дней, 19 часов, 12 минут

[/spoiler]

Этот вопрос был поднят и обсуждался на моём форуме, посвящённом Wizard of Vegas.

Каково среднее расстояние между двумя случайными точками в единичном квадрате?

анонимный

Для такого простого вопроса решение оказывается довольно сложным. В моем случае вам потребуется знать этот интеграл .

Вот ответ и моё решение (PDF) .

В какой математической задаче на доске был описан момент в фильме «Умница Уилл Хантинг» ?

анонимный

На самом деле это было довольно легко, особенно для курса комбинаторной математики в Массачусетском технологическом институте. Вот формулировка задачи:

«Нарисуйте все гомеоморфно неприводимые деревья размера n=10».

Вот моя попытка изложить это простым и понятным языком.

Используя только прямые линии, нарисуйте все фигуры, где сумма точек пересечения и тупиков равна 10. Замкнутых петель быть не должно. Также не должно быть двух эквивалентных фигур. От любой точки пересечения должно отходить не менее трех путей.

Что я имею в виду под словом «эквивалентный», спросите вы? Это значит, что вы можете перемещать фигуры, оставляя места пересечения нетронутыми, как вам угодно, и это не создаст никаких новых фигур.

Вот пример:

Дам вам подсказку. В отличие от ответа в фильме, их десять. Уилл угадал только восемь. Попробуйте сравняться или превзойти ответ Уилла Хантинга.

[спойлер]

Я объясняю логику решения всех десяти задач на своем сайте MathProblems.info , задача 220.

Дополнительная информация:

Математика в фильме «Умница Уилл Хантинг II»: задачи с точки зрения студентов — научная статья по данной проблеме.
Математическая задача из романа «Умница Уилл Хантинг» — обсуждение задачи на моём форуме.

Рассмотрим игру со следующими правилами:

Генератор случайных чисел выдает случайные числа от 0 до 1, равномерно распределенные по всему диапазону.
У каждого из двух игроков свой номер. Каждый игрок видит только свой номер.
Игрок 1 может сохранить свой первоначальный номер или заменить его новым случайным числом.
Игрок 2, зная о действиях игрока 1, имеет тот же выбор: сохранить свой первоначальный номер или обменять его на новый.
Побеждает игрок, у которого большее число.

У меня четыре вопроса по игре:

Ответьте на следующие вопросы об игре:
При каком числе игрок 1 становится безразличен к тому, встать ли ему и поменяться местами?
Предположим, игрок 1 меняет ход. При каком количестве ходов игрок 2 должен быть безразличен к тому, встать ли ему и поменяться ходами?
Предположим, игрок 1 стоит. При каком числе игрок 2 должен быть безразличен к тому, встанет ли он и поменяется ли местами?
Предполагая оптимальную стратегию обоих игроков, какова вероятность победы игрока 1?

анонимный

Ответ и решение можно найти на моей странице с математическими задачами , задача 225.

Я участвую в «пуле прогнозов на 2018 год». Вот правила:

Каждый участник должен предоставить список из десяти ныне живущих знаменитостей в возрасте до 100 лет.
Если в 2018 году умрет какая-либо знаменитость, как это подтверждает Associated Press, то любой, чье имя есть в списке, получит 100-x баллов, где x — возраст на момент смерти.
Побеждает игрок, набравший наибольшее количество очков по состоянию на 1 января 2019 года.

Исходя из средних значений, какая стратегия является оптимальной для этой игры?

анонимный

Как бывший актуарий, вы обратились к нужному человеку. Надеюсь, Общество актуариев не сочтет мой ответ злоупотреблением профессией. Тем не менее, чтобы ответить на ваш вопрос, я обратился к таблице продолжительности жизни за 2014 год из моего бывшего места работы, Управления главного актуария Управления социального обеспечения.

Таблица продолжительности жизни показывает, помимо прочего, вероятность смерти для человека любого возраста и пола в 2014 году. Используя эту информацию, я создал следующую таблицу, которая показывает как вероятность смерти, так и ожидаемые значения для всех возрастов от 0 до 100 лет и обоих полов.

Таблица продолжительности жизни за 2014 год. Фонд страхования от смерти.

Возраст	Вероятность Смерть — Мужская	Вероятность Смерть — Женщина	Ожидал Баллы — Мужской	Ожидал Баллы — Женщина
0	0.006320	0.005310	0.632000	0.531000
1	0.000403	0.000352	0.039852	0.034835
2	0.000282	0.000221	0.027626	0.021683
3	0.000211	0.000161	0.020514	0.015612
4	0.000181	0.000131	0.017405	0.012556
5	0.000161	0.000111	0.015313	0.010515
6	0.000141	0.000111	0.013260	0.010405
7	0.000131	0.000101	0.012184	0.009360
8	0.000121	0.000091	0.011127	0.008334
9	0.000091	0.000081	0.008256	0.007328
10	0.000101	0.000091	0.009073	0.008154
11	0.000101	0.000081	0.008973	0.007168
12	0.000131	0.000101	0.011535	0.008861
13	0.000202	0.000131	0.017547	0.011389
14	0.000303	0.000151	0.026023	0.012992
15	0.000404	0.000191	0.034304	0.016267
16	0.000505	0.000232	0.042393	0.019464
17	0.000616	0.000272	0.051129	0.022582
18	0.000748	0.000302	0.061316	0.024796
19	0.000880	0.000343	0.071262	0.027768
20	0.001022	0.000373	0.081780	0.029855
21	0.001145	0.000404	0.090445	0.031884
22	0.001258	0.000444	0.098105	0.034643
23	0.001310	0.000475	0.100880	0.036546
24	0.001332	0.000495	0.101246	0.037625
25	0.001344	0.000526	0.100811	0.039422
26	0.001377	0.000556	0.101864	0.041162
27	0.001389	0.000577	0.101371	0.042106
28	0.001421	0.000608	0.102330	0.043740
29	0,001454	0.000648	0.103234	0.046036
30	0.001507	0.000669	0.105517	0.046837
31	0.001530	0.000710	0.105584	0.048998
32	0.001574	0.000751	0.107011	0.051084
33	0.001617	0.000813	0.108364	0.054454
34	0.001661	0.000864	0.109644	0.057041
35	0.001716	0.000926	0.111521	0.060194
36	0.001781	0.001008	0.113970	0.064538
37	0.001857	0.001081	0.116963	0.068090
38	0.001933	0.001164	0.119830	0.072145
39	0.002020	0.001237	0.123207	0.075427
40	0.002118	0.001340	0.127066	0.080422
41	0.002258	0.001445	0.133232	0.085232
42	0.002410	0.001560	0.139778	0.090455
43	0.002615	0.001696	0.149075	0.096649
44	0.002843	0.001853	0.159228	0.103761
45	0.003105	0.002011	0.170771	0.110606
46	0.003401	0.002191	0.183635	0.118300
47	0.003742	0.002403	0.198314	0.127342
48	0.004108	0.002647	0.213613	0.137656
49	0.004532	0.002894	0.231133	0.147577
50	0.004994	0.003194	0.249696	0.159718
51	0.005473	0.003487	0.268191	0.170880
52	0.005993	0.003794	0.287656	0.182103
53	0.006565	0.004104	0.308561	0.192871
54	0.007159	0.004428	0.329324	0.203676
55	0.007799	0.004767	0.350946	0.214498
56	0.008475	0.005153	0.372902	0.226729
57	0.009179	0.005534	0.394696	0.237972
58	0.009856	0.005889	0.413944	0.247347
59	0.010575	0.006272	0.433558	0.257150
60	0.011350	0.006683	0.453991	0.267338
61	0.012209	0.007180	0.476135	0.280016
62	0.013061	0.007720	0.496330	0.293355
63	0.013921	0.008339	0.515084	0.308537
64	0.014814	0.009029	0.533320	0.325041
65	0.015831	0.009839	0.554094	0.344371
66	0.016981	0.010741	0.577354	0.365197
67	0.018300	0.011752	0.603909	0.387812
68	0.019778	0.012879	0.632894	0.412117
69	0.021443	0.014142	0.664734	0.438397
70	0.023384	0.015613	0.701513	0.468376
71	0.025547	0.017271	0.740873	0.500852
72	0.027877	0.019047	0.780560	0.533320
73	0.030384	0.020918	0.820374	0.564797
74	0.033098	0.022938	0.860535	0.596385
75	0.036256	0.025299	0.906400	0.632465
76	0.039868	0.028043	0.956841	0.673035
77	0.043883	0.031127	1.009299	0.715914
78	0.048257	0.034590	1.061657	0.760984
79	0.053128	0.038456	1.115692	0.807583
80	0.058709	0.043007	1.174177	0.860145
81	0.065070	0.048186	1.236322	0.915536
82	0.072149	0.053762	1.298691	0.967712
83	0.079906	0.059769	1.358409	1.016065
84	0.088524	0.066380	1.416378	1.062085
85	0.098157	0.073823	1.472348	1.107351
86	0.108904	0.082381	1.524651	1.153334
87	0.120889	0.092180	1.571556	1.198344
88	0.134134	0.103305	1.609607	1.239664
89	0.148707	0.115744	1.635778	1.273180
90	0.164522	0.129477	1.645220	1.294772
91	0.181584	0.144435	1.634254	1.299911
92	0.199903	0.160621	1.599225	1.284970
93	0.219362	0.177816	1.535534	1.244713
94	0.239881	0.196194	1.439286	1.177165
95	0.260293	0.214694	1.301463	1.073469
96	0.280129	0.233056	1.120515	0.932225
97	0.299042	0.251152	0.897125	0.753456
98	0.316317	0.268235	0.632634	0.536471
99	0.332667	0.284442	0.332667	0.284442
100	0.348651	0.301417	0.000000	0.000000

В таблице показано, что максимальное ожидаемое количество баллов для 90-летнего мужчины составляет 1,645220.

Этот вопрос поднимается и обсуждается на моем форуме, не посвященном азартным играм, Diversity Tomorrow .

Если вы хотите поместить 355 миллилитров жидкости в банку, какими должны быть её размеры, чтобы минимизировать площадь поверхности?

анонимный

Хороший вопрос! Я как раз об этом думала, когда увидела на игровой выставке узкие банки из-под газировки, вмещающие обычные 355 миллилитров, как и стандартный размер. Наверняка оба варианта неверны (и не называйте меня Ширли). [спойлер] Пусть:
r = радиус банки
h = высота банки
v = объем банки
s = площадь поверхности банки

Из простой геометрии известно, что площадь поверхности равна 2πr² + 2πrh.

Аналогично, нам также известно, что объем равен π*r²*h, что, как нам дано, равно 355.

Итак, 355 = π * r² * h.

Давайте переставим это следующим образом:

(1) h = 355/(pi*r^2)

Мы знаем:

(2) s = 2*pi*r^2 + 2*pi*r*h.

Давайте преобразуем это в функцию только одной переменной, подставив наше выражение для h из уравнения (1) в (2):

s = 2*pi*r^2 + + 2*pi*r*(355/(pi*r^2))) = 2*pi*r^2 + 710/r.

Возьмём производную от s и приравняем её к нулю, чтобы найти оптимальное значение r.

ds/dr = 4*pi*r - 710/(r^2) = 0

4*pi*r = 710/(r^2)

Умножим обе стороны на r²:

4*pi*r^3 = 710

r^3 = 177,5/pi.

г = (177,5/пи)^(1/3) = 3,837215248.

Подставьте это значение в уравнение (1), чтобы получить h = 7,674430496.

Этот вопрос поднимается и обсуждается на моём форуме в Wizard of Vegas .

Мне кажется, большинство знакомых мне профессионалов в сфере азартных игр предпочитают знать волатильность игры в виде дисперсии, а не стандартного отклонения. Конечно, первое — это просто квадрат второго. Однако я предпочитаю стандартное отклонение, поскольку оно выражается в тех же единицах, что и ставка и выигрыш/проигрыш. Возможно, им больше нравится большее число, чтобы подчеркнуть большую волатильность? Каково ваше мнение — есть ли среди игроков предпочтение использованию «дисперсии», и если да, то почему?

Gary J. Koehler

Я согласен, что чаще говорят о дисперсии игры, чем о её стандартном отклонении, что меня всегда немного раздражало. Причина, по которой, на мой взгляд, игрокам следует обращать внимание на волатильность игры, заключается в том, чтобы связать выигрыш или проигрыш с вероятностью на протяжении игровой сессии. Например, что будет считаться 1% проигрыша после 200 раздач блэкджека? Для ответа на этот вопрос используется стандартное отклонение блэкджека, которое составляет примерно 1,15, в зависимости от правил.

Конкретный ответ на этот вопрос: 1,15 × 200^0,5 × -2,32635 (это точка 1% на кривой Гаусса) = -37,83 единиц ниже ожидаемого значения. Не забывайте, что из-за преимущества казино вы можете ожидать потерь. Если предположить, что преимущество казино составляет 0,3%, то после 200 раздач вы можете ожидать потерь в размере 0,003 * 200 = 0,6 раздач. Таким образом, потери при 1% потерь составят 0,6 + 37,83 = 38,43 раздач.

Я слышал, что вероятность развода в браке, обычно оцениваемая в 50% в США, рассчитывается как отношение числа разводов к числу браков за тот же период времени. Это правда? Считаете ли вы, что это справедливый способ расчета статистики? Я сомневаюсь, потому что вы рассматриваете разводы за короткий период времени по сравнению с браками, заключенными за длительный период.

Gialmere

Если бы численность населения и возрастное распределение были стабильными, то при условии, что вероятность развода действительно составляла 50%, то при большом размере выборки мы ожидали бы увидеть соотношение одного развода к двум бракам в любой заданный период времени.

Однако численность населения нестабильна. Судя по этому графику, население США растет на 10,71% за десятилетие. Это составляет 1,02% в год. Давайте для простоты примем за 1%.

Источник карты: Бюро переписи населения США.

Согласно данным сайта fatherly.com , средняя продолжительность неудачного брака составляет 8 лет.

Если в настоящее время соотношение разводов и браков составляет 1 к 2, какова будет средняя вероятность того, что любой данный брак закончится разводом?

Сейчас мы наблюдаем разводы среди супругов, состоявших в браке 8 лет назад, когда численность населения составляла 92,35% от нынешней. Простые расчеты показывают, что реальная вероятность развода составляет 54,14%.

Давайте это проверим.

Во-первых, по данным CDC, на 1000 человек населения приходится 6,9 браков в год. Эта цифра не имеет отношения к рассматриваемому вопросу, но, я думаю, помогает понять масштаб проблемы.

Предположим, что 8 лет назад население составляло 300 000 000 человек. Это означало бы 0,69% * 300 миллионов = 2 070 000 браков в том году.

Если через восемь лет 54,14% из них заканчиваются разводом, то в настоящее время мы будем наблюдать 2 070 000 * 54,14% = 1 120 698 разводов.

1 120 698 / 2 070 000 = 50% наблюдаемое соотношение разводов к бракам в настоящее время.

Чтобы никто не сказал обратного, да, я знаю, что не все разводы заканчиваются ровно через восемь лет. Однако, учитывая все обстоятельства, я считаю, что итоговый показатель разводов будет не сильно отличаться от моего реального показателя в 54,14%.

Этот вопрос поднимается и обсуждается на моём форуме в Wizard of Vegas .

В вашем офисе, где работают 100 сотрудников, проводится обмен подарками в рамках игры «Тайный Санта». Для этого нужно написать имена всех участников на отдельных листочках бумаги, положить их в шляпу, и каждый случайным образом вытягивает имя, которому дарит подарок.

Вопрос в том, сколько в среднем будет замкнутых циклов? Например, в одном замкнутом цикле Гордон дает деньги Дону, тот дает деньги Джону, тот дает деньги Натану, тот дает деньги Гордону. Или вот пример розыгрыша собственного имени.

анонимный

Предположим, каждый выбирает по одному варианту за раз. В процессе выбора каждого участника будут возникать две ситуации:

Имя того, кто выбирает, уже выбрано.
Имя того, кто выбирает, всё ещё находится в списке имён.

Допустим, для любого выбранного участника осталось n человек, которым нужно выбрать.

Если имя того, кто выбирает, уже выбрано, существует вероятность 1/n, что он выберет имя, замыкая цикл, связанный с его именем. Например, предположим, что Эми выбирает. Имя Эми уже занято Бобом, имя Боба уже занято Чарли, а имя Чарли все еще находится в корзине. При наличии n имен в корзине существует вероятность 1/n, что Эми выберет имя Чарли, замыкая цикл.

Если имя того, кто выбирает, еще не выбрано, существует вероятность 1/n, что Эми выберет свое собственное имя, замкнув цикл.

В любом случае, если сборщик не замыкает цепочку, он присоединяется к части другой цепочки, которая в конечном итоге будет замкнута кем-то другим. Каждую цепочку следует учитывать только один раз, когда она замыкается.

Таким образом, ответ равен 1/100 + 1/99 + 1/98 + ... + 1/1 ≈ 5,187377518.

Для любого достаточно большого числа игроков n оценка равна ln(n).

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме Wizard of Vegas .

В честь выпуска № 314 рубрики «Спроси волшебника»: какие ваши любимые бесконечные ряды, сумма которых равна некоторой функции от числа пи?

Heather

Выбрать этих двоих несложно, поскольку они, пожалуй, самые известные:

1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – 1/11 + ... = π/4
1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ... = π^2/6

Я слышал, что при наличии 23 случайных человек вероятность того, что хотя бы один день рождения совпадает с днем рождения двух или более человек, превышает 50%? Это правда? Какова вероятность совпадения дня рождения для других размеров групп? Тот же вопрос также касается совпадения дня рождения у 3, 4 и 5 человек.

анонимный

Это правда: при выборе 23 случайных человек вероятность того, что хотя бы у одной пары людей будет общий день рождения, составляет 50,73%. При этом не учитывается високосный день, и предполагается, что у всех равные шансы родиться в любой из остальных 365 дней (что на самом деле не так, дни рождения весной и осенью встречаются немного чаще).

Таблицы в ответе на ваш вопрос довольно длинные, поэтому я помещу их в спойлер. Нажмите на кнопки, чтобы увидеть ответы.

Общий день рождения для 2 и более человек

Размер группы	Вероятность
2	0.002740
3	0.008204
4	0.016356
5	0.027136
6	0.040462
7	0.056236
8	0.074335
9	0.094624
10	0.116948
11	0.141141
12	0.167025
13	0.194410
14	0.223103
15	0.252901
16	0.283604
17	0.315008
18	0.346911
19	0.379119
20	0.411438
21	0.443688
22	0.475695
23	0.507297
24	0.538344
25	0.568700
26	0.598241
27	0.626859
28	0.654461
29	0.680969
30	0.706316
31	0.730455
32	0.753348
33	0.774972
34	0.795317
35	0.814383
36	0.832182
37	0.848734
38	0.864068
39	0.878220
40	0.891232
41	0.903152
42	0.914030
43	0.923923
44	0.932885
45	0.940976
46	0.948253
47	0.954774
48	0.960598
49	0.965780
50	0.970374
51	0.974432
52	0.978005
53	0.981138
54	0.983877
55	0.986262
56	0.988332
57	0.990122
58	0.991665
59	0.992989
60	0.994123
61	0.995089
62	0.995910
63	0.996604
64	0.997190
65	0.997683
66	0.998096
67	0.998440
68	0.998726
69	0.998964
70	0.999160
71	0.999321
72	0.999453
73	0.999561
74	0.999649
75	0.999720
76	0.999777
77	0.999824
78	0.999861
79	0.999891
80	0.999914
81	0.999933
82	0.999948
83	0.999960
84	0.999969

Общий день рождения для 3 и более человек

Размер группы	Вероятность
3	0.000008
4	0.000030
5	0.000075
6	0.000149
7	0.000261
8	0.000416
9	0.000623
10	0.000888
11	0.001218
12	0.001621
13	0.002102
14	0.002670
15	0.003329
16	0.004088
17	0.004953
18	0.005929
19	0.007024
20	0.008243
21	0.009592
22	0.011078
23	0.012705
24	0.014481
25	0.016409
26	0.018497
27	0.020747
28	0.023167
29	0.025760
30	0.028531
31	0.031484
32	0.034624
33	0.037954
34	0.041479
35	0.045202
36	0.049126
37	0,053254
38	0.057589
39	0.062133
40	0.066889
41	0.071859
42	0.077044
43	0.082446
44	0.088065
45	0.093903
46	0.099960
47	0.106236
48	0.112731
49	0.119444
50	0.126375
51	0.133522
52	0.140885
53	0.148460
54	0.156246
55	0.164241
56	0.172441
57	0.180844
58	0.189445
59	0.198242
60	0.207230
61	0.216405
62	0.225761
63	0.235294
64	0.244999
65	0.254869
66	0.264899
67	0.275082
68	0.285413
69	0.295883
70	0.306487
71	0.317217
72	0.328066
73	0.339026
74	0.350088
75	0.361246
76	0.372491
77	0.383814
78	0.395207
79	0.406662
80	0.418169
81	0.429720
82	0.441307
83	0.452920
84	0.464550
85	0.476188
86	0.487826
87	0.499455
88	0.511065
89	0.522648
90	0.534196
91	0.545698
92	0.557148
93	0.568537
94	0.579855
95	0.591096
96	0.602252
97	0.613314
98	0.624275
99	0.635127
100	0.645865
101	0.656480
102	0.666967
103	0.677318
104	0.687529
105	0.697593
106	0.707505
107	0.717260
108	0.726853
109	0.736279
110	0.745536
111	0.754619
112	0.763525
113	0.772251
114	0.780795
115	0.789155
116	0.797330
117	0.805319
118	0.813121
119	0.820580
120	0.827964
121	0.835152
122	0.842144
123	0.848940
124	0.855540
125	0.861945
126	0.868155
127	0.874172
128	0.879996
129	0.885631
130	0.891076
131	0.896335
132	0.901409
133	0.906302
134	0.911015
135	0.915552
136	0.919915
137	0.924108
138	0.928135
139	0.931997
140	0.935700
141	0.939246
142	0.942640
143	0.945885
144	0.948985
145	0.951944
146	0.954766
147	0.957456
148	0.960016
149	0.962452
150	0.964767
151	0.966965
152	0.969050
153	0.971028
154	0.972900
155	0.974672
156	0.976347
157	0.977930
158	0.979423
159	0.980831
160	0.982158
161	0.983407
162	0.984581
163	0.985684
164	0.986719
165	0.987690
166	0.988600
167	0.989452
168	0.990248
169	0.990992
170	0.991687
171	0.992335
172	0.992938
173	0.993500
174	0.994022
175	0.994508
176	0.994958
177	0.995376
178	0.995763
179	0.996121
180	0.996452
181	0.996758
182	0.997040
183	0.997300
184	0.997540
185	0.997760
186	0.997963
187	0.998149
188	0.998319
189	0.998476
190	0.998619
191	0.998750
192	0.998869
193	0.998979
194	0.999078
195	0.999169
196	0.999251
197	0.999326
198	0.999394
199	0.999456
200	0.999512
201	0.999562
202	0.999608
203	0.999650
204	0.999687
205	0.999720
206	0.999751
207	0.999778
208	0.999802
209	0.999824
210	0.999844
211	0.999862
212	0.999877
213	0.999891
214	0.999904
215	0.999915
216	0.999925
217	0.999934
218	0.999942
219	0.999949
220	0.999955
221	0.999961
222	0.999966
223	0.999970
224	0.999974
225	0.999977
226	0.999980
227	0.999982
228	0.999985
229	0.999987
230	0.999988
231	0.999990
232	0.999991
233	0.999992
234	0.999994
235	0.999994
236	0.999995
237	0.999996
238	0.999996
239	0.999997
240	0.999997
241	0.999998
242	0.999998
243	0.999998
244	0.999999

Общий день рождения для 4 и более человек

Размер группы	Вероятность
4	0.000000
5	0.000000
6	0.000000
7	0.000001
8	0.000001
9	0.000003
10	0.000004
11	0.000007
12	0.000010
13	0.000014
14	0.000020
15	0.000027
16	0.000036
17	0.000048
18	0.000061
19	0.000077
20	0.000096
21	0.000119
22	0.000145
23	0,000175
24	0.000209
25	0.000248
26	0.000293
27	0.000343
28	0.000399
29	0.000462
30	0.000532
31	0.000610
32	0.000695
33	0.000790
34	0.000893
35	0.001006
36	0.001129
37	0.001263
38	0.001408
39	0.001566
40	0.001736
41	0.001919
42	0.002116
43	0.002328
44	0.002555
45	0.002798
46	0.003058
47	0.003334
48	0.003629
49	0.003943
50	0.004276
51	0.004629
52	0.005003
53	0.005399
54	0.005817
55	0,006258
56	0.006724
57	0.007214
58	0.007730
59	0.008272
60	0.008841
61	0.009439
62	0.010065
63	0.010721
64	0.011408
65	0.012126
66	0.012876
67	0.013659
68	0.014476
69	0.015327
70	0.016215
71	0.017139
72	0.018100
73	0.019099
74	0.020137
75	0.021215
76	0.022334
77	0.023495
78	0.024698
79	0.025944
80	0.027235
81	0.028570
82	0.029951
83	0.031379
84	0.032855
85	0.034379
86	0.035952
87	0.037575
88	0.039249
89	0.040974
90	0.042752
91	0.044583
92	0.046467
93	0.048407
94	0.050402
95	0.052453
96	0.054561
97	0.056726
98	0.058950
99	0.061233
100	0.063576
101	0.065978
102	0.068442
103	0.070967
104	0.073554
105	0.076204
106	0.078917
107	0.081694
108	0.084535
109	0.087441
110	0.090412
111	0.093449
112	0.096552
113	0.099722
114	0.102958
115	0.106262
116	0.109633
117	0.113072
118	0.116579
119	0.120154
120	0.123798
121	0.127510
122	0.131292
123	0.135142
124	0.139061
125	0.143050
126	0.147107
127	0.151234
128	0.155429
129	0.159694
130	0.164027
131	0.168429
132	0.172899
133	0.177438
134	0.182044
135	0.186719
136	0.191460
137	0.196269
138	0.201144
139	0.206085
140	0.211091
141	0.216163
142	0.221299
143	0.226499
144	0.231763
145	0.237089
146	0.242476
147	0.247925
148	0.253434
149	0.259002
150	0.264629
151	0.270314
152	0.276055
153	0.281852
154	0.287703
155	0.293608
156	0.299566
157	0.305575
158	0.311634
159	0.317741
160	0.323897
161	0.330099
162	0.336346
163	0.342637
164	0.348970
165	0.355343
166	0.361757
167	0.368208
168	0.374696
169	0.381218
170	0.387774
171	0.394362
172	0.400980
173	0.407626
174	0.414299
175	0.420997
176	0.427718
177	0.434462
178	0.441224
179	0.448005
180	0.454803
181	0.461615
182	0.468439
183	0.475274
184	0.482118
185	0.488969
186	0.495826
187	0.502685
188	0.509546
189	0.516407
190	0.523265
191	0.530119
192	0.536967
193	0.543807
194	0.550636
195	0.557454
196	0.564258
197	0.571046
198	0.577817
199	0.584568
200	0.591298
201	0.598005
202	0.604687
203	0.611342
204	0.617969
205	0.624565
206	0.631129
207	0.637659
208	0.644154
209	0.650611
210	0.657030
211	0.663407
212	0.669743
213	0.676035
214	0.682281
215	0.688481
216	0.694632
217	0.700734
218	0.706784
219	0.712782
220	0.718726
221	0.724614
222	0.730446
223	0.736220
224	0.741936
225	0.747591
226	0.753185
227	0.758717
228	0.764185
229	0.769590
230	0.774929
231	0.780202
232	0.785409
233	0.790547
234	0.795618
235	0.800619
236	0.805551
237	0.810412
238	0.815202
239	0.819921
240	0.824569
241	0.829144
242	0.833646
243	0.838076
244	0.842432
245	0.846716
246	0.850925
247	0.855061
248	0.859123
249	0.863112
250	0.867027
251	0.870868
252	0.874635
253	0.878329
254	0.881950
255	0.885498
256	0.888973
257	0.892375
258	0.895705
259	0.898964
260	0.902151
261	0.905268
262	0.908314
263	0.911290
264	0.914197
265	0.917036
266	0.919806
267	0.922509
268	0.925145
269	0.927715
270	0.930220
271	0.932661
272	0.935037
273	0.937351
274	0.939603
275	0.941793
276	0.943923
277	0.945993
278	0.948005
279	0.949960
280	0.951857
281	0.953699
282	0.955486
283	0.957218
284	0.958898
285	0.960527
286	0.962104
287	0.963631
288	0.965109
289	0.966540
290	0.967923
291	0.969260
292	0.970553
293	0.971802
294	0.973007
295	0.974171
296	0.975294
297	0.976377
298	0.977421
299	0.978427
300	0.979397
301	0.980330
302	0.981228
303	0.982092
304	0.982923
305	0.983722
306	0.984490
307	0.985227
308	0.985935
309	0.986614
310	0.987266
311	0.987890
312	0.988489
313	0.989063
314	0.989612
315	0.990138
316	0.990641
317	0.991122
318	0.991581
319	0.992021
320	0.992440
321	0.992841
322	0.993223
323	0.993587
324	0.993935
325	0.994266
326	0.994581
327	0.994882
328	0.995167
329	0.995439
330	0.995698
331	0.995943
332	0.996176
333	0.996398
334	0.996608
335	0.996807
336	0.996996
337	0.997175
338	0.997344
339	0.997505
340	0.997657
341	0.997801
342	0.997936
343	0.998065
344	0.998186
345	0.998300
346	0.998408
347	0.998510
348	0.998606
349	0.998696
350	0.998781
351	0.998861
352	0.998937
353	0.999008
354	0.999074
355	0.999137
356	0.999195
357	0.999250
358	0.999302
359	0.999350
360	0.999396
361	0.999438
362	0.999478
363	0.999515
364	0.999550
365	0.999582
366	0.999613
367	0.999641
368	0.999668
369	0.999692
370	0.999715
371	0.999736
372	0.999756
373	0.999775
374	0.999792
375	0.999808
376	0.999823
377	0.999837
378	0.999850
379	0.999861
380	0.999872
381	0.999883
382	0.999892
383	0.999901
384	0.999909
385	0.999916
386	0.999923
387	0.999930
388	0.999935
389	0.999941
390	0.999946
391	0.999950
392	0.999955
393	0.999959
394	0.999962
395	0.999965
396	0.999969
397	0.999971
398	0.999974
399	0.999976
400	0.999978
401	0.999980
402	0.999982
403	0.999984
404	0.999985
405	0.999987
406	0.999988
407	0.999989
408	0.999990
409	0.999991
410	0.999992
411	0.999993
412	0.999993
413	0.999994
414	0.999995
415	0.999995
416	0.999996
417	0.999996
418	0.999996
419	0.999997
420	0.999997
421	0.999997
422	0.999998
423	0.999998
424	0.999998
425	0.999998
426	0.999998
427	0.999999
428	0.999999
429	0.999999

Общий день рождения для 5 и более человек

Размер группы	Вероятность
5	0.000000
6	0.000000
7	0.000000
8	0.000000
9	0.000000
10	0.000000
11	0.000000
12	0.000000
13	0.000000
14	0.000000
15	0.000000
16	0.000000
17	0.000000
18	0.000001
19	0.000001
20	0.000001
21	0.000001
22	0.000002
23	0.000002
24	0.000003
25	0.000004
26	0.000004
27	0.000005
28	0.000006
29	0.000008
30	0.000009
31	0.000011
32	0.000013
33	0.000015
34	0.000017
35	0.000020
36	0.000023
37	0.000026
38	0.000030
39	0.000034
40	0.000039
41	0.000044
42	0.000050
43	0.000056
44	0.000063
45	0.000070
46	0.000079
47	0.000087
48	0.000097
49	0.000108
50	0.000119
51	0.000132
52	0.000145
53	0.000159
54	0,000175
55	0.000192
56	0.000209
57	0.000229
58	0.000249
59	0.000271
60	0.000295
61	0.000320
62	0.000347
63	0.000375
64	0.000406
65	0.000438
66	0.000472
67	0.000509
68	0.000547
69	0.000588
70	0.000631
71	0.000676
72	0.000725
73	0.000775
74	0.000829
75	0.000885
76	0.000944
77	0.001007
78	0.001072
79	0.001141
80	0.001213
81	0.001289
82	0.001369
83	0.001452
84	0.001539
85	0.001630
86	0.001726
87	0.001825
88	0.001930
89	0.002038
90	0.002152
91	0.002270
92	0.002394
93	0.002522
94	0.002656
95	0.002796
96	0.002941
97	0.003092
98	0.003249
99	0.003412
100	0.003581
101	0.003757
102	0.003939
103	0,004128
104	0.004325
105	0.004528
106	0.004739
107	0.004957
108	0.005183
109	0.005417
110	0.005659
111	0.005909
112	0.006168
113	0.006436
114	0.006712
115	0.006998
116	0.007293
117	0.007597
118	0.007912
119	0.008236
120	0.008570
121	0.008915
122	0.009270
123	0.009636
124	0.010013
125	0.010402
126	0.010801
127	0.011213
128	0.011637
129	0.012072
130	0.012521
131	0.012981
132	0.013455
133	0.013942
134	0.014442
135	0.014956
136	0.015484
137	0.016026
138	0.016582
139	0.017153
140	0.017739
141	0.018340
142	0.018956
143	0.019588
144	0.020235
145	0.020899
146	0.021580
147	0.022277
148	0.022991
149	0.023722
150	0.024470
151	0.025237
152	0.026021
153	0.026824
154	0.027645
155	0.028485
156	0.029344
157	0.030222
158	0.031120
159	0.032037
160	0.032975
161	0.033934
162	0.034913
163	0.035912
164	0.036934
165	0.037976
166	0.039040
167	0.040127
168	0.041235
169	0.042367
170	0.043521
171	0.044698
172	0.045898
173	0.047122
174	0.048370
175	0.049642
176	0.050939
177	0.052260
178	0.053606
179	0.054977
180	0.056374
181	0.057796
182	0.059245
183	0.060719
184	0.062220
185	0.063748
186	0.065302
187	0.066884
188	0.068493
189	0.070130
190	0.071795
191	0.073487
192	0.075209
193	0.076958
194	0.078737
195	0.080544
196	0.082381
197	0.084247
198	0.086143
199	0.088068
200	0.090024
201	0.092009
202	0.094026
203	0.096072
204	0.098150
205	0.100259
206	0.102398
207	0.104569
208	0.106772
209	0.109006
210	0.111272
211	0.113570
212	0.115899
213	0.118262
214	0.120656
215	0.123083
216	0.125542
217	0.128035
218	0.130559
219	0.133117
220	0.135708
221	0.138332
222	0.140989
223	0.143679
224	0.146403
225	0.149160
226	0.151950
227	0.154774
228	0.157632
229	0.160522
230	0.163447
231	0.166405
232	0.169396
233	0.172421
234	0.175480
235	0.178572
236	0.181698
237	0.184857
238	0.188049
239	0.191275
240	0.194534
241	0.197827
242	0.201152
243	0.204511
244	0.207902
245	0.211327
246	0.214784
247	0.218274
248	0.221796
249	0.225351
250	0.228937
251	0.232556
252	0.236207
253	0.239889
254	0.243603
255	0.247348
256	0.251124
257	0.254931
258	0.258768
259	0.262636
260	0.266534
261	0.270462
262	0.274419
263	0.278406
264	0.282422
265	0.286466
266	0.290539
267	0.294639
268	0.298768
269	0.302924
270	0.307106
271	0.311316
272	0.315551
273	0.319813
274	0.324100
275	0.328412
276	0.332749
277	0.337110
278	0.341495
279	0.345903
280	0.350334
281	0.354788
282	0.359264
283	0.363761
284	0.368279
285	0.372818
286	0.377376
287	0.381955
288	0.386552
289	0.391167
290	0.395801
291	0.400452
292	0.405119
293	0.409803
294	0.414503
295	0.419217
296	0.423946
297	0.428689
298	0.433445
299	0.438214
300	0.442995
301	0.447787
302	0.452590
303	0.457403
304	0.462226
305	0.467057
306	0.471897
307	0.476744
308	0.481599
309	0.486459
310	0.491325
311	0.496196
312	0.501070
313	0.505949
314	0.510830
315	0.515713
316	0.520598
317	0.525483
318	0.530369
319	0.535253
320	0.540137
321	0.545018
322	0.549896
323	0.554771
324	0.559642
325	0.564507
326	0.569367
327	0.574221
328	0.579067
329	0.583906
330	0.588736
331	0.593557
332	0.598368
333	0.603169
334	0.607958
335	0.612735
336	0.617500
337	0.622251
338	0.626988
339	0.631710
340	0.636417
341	0.641107
342	0.645781
343	0.650437
344	0.655075
345	0.659695
346	0.664295
347	0.668875
348	0.673434
349	0.677972
350	0.682488
351	0.686981
352	0.691451
353	0.695897
354	0.700319
355	0.704716
356	0.709088
357	0.713433
358	0.717752
359	0.722043
360	0.726307
361	0.730543
362	0.734750
363	0.738927
364	0.743075
365	0.747193
366	0.751279
367	0.755335
368	0.759359
369	0.763351
370	0.767310
371	0.771237
372	0.775130
373	0.778990
374	0.782815
375	0.786606
376	0.790363
377	0.794084
378	0.797770
379	0.801420
380	0.805034
381	0.808611
382	0.812152
383	0.815656
384	0.819123
385	0.822553
386	0.825945
387	0.829300
388	0.832616
389	0.835895
390	0.839135
391	0.842336
392	0.845499
393	0.848624
394	0.851709
395	0.854756
396	0.857764
397	0.860733
398	0.863663
399	0.866553
400	0.869405
401	0.872217
402	0.874990
403	0.877724
404	0.880419
405	0.883075
406	0.885692
407	0.888269
408	0.890808
409	0.893309
410	0.895770
411	0.898193
412	0.900578
413	0.902924
414	0.905232
415	0.907502
416	0.909734
417	0.911929
418	0.914086
419	0.916205
420	0.918288
421	0.920334
422	0.922344
423	0.924317
424	0.926254
425	0.928155
426	0.930020
427	0.931851
428	0.933646
429	0.935406
430	0.937133
431	0.938825
432	0.940483
433	0.942108
434	0.943699
435	0.945258
436	0.946785
437	0.948279
438	0.949741
439	0.951173
440	0.952573
441	0.953942
442	0.955281
443	0.956590
444	0.957870
445	0.959120
446	0.960342
447	0.961535
448	0.962701
449	0.963838
450	0.964949
451	0.966032
452	0.967090
453	0.968121
454	0.969127
455	0.970107
456	0.971063
457	0.971994
458	0.972902
459	0.973785
460	0.974646
461	0.975484
462	0.976299
463	0.977093
464	0.977865
465	0.978616
466	0.979346
467	0.980056
468	0.980746
469	0.981416
470	0.982067
471	0.982699
472	0.983313
473	0.983909
474	0.984488
475	0.985049
476	0.985593
477	0.986121
478	0.986633
479	0.987128
480	0.987609
481	0.988074
482	0.988525
483	0.988962
484	0.989384
485	0.989793
486	0.990189
487	0.990571
488	0.990941
489	0.991299
490	0.991644
491	0.991978
492	0.992301
493	0.992612
494	0.992913
495	0.993203
496	0.993483
497	0.993753
498	0.994013
499	0.994264
500	0.994506
501	0.994740
502	0.994964
503	0.995180
504	0.995389
505	0.995589
506	0.995782
507	0.995967
508	0.996146
509	0.996317
510	0.996482
511	0.996640
512	0.996793
513	0.996939
514	0.997079
515	0.997213
516	0.997343
517	0.997466
518	0.997585
519	0.997699
520	0.997808
521	0.997913
522	0.998013
523	0.998109
524	0.998200
525	0.998288
526	0.998372
527	0.998452
528	0.998529
529	0.998602
530	0.998673
531	0.998739
532	0.998803
533	0.998864
534	0.998923
535	0.998978
536	0.999031
537	0.999082
538	0.999130
539	0.999176
540	0.999219
541	0.999261
542	0.999301
543	0.999338
544	0.999374
545	0.999408
546	0.999441
547	0.999471
548	0.999501
549	0.999528
550	0.999555
551	0.999580
552	0.999604
553	0.999626
554	0.999648
555	0.999668
556	0.999687
557	0.999705
558	0.999722
559	0.999739
560	0.999754
561	0.999769
562	0.999782
563	0.999795
564	0.999808
565	0.999819
566	0.999830
567	0.999841
568	0.999851
569	0.999860
570	0.999868
571	0.999877
572	0.999884
573	0.999892
574	0.999899
575	0.999905
576	0.999911
577	0.999917
578	0.999922
579	0.999927
580	0.999932
581	0.999936
582	0.999941
583	0.999945
584	0.999948
585	0.999952
586	0.999955
587	0.999958
588	0.999961
589	0.999964
590	0.999966
591	0.999968
592	0.999971
593	0.999973
594	0.999975
595	0.999976
596	0.999978
597	0.999980
598	0.999981
599	0.999982
600	0.999984
601	0.999985
602	0.999986
603	0.999987
604	0.999988
605	0.999989
606	0.999990
607	0.999990
608	0.999991
609	0.999992
610	0.999992
611	0.999993
612	0.999994
613	0.999994
614	0.999994
615	0.999995
616	0.999995
617	0.999996
618	0.999996
619	0.999996
620	0.999997
621	0.999997
622	0.999997
623	0.999997
624	0.999998
625	0.999998
626	0.999998
627	0.999998
628	0.999998
629	0.999998
630	0.999999
631	0.999999
632	0.999999
633	0.999999
634	0.999999

Допустим, у дилера есть фишки всех номиналов, кратных 1 доллару. Вы вносите ставку в размере 10 долларов. Сколькими различными способами дилер может выдать сдачу с этих 10 долларов? А как насчет других сумм ставки?

анонимный

Существует 42 способа, которыми дилер может разложить 10 долларов. Вот они:

10
9,1
8,2
8,1,1
7,3
7,2,1
7,1,1,1
6,4
6,3,1
6,2,2
6,2,1,1
6,1,1,1,1
5,5
5,4,1
5,3,2
5,3,1,1
5,2,2,1
5,2,1,1,1
5,1,1,1,1,1
4,4,2
4,4,1,1
4,3,3
4,3,2,1
4,3,1,1,1
4,2,2,2
4,2,2,1,1
4,2,1,1,1,1
4,1,1,1,1,1,1
3,3,3,1
3,3,2,2
3,3,2,1,1
3,3,1,1,1,1
3,2,2,2,1
3,2,2,1,1,1
3,2,1,1,1,1,1
3,1,1,1,1,1,1,1
2,2,2,2,2
2,2,2,2,1,1
2,2,2,1,1,1,1
2,2,1,1,1,1,1,1
2,1,1,1,1,1,1,1,1
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1

Математики называют это разбиениями. Вот количество разбиений для начальных величин до 405, что является максимальным значением, которое может вычислить мой компьютер (2^64).

Общий день рождения для 2 и более человек

>241

Исходный Количество	Общий Разделы
1	1
2	2
3	3
4	5
5	7
6	11
7	15
8	22
9	30
10	42
11	56
12	77
13	101
14	135
15	176
16	231
17	297
18	385
19	490
20	627
21	792
22	1002
23	1255
24	1575
25	1958
26	2436
27	3010
28	3718
29	4565
30	5604
31	6842
32	8349
33	10143
34	12310
35	14883
36	17977
37	21637
38	26015
39	31185
40	37338
41	44583
42	53174
43	63261
44	75175
45	89134
46	105558
47	124754
48	147273
49	173525
50	204226
51	239943
52	281589
53	329931
54	386155
55	451276
56	526823
57	614154
58	715220
59	831820
60	966467
61	1121505
62	1300156
63	1505499
64	1741630
65	2012558
66	2323520
67	2679689
68	3087735
69	3554345
70	4087968
71	4697205
72	5392783
73	6185689
74	7089500
75	8118264
76	9289091
77	10619863
78	12132164
79	13848650
80	15796476
81	18004327
82	20506255
83	23338469
84	26543660
85	30167357
86	34262962
87	38887673
88	44108109
89	49995925
90	56634173
91	64112359
92	72533807
93	82010177
94	92669720
95	104651419
96	118114304
97	133230930
98	150198136
99	169229875
100	190569292
101	214481126
102	241265379
103	271248950
104	304801365
105	342325709
106	384276336
107	431149389
108	483502844
109	541946240
110	607163746
111	679903203
112	761002156
113	851376628
114	952050665
115	1064144451
116	1188908248
117	1327710076
118	1482074143
119	1653668665
120	1844349560
121	2056148051
122	2291320912
123	2552338241
124	2841940500
125	3163127352
126	3519222692
127	3913864295
128	4351078600
129	4835271870
130	5371315400
131	5964539504
132	6620830889
133	7346629512
134	8149040695
135	9035836076
136	10015581680
137	11097645016
138	12292341831
139	13610949895
140	15065878135
141	16670689208
142	18440293320
143	20390982757
144	22540654445
145	24908858009
146	27517052599
147	30388671978
148	33549419497
149	37027355200
150	40853235313
151	45060624582
152	49686288421
153	54770336324
154	60356673280
155	66493182097
156	73232243759
157	80630964769
158	88751778802
159	97662728555
160	107438159466
161	118159068427
162	129913904637
163	142798995930
164	156919475295
165	172389800255
166	189334822579
167	207890420102
168	228204732751
169	250438925115
170	274768617130
171	301384802048
172	330495499613
173	362326859895
174	397125074750
175	435157697830
176	476715857290
177	522115831195
178	571701605655
179	625846753120
180	684957390936
181	749474411781
182	819876908323
183	896684817527
184	980462880430
185	1071823774337
186	1171432692373
187	1280011042268
188	1398341745571
189	1527273599625
190	1667727404093
191	1820701100652
192	1987276856363
193	2168627105469
194	2366022741845
195	2580840212973
196	2814570987591
197	3068829878530
198	3345365983698
199	3646072432125
200	3972999029388
201	4328363658647
202	4714566886083
203	5134205287973
204	5590088317495
205	6085253859260
206	6622987708040
207	7206841706490
208	7840656226137
209	8528581302375
210	9275102575355
211	10085065885767
212	10963707205259
213	11916681236278
214	12950095925895
215	14070545699287
216	15285151248481
217	16601598107914
218	18028182516671
219	19573856161145
220	21248279009367
221	23061871173849
222	25025873760111
223	27152408925615
224	29454549941750
225	31946390696157
226	34643126322519
227	37561133582570
228	40718063627362
229	44132934884255
230	47826239745920
231	51820051838712
232	56138148670947
233	60806135438329
234	65851585970275
235	71304185514919
236	77195892663512
237	83561103925871
238	90436839668817
239	97862933703585
240	105882246722733
114540884553038
242	123888443077259
243	133978259344888
244	144867692496445
245	156618412527946
246	169296722391554
247	182973889854026
248	197726516681672
249	213636919820625
250	230793554364681
251	249291451168559
252	269232701252579
253	290726957916112
254	313891991306665
255	338854264248680
256	365749566870782
257	394723676655357
258	425933084409356
259	459545750448675
260	495741934760846
261	534715062908609
262	576672674947168
263	621837416509615
264	670448123060170
265	722760953690372
266	779050629562167
267	839611730366814
268	904760108316360
269	974834369944625
270	1050197489931117
271	1131238503938606
272	1218374349844333
273	1312051800816215
274	1412749565173450
275	1520980492851175
276	1637293969337171
277	1762278433057269
278	1896564103591584
279	2040825852575075
280	2195786311682516
281	2362219145337711
282	2540952590045698
283	2732873183547535
284	2938929793929555
285	3160137867148997
286	3397584011986773
287	3652430836071053
288	3925922161489422
289	4219388528587095
290	4534253126900886
291	4872038056472084
292	5234371069753672
293	5622992691950605
294	6039763882095515
295	6486674127079088
296	6965850144195831
297	7479565078510584
298	8030248384943040
299	8620496275465025
300	9253082936723602
301	9930972392403501
302	10657331232548839
303	11435542077822104
304	12269218019229465
305	13162217895057704
306	14118662665280005
307	15142952738857194
308	16239786535829663
309	17414180133147295
310	18671488299600364
311	20017426762576945
312	21458096037352891
313	23000006655487337
314	24650106150830490
315	26415807633566326
316	28305020340996003
317	30326181989842964
318	32488293351466654
319	34800954869440830
320	37274405776748077
321	39919565526999991
322	42748078035954696
323	45772358543578028
324	49005643635237875
325	52462044228828641
326	56156602112874289
327	60105349839666544
328	64325374609114550
329	68834885946073850
330	73653287861850339
331	78801255302666615
332	84300815636225119
333	90175434980549623
334	96450110192202760
335	103151466321735325
336	110307860425292772
337	117949491546113972
338	126108517833796355
339	134819180623301520
340	144117936527873832
341	154043597379576030
342	164637479165761044d>
343	175943559810422753
344	188008647052292980
345	200882556287683159
346	214618299743286299
347	229272286871217150
348	244904537455382406
349	261578907351144125
350	279363328483702152
351	298330063062758076
352	318555973788329084
353	340122810048577428
354	363117512048110005
355	387632532919029223
356	413766180933342362
357	441622981929358437
358	471314064268398780
359	502957566506000020
360	536679070310691121
361	572612058898037559
362	610898403751884101
363	651688879997206959
364	695143713458946040
365	741433159884081684
366	790738119649411319
367	843250788562528427
368	899175348396088349
369	958728697912338045
370	1022141228367345362
371	1089657644424399782
372	1161537834849962850
373	1238057794119125085
374	1319510599727473500
375	1406207446561484054
376	1498478743590581081
377	1596675274490756791
378	1701169427975813525
379	1812356499739472950
380	1930656072350465812
381	2056513475336633805
382	2190401332423765131
383	2332821198543892336
384	2484305294265418180
385	2645418340688763701
386	2816759503217942792
387	2998964447736452194
388	3192707518433532826
389	3398704041358160275
390	3617712763867604423
391	3850538434667429186
392	4098034535626594791
393	4361106170762284114
394	4640713124699623515
395	4937873096788191655
396	5253665124416975163
397	5589233202595404488
398	5945790114707874597
399	6324621482504294325
400	6727090051741041926
401	7154640222653942321
402	7608802843339879269
403	8091200276484465581
404	8603551759348655060
405	9147679068859117602

Этот вопрос поднимается и обсуждается на моём форуме в Wizard of Vegas .

Как спрашивается в фильме «Дрянные девчонки» , что это такое:

анонимный

Начнём с рассмотрения графика функции f(n) в зависимости от n (ось x).

Как видите, предел приближается к ∞ слева и к -∞ справа. Поскольку он не переходит в одно и то же место с обеих сторон, предела нет.

Однако давайте ответим на вопрос без построения графика. Правило Лопиталя гласит, что если предел f(x)/g(x) = 0/0, то lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x). Итак, решим уравнение относительно f'(x) и g'(x).

f'(n) = ((ln(1-n) - sin(n)) d/dn = -1/(1-n) - cos(n)
g'(n) = (1 - cos ² (n)) d/dn = sin ² (n) d/dn

Давайте воспользуемся правилом произведения, чтобы найти ^sin² (n)d/dn.

sin ² (n) d/dn = sin(n) × sin(n) d/dn =
грех(n) × cos(n) + cos(n) × sin(n) =
2sin(n)cos(n).

Далее решим уравнения относительно f'(n) и g'(n) при n = 0.

f'(0) = -1/(1-0) - cos(0) = -2.
g'(0) = 2sin(0)cos(0) = 0

Таким образом, f'(0)/g'(0) = -2/0 = -∞. Следовательно, предел исходной функции не существует.

Хочу похвалить сценаристов «Дрянных девчонок» за то, что они идеально реализовали математические расчеты в этом фильме. Даже в серьезных фильмах о математике, таких как «Умница Уилл Хантинг», математические расчеты часто оказываются совершенно неверными.

В 4-й серии 3-го сезона сериала «Молодой Шелдон», озаглавленной «Хоббиты, физика и мяч с молнией» , Шелдон задаётся вопросом о количестве возможных комбинаций на карточке бинго. Какой ответ правильный, и верны ли формулы, показанные в сериале?

анонимный

Сначала я расскажу о количестве перестановок. Это означает, что важны не только числа, но и их порядок на карточке. Для столбцов B, I, G и O существует permut(15,5) = 15!/(15-5)! = 15*14*13*12*11 = 360 360 возможных перестановок. Для столбца N количество перестановок равно permut(14,4) = 15!/(15-4)! = 15*14*13*12 = 32 760. Таким образом, общее количество перестановок бинго-карточек составляет 360 360 ⁴ × 32 760 = 552446474061128648601600000.

Во-вторых, я расскажу о количестве комбинаций. Это означает, что важны числа, но не их порядок на карточке. Для столбцов B, I, G и O существует комбинаций combin(15,5) = 15!/(5!*(15-5)!) = (15*14*13*12*11)/(1*2*3*4*5) = 3003 возможных комбинаций. Для столбца N количество перестановок составляет combin(14,4) = 15!/(4!*(15-4)!) = (15*14*13*12)/(1*2*3*4) = 1365. Таким образом, общее количество перестановок карточек бинго составляет 3003 ⁴ × 1365 = 111007923832370565.

В передаче Шелдон задается вопросом, сколько существует УНИКАЛЬНЫХ бинго-карточек. Судя по последующим неверным формулам, я предполагаю, что он имеет в виду перестановки. Другими словами, две карточки с одинаковыми числами, но в разных позициях, будут уникальными.

На изображении выше показана формула Шелдона для столбцов B, I, G и O. Изначально он правильно вычисляет формулу: 5! × combin(15,5). Однако он ошибочно упрощает её до 15!/(15!-5)!. Второго восклицательного знака там быть не должно. Должно быть 15!/(15-10)!. Тем не менее, затем он возвращается к правильному ответу: 360,360.

У нас точно такая же проблема со столбцом N. Формула должна быть 15!/(15-4)!, а не 15!/(15!-4)!. Второй восклицательный знак всё портит.

Ирония заключается в том, что позже в эпизоде Шелдон становится одержим ошибками в хронологии «Властелина колец», точно так же, как и я одержим этим.

Имеется полный 100-литровый резервуар, содержащий воду и 10 кг соли. Если мы будем добавлять 10 литров чистой воды в минуту, одновременно сливая 10 литров раствора в минуту, сколько соли останется в резервуаре через 30 минут?

Ace2

Начнём с определения нескольких переменных:

s = кг соли в резервуаре
t = количество минут с момента добавления соли в резервуар

Нам известно, что за минуту сливается 10% соли. Если выразить это математически:

ds/dt = (-10/100) × s

Давайте перегруппируем это следующим образом:

ds = (-10/100) × s dt

-10/с ds = dt

Интеграция обеих сторон:

(1) -10×ln(s) = t + c

Далее найдем страшную константу интегрирования. Для этого нам дано, что s = 10 при t = 0. Подставив это в формулу (1) выше, получим:

-10 × ln(10) = 0 + c

Итак, c = -10×ln(10)

Подставив это в уравнение (1), получаем:

(2) -10×ln(s) = t -10×ln(10)

Вопрос в том, сколько соли будет в резервуаре в момент времени t=30. Решая уравнение относительно s при t=30:

-10×ln(s) = 30 -10×ln(10). Затем разделим обе стороны на -10...

ln(s) = -3 + ln(10)

s = exp(-3 + ln(10))

s = exp(-3) × exp(ln(10))

s = exp(-3) × 10

s =~ 0,4979 кг соли.

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

Учитывая, что большая фигура представляет собой квадрат, чему равна площадь x?

Dyana от Las Vegas

Ключ к решению подобных задач — в их формулировке. Я рекомендую свести задачу к как можно меньшему числу неизвестных. В данном случае мы можем выразить неизвестные расстояния на квадрате всего тремя следующим образом:

С прямоугольниками работать проще, чем с треугольниками. Зная площадь трёх треугольников, мы можем удвоить их размер и площадь. Это даёт нам:

ab=10
ac=16
(ab)(ac)=14

Разложим (ab)(ac) на множители:

a ² - ab- ac + bc = 14

a ² - 10 - 16 + bc = 14

(1) a ² + bc = 40

Давайте выразим b и c через a, чтобы свести все к одной переменной:

b = 10/a

c = 16/a

Подставляя эти значения для b и c в уравнение (1):

^a² + (10/a)*(16/a) = 40

^a² + 160/ ^a² = 18

Далее, избавимся от ^двойки в знаменателе, умножив всё на ² .

a ⁴ + 160 = 40*a ²

a ⁴ - 40*a ² + 160 = 0

Давайте определим новую переменную y = ^a²

^y² - 18y + 32 = 0

Далее, решим уравнение относительно y, используя формулу квадратного уравнения:

y = (40 +/- sqrt(1600-640))/2

y = (40 +/- sqrt(960))/2

y = (40 +/- 8*sqrt(15))/2

y = 20 +/- 4*sqrt(15)

Площадь всего квадрата равна ^a² , что удобно равно y. Из приведенного выше уравнения, если +/- отрицательно, то y = приблизительно 4,5081, что, очевидно, неверно, поскольку мы знаем, что площадь составляет не менее 20, даже не считая x. Следовательно, площадь квадрата должна быть равна 20 + 4 * sqrt(15).

Площадь трех данных нам треугольников равна 5+7+8=20. Вычитая это значение из общей площади квадрата, получаем площадь x: 20 + 4*sqrt(15) - 20 = 4*sqrt(15) = приблизительно 15,4919.

Этот вопрос поднимается и обсуждается на моём форуме в Wizard of Vegas .

Обратите внимание на мою футболку на этом снимке. Кассирша в кинотеатре похвалила её, когда я ходила смотреть «Неограненные алмазы» . В благодарность я замучила её этой задачей, только с треугольниками с площадями 2, 3 и 4. После фильма я подошла к ней, чтобы узнать, как она, и она всё ещё не решила задачу, но, казалось, пыталась. Поэтому я записала для неё следующее решение в баре «Санкост». Ей, кажется, это даже понравилось. Думаю, эта молодая женщина многого добьётся в жизни.

Имеется квадратная мишень для дартса размером 1 на 1. В нее бросают дротик так, что он может попасть в любую точку с равной вероятностью. Пусть координаты точки попадания будут (x,y), где x и y равномерно и независимо распределены от 0 до 1.

Пусть z = round(x/y). Другими словами, z = x/y, округленное до ближайшего целого числа. Какова вероятность того, что z — четное число?

анонимный

Знание бесконечных рядов окажется очень полезным в следующей подсказке.

Формула Лейбница для числа π гласит:

1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + ... = π/4

Чтобы получить ответ, нажмите следующую кнопку.

(5 - π)/4 = апкс. 0,464601836602552.

Нажмите на кнопку ниже, чтобы получить решение.

Если x/y < 0,5, то отношение округлит n до 0, четного числа. Любая точка на мишени слева от линии, образованной точками (0,0) и (0,5), будет округлена до 0. Эта область представляет собой прямоугольный треугольник со стороной 1 и 1/2. Помните, что площадь треугольника равна (1/2) * основание * высота. Таким образом, площадь этих точек, округленная до 0, равна (1/2) * (1/2) = 1/4.

Следующая область на графике, которая округляется до следующего четного числа, 2, находится в точке, где 1,5 < x/y < 2,5. Эта область будет представлять собой треугольник с основанием 2/3 - 2/5 и высотой 1. Обратите внимание, что это обратные значения границ x/y, поскольку x равно 1, поэтому нам нужно инвертировать y. Таким образом, область, которая округляется до 2, равна (1/2)*(2/3 - 2/5).

Следующая область на графике, которая округляется до следующего четного числа, 4, находится в точке, где 3,5 < x/y < 4,5. Эта область будет представлять собой треугольник с основанием 2/7 - 2/9 и высотой 1. Таким образом, площадь, которая округляется до 2, равна (1/2)*(2/7 - 2/9).

Следующая область на графике, которая округляется до следующего четного числа, 6, находится в точке, где 5,5 < x/y < 6,5. Эта область будет представлять собой треугольник с основанием 2/11 - 2/13 и высотой 1. Таким образом, площадь, которая округляется до 2, равна (1/2)*(2/11 - 2/13).

Начинаете замечать закономерность? Вот как это выглядит:

1/4 + 1/2*(2/3 - 2/5 + 2/7 - 2/9 + 2/11 - 2/13 + ... ) =

1/4 + (1/3 - 1/5 + 1/7 - 1/9 + 1/11 - 1/13 + ... ) =

Давайте перенесём -1 внутрь этих скобок.

5/4 + (-1 + 1/3 - 1/5 + 1/7 - 1/9 + 1/11 - 1/13 + ... ) =

5/4 - (1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 + ... ) =

Далее, вспомните нашу подсказку выше:

1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11

Возвращаясь к рассматриваемому вопросу...

5/4 - π/4 =

(5 - π)/4 = прибл. 0,464601836602552.

Интересно, как числа π и e постоянно встречаются в математике.

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

Пусть ^9x + ^12x = ^16x

Чему равно x?

анонимный

Нажмите на кнопку ниже, чтобы увидеть ответ.

x = [ln(1 + sqrt(5)) - ln(2)] / [ln(4) - ln(3) ] = приблизительно 1.67272093446233.

Нажмите на кнопку ниже, чтобы получить решение.

^9x + ^12x = ^16x =

Разделите обе стороны на 9 ^x

1 + (12/9) ^x = (16/9) ^x

1 + (4/3) ^x = ((4/3) ^x ) ²

(1) Пусть u = (4/3) ^x

1 + u = u ²

По квадратной формуле...

u = (1+sqrt(5)) / 2 (Золотое сечение)

Подставим это обратно в уравнение (1):

(4/3) ^x = (1+sqrt(5)) / 2

Возьмите логарифм обеих сторон:

x ln(4/3) = ln[(1+sqrt(5)) / 2]

x = ln[(1+sqrt(5)) / 2] / ln(4/3)

x = [ln(1+sqrt(5) - ln(2)] / [ln(4) - ln(3)] = приблизительно 1.67272093446233.

Этот вопрос поднимается и обсуждается на моём форуме в Wizard of Vegas .

Благодарность: Вариант этой задачи я позаимствовал у Преша Талвалкара из Mind Your Decisions .

Фермер сажает 5 яблочных семян. Каждый день у каждого семени есть 1/3 шанс прорасти. Каково среднее время, необходимое для прорастания всех пяти деревьев?

анонимный

Приблизительно 6,131415853 дня.

Давайте рассчитаем в обратном порядке. Если осталось одно непроросшее семя, то в среднем ему потребуется 1/p дней, чтобы прорасти, где p — вероятность прорастания в любой данный день. Поскольку p = 1/3, в среднем ему потребуется 3 дня, чтобы прорасти. Назовем это _t1 = 3.

Что если осталось два семени? Вероятность того, что оба прорастут на следующий день, составляет ^ap² = 1/9, и на этом всё. Вероятность того, что прорастет хотя бы одно семя на следующий день, равна 2×p×q, где q — вероятность того, что семя не прорастет. Таким образом, вероятность прорастания одного семени равна 2×(1/3)(2/3) = 4/9. Вероятность того, что ни одно семя не прорастет, равна ^q² = (2/3) ^² = 4/9. Назовем ожидаемое количество дней с двумя семяпроцветающими _t² .

t ₂ = 1 + (4/9)×t ₁ + (4/9)t ₂

t ₂ = (1 - (4/9)) = 1 + (4/9)×t ₁

t ₂ = (1 + (4/9)×3) / (1 - (4/9))

t ₂ = (21/9) / (5/9)

t ₂ = (21/9) × (9/5) = 21/5 = 4,2

Что если осталось три семени? Вероятность того, что все они прорастут на следующий день, составляет 3 × p × ^q² = 3 × (1/3)(2/3) ^² = 12/27. Вероятность того, что на следующий день прорастут два семени, составляет 3 × ^p² × q = 3 × (1/3) ^² × (2/3) = 6/27. Вероятность того, что ни одно семя не прорастет ^{, составляет q³ = (2/3)³} ⁼ ^8/27 . Назовем ожидаемое количество дней с тремя семенами _t³ .

t ₃ = 1 + (6/27)t ₁ + (12/27)×t ₂ + (8/27)×t ₃

t ₃ = 1 + (6/27)×3 + (12/27)×4.2 + (8/27)×t ₃

t ₃ × (1 - 8/27) = (1 + 18/27 + 28/15)

t ₃ = (1 + 18/27 + 28/15) / (1 - 8/27) = 477/95 = приблизительно 5,02105263

Что если осталось четыре семени? Вероятность того, что все четыре прорастут на следующий день, составляет 4 × p × ^q³ = 4 × (1/3)(2/3) ^³ = 32/81. Вероятность того, что два семени прорастут на следующий день, составляет 24/81. Вероятность того, что три семени прорастут на следующий день ^, составляет 4 × ^p² × ^q² = 6 × (1/3) ^² × (2/3) ^² = 24/81. Вероятность того, что три семени прорастут на следующий день, составляет 4 × ^p³ × q³ = 4 × (1/3) ^³ × (2/3) = 8/81. Вероятность того, что ни одно семя не прорастет, составляет ^q⁴ = (2/3) ^⁴ = 16/81. Назовем ожидаемое количество дней с тремя семенами _t⁴ .

t ₄ = 1 + (8/81)×t ₁ + (24/81)×t ₂ + (32/81)×t ₃ + (16/81)×t ₄

t ₄ = 1 + (8/81)×3 + (24/81)×4.2 + (32/81)×5.02105263 + (16/81)×t ₄

t ₄ = (1 + (8/81)×3 + (24/81)×4.2 + (32/81)×5.02105263) / (1 - (16/81))

t ₄ = приблизительно 5.638056680161943319838056680.

Что если останутся все пять семян? Вероятность того, что все 5 прорастут на следующий день, составляет ^1/243 , и на этом всё. Вероятность того, что на следующий день прорастет одно семя, равна 5×p× ^q⁴ = 5×(1/3)(2/3) ^⁴ = 80/243. Вероятность того, что на следующий день прорастут два семени, равна combin(5,2)× ^p² × ^q³ = 10×(1/3) ^² ×(2/3) ^³ = 80/243. Вероятность того, что на следующий день прорастут три семени, равна combin(5,3)× ^p³ ×q = 10×(1/3) ^³ ×(2/3) ^² = 40/243. Вероятность того, что четыре семени прорастут на следующий день, равна combin(5,4)×p ⁴ ×q = 5×(1/3) ⁴ ×(2/3) = 10/243. Вероятность того, что ни одно семя не прорастет, равна q ⁵ = (2/3) ⁵ = 32/243. Назовем ожидаемое количество дней с тремя семенами t ₅ .

t ₅ = 1 + (10/243)×t ₁ + (40/243)×t ₂ + (80/81)×t ₃ + (80/243)×t ₄ + (32/243)×t ₅

t ₅ = (1 + (10/243)×t ₁ + (40/243)×t ₂ + (80/81)×t ₃ + (80/243)×t ₄ ) / (1 - (32/243))

t ₅ = (1 + (10/243)×3 + (40/243)×4.2 + (80/243)×(477/95) + (80/243)×5.63805668) / (1 - (32/243))

t ₅ = приблизительно 6.131415853.

Эта задача адаптирована из аналогичной задачи Преша Талвалкара из Mind Your Decisions .

У меня вопрос, состоящий из двух частей.

Для части 1 дано:

x + y + z = 1
x² + y² + z² = 4
x³ + y³ + z³ = 9

Чему равно x^4 + y^4 + z^4?

Что касается второй части вопроса, каков ответ на общий случай, когда:

x + y + z = a
x² + y² + z² = b
x³ + y³ + z³ = c

анонимный

Вопрос 1: 97/6 = приблизительно 16,166666

Вопрос 2: a ⁴ /6 + (4/3)ac - a ² b + b ² /2

См. мое решение (PDF)

Этот вопрос поднимается и обсуждается на моём форуме в Wizard of Vegas .

Микроб, назовем его COVID-20, может породить новый микроб в любой момент времени. Вероятность появления конкретного микроба в любой заданный момент времени от конкретного родительского микроба всегда одинакова, независимо от времени, прошедшего с момента последнего появления. Среднее время между появлениями одного и того же микроба составляет один день. В математическом выражении ожидаемое время между появлениями одного и того же микроба подчиняется экспоненциальному распределению со средним значением один день.

После попадания микроба в легкие, какое ожидаемое количество микробов будет у вас через семь дней?

анонимный

Нажмите на кнопку ниже, чтобы увидеть ответ.

Ответ: e ⁷ = приблизительно 1096,6332.

Нажмите на кнопку ниже, чтобы получить решение.

Для решения этой задачи потребуется обыкновенное дифференциальное уравнение. Если вы ещё не достигли этого уровня в своём математическом образовании, вы его не поймёте.

Позволять:
m = Количество микробов COVID-20
t = время, в днях

Поскольку каждый микроб в среднем образует один новый микроб в день, m микробов будут образовывать в среднем m новых микробов в день. Другими словами, скорость увеличения количества микробов (m) в любой момент времени t можно записать следующим образом:

dm/dt = m.

Я не уверен, как правильно это выразить, но вынесите dt в правую часть:

dm = m dt.

Разделите обе стороны на m:

1/м дм = 1 дт.

Интегрируйте обе стороны:

ln(m) = t + C, где C — постоянная интегрирования.

Нам дано, что в момент времени t = 0 присутствует один микроб. Другими словами, когда t = 0, m = 1. Мы можем подставить эти значения в приведенное выше уравнение, чтобы найти C:

ln(1) = 0 + C

0 = 0 + C

C = 0.

Теперь у нас есть ln(m) = t.

Возьмите выражение (exp()) от обеих сторон:

m = e ^t

Таким образом, в момент времени t=7 будет e ⁷ = приблизительно 1096,6332 микробов.

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

В старом вестерн-салуне спор из-за карточной игры перерос в перестрелку, в результате которой все ковбои в округе достали оружие и начали стрелять друг в друга.

Когда дым наконец рассеялся, выяснилось, что 90% ковбоев были ранены в ноги, 85% — в руки, 80% — в живот и 75% — в голову. Удивительно, но в этой масштабной перестрелке погибли только те ковбои, которые получили все четыре типа ранений.

Какой наименьший возможный процент ковбоев был похоронен?

Gialmere

30%

Для начала, выстрелите в ногу 90% ковбоев.

Далее, выстрелите в руку оставшихся 10% раненых. У вас осталось еще 75% раненых в руку, поэтому возьмите их из числа уже раненных в ногу.

Итак, теперь мы находимся в следующем:

Только ноги 15% (90% - 75%)
Рука всего 10%
Оба по 75%
Ни 0%

Общая длина ноги: 90%
Общий объем руки: 85%

Далее перейдём к ранениям в живот (80%). Стреляйте в 25% случаев, если у вас только одно ранение в живот. У нас остаётся 80% - 25% = 55% людей, в которых нужно стрелять. Мы вычтем эти 55% из числа людей с обоими ранениями. Итак, теперь у нас есть:

Нога и внутренности 15%
Рука и живот 10%
Ноги и руки 20% (75% - 55%)
Все трое 55%
Одна травма 0%
Ноль травм 0%

Наконец, рассмотрим 75% игроков с травмами головы. Сначала рассмотрим 45%, у которых ровно две травмы. Осталось еще 30%, поэтому возьмем их из 55%, у которых все три травмы. Остается:

Голова, ноги и внутренности 15%
Голова, руки и живот 10%
Голова, нога и рука 20%
Нога, рука и кишечник: 25% (55–30%)
Все четверо по 30%
Ноль травм 0%
Одна травма 0%
Две травмы 0%

Пусть будет 20 ковбоев. Мы выбираем это число, потому что все задействованные вероятности делятся на 5% без остатка, а 5% от 20 равно 1.

Выстройте их в ряд. Затем, начиная слева, выстрелите в ногу 90% из них, то есть 18. Затем составьте схему, расположив номер ковбоя в верхнем ряду и общее количество ранений каждого в левом столбце, следующим образом.

Рана	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
1	Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л
2
3
4
Общий	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	0	0

Далее вам нужно поразить 85% или 17 стрел в руку. Начните с двух ковбоев, не получивших ранений в ногу. Осталось еще 15. Вернитесь к ковбою слева и двигайтесь вниз по ряду, поразив в общей сложности 15 уже раненных в ногу. Ваша карточка с травмами должна выглядеть так:

Рана	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
1	Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л	А	А
2	А	А	А	А	А	А	А	А	А	А	А	А	А	А	А
3
4
Общий	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	1	1	1	1	1

Далее вам нужно будет попасть в живот 80% или 16 раз. Начните с ПЯТИ ковбоев, у которых только одно ранение. Осталось еще 11. Вернитесь к ковбою слева и двигайтесь вниз по ряду, поразив в общей сложности 11 уже дважды раненых. Ваша карточка с ранениями должна выглядеть так:

Рана	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
1	Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л	А	А
2	А	А	А	А	А	А	А	А	А	А	А	А	А	А	А	Г	Г	Г	Г	Г
3	Г	Г	Г	Г	Г	Г	Г	Г	Г	Г	Г
4
Общий	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3	2	2	2	2	2	2	2	2	2

Далее вам нужно будет попасть в голову 75% или 15 раз. Начните с девяти ковбоев, в которых попали только дважды. Осталось еще 6. Вернитесь к ковбою слева и двигайтесь вниз по ряду, в общей сложности поразив 6 уже пораженных трижды ковбоев. Ваша карточка с травмами должна выглядеть так:

Рана	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
1	Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л	А	А
2	А	А	А	А	А	А	А	А	А	А	А	А	А	А	А	Г	Г	Г	Г	Г
3	Г	Г	Г	Г	Г	Г	Г	Г	Г	Г	Г	ЧАС	ЧАС	ЧАС	ЧАС	ЧАС	ЧАС	ЧАС	ЧАС	ЧАС
4	ЧАС	ЧАС	ЧАС	ЧАС	ЧАС	ЧАС
Общий	4	4	4	4	4	4	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3

Как видите, 6 ковбоев получили по четыре пулевых ранения, а 14 — по три. Таким образом, максимальный процент людей, которые могут получить только три ранения, составляет 14/20 = 70%.

В общем случае, если четыре вероятности равны a, b, c и d, то максимальное возможное отношение равно 1-(a+b+c+d), при условии, что a+b+c+d >=3 и a+b+c+d <=4.

Хочу поблагодарить участника форума Wizard of Vegas Чарли Патрика за это решение.

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, начиная с этого сообщения .

Лягушка может прыгать на одну или две фута. В общей сложности лягушка прыгает ровно на десять футов, совершая несколько прыжков, всегда вперед. Сколькими различными способами это можно сделать, учитывая как расстояние прыжка, так и порядок прыжков?

анонимный

Если лягушке нужно прыгнуть только на одной ноге, очевидно, есть только один способ. Помните, лягушка не может перепрыгнуть через цель.
Если лягушке нужно прыгнуть на две ноги, это можно сделать двумя способами: (1) на одну ногу и на одну ногу, или (2) на две ноги.

Если лягушке нужно прыгнуть на три фута, она может находиться либо на расстоянии одного фута, либо на расстоянии двух футов перед последним прыжком. Есть один способ оказаться на расстоянии двух футов, как показано в шаге 1, и два способа оказаться на расстоянии одного фута, как показано в шаге 2. Таким образом, существует три способа прыгнуть на три фута. Это также легко проверить как (1) 1+1+1, (2) 1+2, (3) 2+1.

Если лягушке нужно прыгнуть на четыре фута, она может находиться либо на расстоянии двух, либо на расстоянии трех футов до последнего прыжка. Есть 2 способа оказаться на расстоянии двух футов, как показано в шаге 2, и 3 способа оказаться на расстоянии одного фута, как показано в шаге 3. Таким образом, существует 5 способов прыгнуть на четыре фута. Это также легко проверить как (1) 1+1+1+1, (2) 1+1+2, (3) 1+2+1, (4) 2+1+1, (5) 2+2.

Если лягушке нужно прыгнуть на 5 футов, то перед последним прыжком она может оказаться либо на расстоянии 3 футов, либо на расстоянии 4 футов. Как показано в шаге 3, существует 3 способа оказаться на расстоянии 2 футов, а как показано в шаге 4 — 5 способов оказаться на расстоянии 1 фута. Таким образом, существует 3+5=8 способов прыгнуть на пять футов. Это также легко проверить, так как (1) 1+1+1+1+1, (2) 1+1+1+2, (3) 1+1+2+1, (4) 1+2+1+1, (5) 2+1+1+1, (6) 2+2+1, (7) 2+1+2, (8) 1+2+2.

Используя стандартные американские монеты номиналом 1, 5, 10, 25, 50 центов и 1 доллар, сколькими способами можно дать сдачу в 1 доллар?

Gialmere

Ответ - 293.

Пусть a(x) = количество способов получить x центов, используя только пенни и никели, где x делится на 5.

a(x) = 1+(x/5)

Иными словами, количество способов равно количеству возможных пятицентовых монет в сдаче, которое будет варьироваться от 0 до x/5.

Пусть b(x) = количество способов получить x центов, используя только пенни, никели и десятицентовые монеты, где x делится на 5.

b(0)=1
b(5)=2
b(x) = a(x) + b(x-10), где x>=10.

Проще говоря, количество способов заработать x центов равно сумме (1) b(x-10) = количество способов заработать x-10 центов, добавив по десятицентовой монете к каждому способу, и (2) a(x) = количество способов заработать без десятицентовых монет.

Пусть c(x) = количество способов получить x центов, используя только пенни, никели, даймы и четвертаки, где x делится на 25.

c(0) = 1
c(x) = b(x) + c(x-25), где x>=25.

Проще говоря, количество способов заработать x центов равно сумме (1) c(x-25) = количество способов заработать x-25 центов, добавив к каждому способу четверть доллара, и (2) b(x) = количество способов заработать, не добавляя четверть доллара.

Пусть d(x) = количество способов получить x центов, используя только пенни, никели, даймы, четвертаки и полдоллара, где x делится на 50.

d(0) = 1
d(x) = c(x) + d(x-50), где x>=50.

Проще говоря, количество способов заработать x центов равно сумме (1) d(x-50) = количество способов заработать x-50 центов, добавив к каждому способу полдоллара, и (2) c(x) = количество способов заработать без добавления полдоллара.

Ниже приведена таблица, показывающая эти значения для x от 5 до 100.

Способы осуществления перемен

х	а(x)	б(х)	c(x)	d(x)
0	1	1	1
5	2	2	0
10	3	4	0
15	4	6	0
20	5	9	0
25	6	12	13
30	7	16	0
35	8	20	0
40	9	25	0
45	10	30	0
50	11	36	49	50
55	12	42	0
60	13	49	0
65	14	56	0
70	15	64	0
75	16	72	121
80	17	81	0
85	18	90	0
90	19	100	0
95	20	110	0
100	21	121	242	292

Наконец, добавим единицу за монету в 1 доллар, и ответ будет 292 + 1 = 293.

Этот вопрос поднимается и обсуждается на моём форуме в Wizard of Vegas .

Имеется бесконечное количество лампочек, все они выключены. Время между включением лампочек подчиняется экспоненциальному распределению* со средним значением один день. После включения лампочки срок ее службы также подчиняется экспоненциальному распределению со средним значением один день.

Каково среднее время до того, как перегорит первая лампочка?

*: Случайные события, подчиняющиеся экспоненциальному распределению, обладают свойством отсутствия памяти, поскольку прошлое не имеет значения. Другими словами, ни одно событие никогда не бывает просроченным, и вероятность его наступления всегда одинакова.

Ace2

Ответ: e - 1 = приблизительно 1,7182818...

В среднем, для того чтобы загорелась первая лампочка, потребуется один день.

После этого до следующего важного события, будь то включение новой лампочки или перегорание первой, в среднем пройдет полдня. Мы добавляем полдня к времени ожидания до этого события. Таким образом, теперь у нас 1 + (1/2) = 1,5 дня.

Вероятность того, что вторым событием было включение второй лампочки, составляет 1/2. В этом случае до следующего значимого события (либо перегорание одной из первых двух лампочек, либо включение новой) остается 1/3 дня. Таким образом, к этому времени ожидания нужно добавить произведение 1/2 (вероятность дойти до этого момента) и 1/3, что равно 1/6. Получается 1,5 + 1/6 = 5/3 = 1,66667 дня.

Вероятность того, что третьим значимым событием стало включение третьей лампочки, составляет (1/2)*(1/3) = 1/6. В этом случае до следующего значимого события (либо перегорания одной из первых трех лампочек, либо включения новой) остается 1/4 дня. Таким образом, к этому времени ожидания нужно добавить произведение 1/6 (вероятность достижения этого момента) и 1/4, что равно 1/24. Получается 5/3 + 1/24 = 41/24 = 1,7083 дня.

Следуя этой закономерности, ответ равен (1/1!) + (1/2!) + (1/3!) + (1/4!) + (1/5!) + ...

Должно быть общеизвестно, что e = (1/0!) + (1/1!) + (1/2!) + (1/3!) + (1/4!) + (1/5!) + ...

Единственное отличие заключается в том, что в нашем ответе отсутствует множитель 1/0!. Таким образом, ответ равен e - 1/0! = e - 1 = приблизительно 1,7182818...

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

A, B, C и D — различные положительные целые числа.

A < B < C < D

Найдите наибольшее значение D такое, что

1/A + 1/B + 1/C + 1/D = 1

Gialmere

Ответ — 42. A, B и C — это 2, 3 и 7.

1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/42 = 1.

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

После просмотра сериала «Ход королевы» я заметил, что ни одна из партий не закончилась ничьей. Мне казалось, что в шахматах высокого уровня часто бывают ничьи. Какой процент партий заканчивается ничьей в шахматах уровня гроссмейстера?

анонимный

Согласно статье «Увеличилось ли количество ничьих в шахматах?» на сайте ChessBase.com, автор Цию Чжоу утверждает, что в 78 468 рейтинговых партиях между игроками с рейтингом 2600 и выше (для получения звания гроссмейстера требуется рейтинг 2500) были получены следующие результаты:

Победы чернокожих: 18,0%
Победа белых: 28,9%
Ничья: 53,1%

Имеется доска размером 5х5 с тремя колышками. Какова вероятность того, что три случайно расположенных колышка образуют треугольник?

анонимный

93,39%

Во-первых, существует combin(25,3) = 2300 возможных комбинаций для колышков.

Сколько из этих комбинаций образуют треугольник? Давайте воспользуемся этой доской:

доска с колышками

Во-первых, есть пять рядов, пять столбцов и две диагонали. Для любой из них существует 10 комбинаций (5,3) = 10 способов расположить колышки в ряд. Таким образом, существует 12*10 = 120 таких комбинаций.

Во-вторых, существует четыре способа соединить центральный квадрат строки/столбца с центральным квадратом соседней строки/столбца. Другими словами, эти три варианта размещения:

A3, B4, C5
C5, D4, E3
E3, D2, C1
C1, B2, A3

Итак, теперь у нас 120 + 4 = 124

Во-третьих, есть четыре разные диагональные линии, каждая из которых представляет собой четыре промежутка:

A2, B3, C4, D5
B5, C4, D3, E2
E4, D3, C2, B1
D1, C2, B3, A4

Для каждого из них существует комбинация (4,3) = 4 способов разместить три колышка. Таким образом, это добавляет еще 4*4 = 16.

Теперь у нас 124 + 16 = 140.

В-четвертых, рассмотрим способ передвижения коней в шахматах, в форме буквы L размером 2х1. Для каждого угла есть два пути передвижения коня. Во всех этих случаях конь может снова переместиться по той же линии, что и при первом ходе. Таким образом, получаем еще 4*2 = 8:

A1, C2, E3 A1, B3, C5
A5, B3, C1
A5, C4, E3
E5, C4, A3
E5, D3, C1
E1, D3, C5
E1, C2, A3

Существует также четыре линии коней, проходящие через центр:

A2, C3, E4
A4, C3, E2
B5, C3, D1
D5, C3, B1

Сложив 12 линий коней, получаем 140 + 12 = 152

Если всего существует 2300 комбинаций, из которых 152 образуют прямые, то 2300-152 = 2148 не образуют прямых и, следовательно, образуют треугольники.

Таким образом, наш ответ: 2148/2300 = 93,39%.

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

Вам предоставляется:

В восьми милях прямо над зенитной ракетой, которая в данный момент запускается, находится самолет.
Самолет всегда движется по прямой линии.
Самолёт движется со скоростью 600 миль в час.
Ракета движется со скоростью 2000 миль в час.
Ракета всегда летит под углом, направленным прямо на самолет.

Вопросы:

Какое расстояние пролетит самолет, прежде чем в него попадет ракета?
Сколько времени потребуется, чтобы ракета поразила самолет?
Какова длина траектории полета ракеты?

анонимный

Какое расстояние пролетит самолет до попадания ракеты? = 240/91 миль
Сколько времени потребуется ракете, чтобы поразить самолет? = 2/455 часа
На какое расстояние полетит ракета? = 800/91 миль

Вот моё решение (PDF).

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

Предполагать:

90% населения носит маски.
Вероятность заражения коронавирусом составляет 1% для тех, кто носит маску, и 3% для тех, кто не носит маску.

Случайным образом выбран человек, зараженный коронавирусом. Какова вероятность того, что он носит маску?

анонимный

Это классический вопрос о байесовской условной вероятности.

Ответ: вероятность (кто-то носит маску и болен коронавирусом) / вероятность (кто-то болен коронавирусом) =

(0,9*0,01) / (0,9*0,01 + 0,1*0,03) = 75%.

В центре квадрата находится муравей. Он расположен на расстоянии 17 дюймов от верхнего левого угла, 20 дюймов от верхнего правого угла и 13 дюймов от нижнего правого угла.

Каков размер квадрата?

анонимный

c^2 = a^2 + b^2 -2ab*cos(c)
cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b)

369 квадратных дюймов.

Сначала поверните треугольник ABE на 90 градусов, чтобы образовался новый треугольник BDF.

Поскольку треугольник повернут на 90 градусов, угол EBF = 90 градусов по определению. По формуле Пифагора, EF = 20 * √2.

По закону косинусов: 17² = 13² + (20√2)² - 2√13√20√2√cos(DEF).

289 = 169 + 800 - 520*sqrt(2)*cos(DEF)

520*sqrt(2)*cos(DEF) = 680.

cos(DEF) = 17*sqrt(2)/26.

Напомним, что sin²(x) + cos²(x) = 1. Используем это для решения уравнения относительно sin(DEF).

sin²(DEF) + cos²(DEF) = 1

sin²(DEF) + (17*sqrt(2)/26)² = 1

sin²(DEF) + 289/338 = 1

sin²(DEF) = 49/338

sin(DEF) = 7*sqrt(2)/26

Далее рассмотрим угол BED.

Угол BED = Угол BEF + Угол FED.

Мы знаем, что угол EBF равен 90 градусам и является равнобедренным треугольником. Следовательно, угол BEF равен 45 градусам.

Таким образом, угол BED = 45 градусов + угол FED.

Напомним, что cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b).

cos(BED) = cos(BEF + FED) = cos(BEF)*cos(FED) - грех(BEF)*sin(FED)

= (1/кв.(2))*17*кв.(2)/26 - (1/кв.(2))*7*кв.(2)/26

= (17/26) - (7/26) = 10/26 = 5/13

Давайте снова применим закон косинусов, на этот раз к треугольнику BED.

BD² = 20² + 13² - 2*20*13*(5/13)

= 400 + 169 - 200 = 369

BD — это сторона рассматриваемого квадрата, поэтому BD² — это площадь этого квадрата, которая, как мы показали, равна 369.

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

Вы — пиротехник, отвечающий за вечернее фейерверк-шоу в парке развлечений. Вы получили из Европы несколько новых моделей ракет и испытываете одну из них, чтобы синхронизировать её запуск с музыкальным сопровождением вашего шоу.

Пивной фейерверк запускается вертикально вверх с постоянным ускорением 4 м/с² до тех пор, пока не закончится химическое топливо. Затем его подъем замедляется под действием силы тяжести, пока он не достигнет максимальной высоты 138 метров, где происходит детонация.

Предположим, что сопротивление воздуха отсутствует, а ускорение свободного падения составляет 9,8 метров в секунду в секунду. Сколько времени потребуется ракете, чтобы достичь максимальной высоты?

Gialmere

Ответ: 483/49 = приблизительно 9,8571 секунды.

Позволять:
t = время, прошедшее с момента, когда закончилось ракетное топливо.
r = время, на которое хватало ракетного топлива.

Я выражу ускорение в направлении вверх. Так, ускорение после сгорания ракетного топлива составляет -9,8.

Напомним, что интеграл от ускорения равен скорости, а интеграл от скорости равен местоположению. Давайте предположим, что местоположение определяется относительно земли.

В момент запуска ракеты нам известно, что ускорение равно 4.

Рассчитывая интеграл, получаем, что скорость ракеты через r секунд равна 4r.

Интегрирование скорости позволяет определить местоположение ракеты через r секунд из ^2r² .

Теперь давайте посмотрим, что происходит после того, как ракетное топливо сгорает.

Нам дано, что ускорение свободного падения равно -9,8.

В момент времени t скорость свободного падения составляет -9,8t. Однако она также имеет восходящую скорость 4r относительно ракеты.

Пусть v(t) = скорость в момент времени t.

v(t) = -9,8t + 4r

Ракета достигнет максимальной высоты, когда v(t) = 0. Давайте найдем это значение.

v(t) = 0 = -9,8t + 4r
4r = 9,8t
t = 40/98 r = 20r/49.

Иными словами, независимо от того, сколько времени осталось на ракетное топливо, ракета будет продолжать движение вверх в течение 20/49 этого времени.

Нам также известно, что пройденное расстояние на максимальной достигнутой высоте составляет 138.

Возьмём интеграл от v(t), чтобы получить формулу для пройденного расстояния, которую мы обозначим как d(t).

d(t) = ^-4,9t² + 4rt + c, где c — постоянная интегрирования.

Как мы уже показали, ракета пролетела ^2r² за то время, пока не сгорело топливо, поэтому это должна быть постоянная интегрирования. Отсюда получаем:

d(t) = ^-4.9t² + 4rt + ^2r²

Мы знаем, что максимальная высота 138 была достигнута в момент времени 20r/49. Поэтому подставим t=20r/49 в уравнение, чтобы найти r:

d((20р/49) = -4,9((20р/49) ² + 4р(20р/49) + 2р ² = 138

r ² *(-1960/2401 + 80/49 + 2) = 138

r ² = 49

р = 7

Таким образом, топлива в ракете хватило на семь секунд.

Нам уже известно, что ракета продолжала подниматься в воздух в течение 20/49 этого времени, что составляет 140/49 = приблизительно 2,8571 секунды.

Таким образом, время от старта до достижения максимальной скорости составляет 7 + 140/49 = 483/49 = приблизительно 9,8571 секунды.

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

Каково ожидаемое количество бросков двух игральных костей, чтобы получить все суммы от 2 до 12? Пожалуйста, используйте математический анализ для решения.

BruceZ

Приблизительно 61,2173847639572 бросков.

Напомним, что вероятность выпадения суммы 2 равна 1/36. За t бросков ожидаемое количество бросков с суммой 2 составляет t/36. Предположим, что время между бросками распределено экспоненциально со средним значением t/36. Распределение Пуассона показывает, что вероятность выпадения нуля бросков с суммой 2 равна exp(-t/36).

Напомним, что вероятность выпадения суммы 3 равна 2/36 = 1/18. По той же логике, распределение Пуассона говорит нам, что вероятность выпадения нуля с суммой 3 равна exp(-t/18).

Напомним, что вероятность выпадения суммы 4 равна 3/36 = 1/12. По той же логике, распределение Пуассона говорит нам, что вероятность выпадения нуля с суммой 4 равна exp(-t/12).

Напомним, что вероятность выпадения числа 5 равна 4/36 = 1/9. По той же логике, распределение Пуассона показывает, что вероятность выпадения нуля чисел с суммой 5 равна exp(-t/9).

Напомним, что вероятность выпадения суммы 6 равна 5/36. По той же логике, распределение Пуассона говорит нам, что вероятность выпадения нуля с суммой 6 равна exp(-5t/36).

Напомним, что вероятность выпадения суммы 7 равна 6/36 = 1/6. По той же логике, распределение Пуассона говорит нам, что вероятность выпадения нуля с суммой 7 равна exp(-t/6).

Вероятности для чисел от 8 до 12 такие же, как и для чисел от 2 до 6.

Таким образом, вероятность того, что за t единиц каждая сумма выпала хотя бы один раз, составляет:

(1-exp(-t/36))^2 * (1-exp(-t/18))^2 * (1-exp(-t/12))^2 * (1-exp(-t/9))^2 * (1-exp(-5t/36))^2 * (1-exp(-t/6))

Вероятность того, что хотя бы одна сумма НЕ была выброшена за t единиц времени, равна 1 - (1-exp(-t/36))^2 * (1-exp(-t/18))^2 * (1-exp(-t/12))^2 * (1-exp(-t/9))^2 * (1-exp(-5t/36))^2 * (1-exp(-t/6))

Чтобы получить ожидаемое время без хотя бы одного итогового значения, мы интегрируем приведенную выше функцию от 0 до бесконечности.

С помощью интегрального калькулятора (я рекомендую этот ) это легко решится: 769767316159/12574325400 = приблизительно 61,2173847639572 рулонов.

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

Параллелепипед — это трёхмерный блок, состоящий из единичных квадратов.

кубоид

Параллелепипед размером a × b × c строится из одинаковых единичных кубиков размером abc, подобно кубику Рубика 3x3x3. Разделим кубики на два взаимоисключающих типа. Внешние кубики — это те, которые образуют грани параллелепипеда; внутренние кубики полностью замкнуты. Например, изображенный параллелепипед имеет 74 внешних и 10 внутренних кубиков.

Укажите размеры всех параллелепипедов, для которых количество внешних кубов равно количеству внутренних кубов.

Gialmere

Всего существует 20 возможных таких кубоидов.

5 X 13 X 132
5 х 14 х 72
5 х 15 х 52
5 х 16 х 42
5 х 17 х 36
5 х 18 х 32
5 х 20 х 27
5 х 22 х 24
6 х 9 х 56
6 х 10 х 32
6 х 11 х 24
6 х 12 х 20
6 х 14 х 16
7 x 7 x 100
7 х 8 х 30
7 х 9 х 20
7 х 10 х 16
8 x 8 x 18
8 х 9 х 14
8 x 10 x 12

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

Пусть 0 < a < b. Что больше соответствует a^b или b^a?

анонимный

Ответ зависит от конкретных пунктов a и b, но два общих правила подойдут для большинства ситуаций.

Если a > e, то a^b > b^a

Если b < e, то a^b < b^a

Если a < e и b > e, то недостаточно информации для определения.

Вот решение (PDF).

Граната брошена в бездонную пропасть. В среднем граната взрывается через шесть секунд. Время до взрыва обладает свойством отсутствия памяти, поскольку вероятность взрыва в любой данный момент всегда одинакова и не зависит от того, сколько времени прошло с момента выдергивания чеки. Другими словами, время жизни гранаты подчиняется экспоненциальному распределению. Предположим, ускорение составляет 32 фута в секунду.

Ace2

1152 фута

Вот моё полное решение (PDF).

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

Представьте себе телеигру с двумя участниками, которые оба эгоистичны и являются безупречными логиками. Вот правила.

Ведущий кладет 1 000 000 долларов на стол между двумя участниками.
Участнику А предлагается предложить способ распределения денег между двумя другими участниками.
Участнику Б будет предложено принять или отклонить предложение.
Если участник Б примет предложение, то деньги будут разделены таким образом, и игра закончится.
Если участник Б отклонит предложение, ведущий уберет 10% от суммы, лежащей на столе.
Затем ведущий попросит участника B внести предложение, а участник A получит такую же возможность принять или отклонить его.
Если участник А принимает предложение, они делят сумму таким образом, и игра заканчивается. Если он отклоняет предложение, то ведущий забирает еще 10% от оставшейся суммы на столе. Затем возвращаемся к шагу 2 и повторяем это до тех пор, пока предложение не будет принято.

Вопрос в том, как участник А должен предложить разделить деньги во время своего первого хода?

анонимный

Ему следует предложить оставить себе 10/19 денег за вычетом одного пенни, а Б — 9/19 денег плюс один пенни. Другими словами:

А: 526 315,78 долларов США
B: 473 684,22 долл. США

Главное — точка А должна располагать точку В как можно ближе к точке безразличия.

Назовем соотношение банка к банку другого игрока r. Если B принимает предложение, он получает r × 1 000 000 долларов.

Если B отклонит предложение, то ведущий получит 10%. После этого B окажется в более выгодном положении и предложит участнику A долю в r, а 1-r оставит себе.

Решение для r...

r × 1 000 000 долл. = (1-r) × 900 000 долл.
r × 1 900 000 долларов = 900 000 долларов.
r = 900 000 долл. США / 1 900 000 долл. США = 9/19.

А не хочет, чтобы Б был совершенно безразличен, иначе он выберет случайным образом и у него появится шанс, что хозяин заберет весь выигрыш. Поэтому А должен добавить Б лишнюю копейку и предложить ему (9/19) × 1 000 000 долларов + 0,01 доллара = 473 684,22 доллара.

А: 526 315,78 долларов США
B: 473 684,22 долл. США

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

Два города, Фаунтлерой и Саутвурт, расположены прямо по разные стороны пролива. Между ними в течение всего дня курсируют два парома. Паромы движутся с разной скоростью. При этом оба отправляются в путь, по одному из каждого города.

Первый раз они пересекают границу в 5 милях от Саутвуорта. Второй раз — в 3 милях от Фаунтлероя. Предположим, что времени на погрузку и разгрузку нет, но оба поезда немедленно разворачиваются. Также предположим, что они движутся по прямой линии.

На каком расстоянии друг от друга находятся эти два города?

анонимный

12 миль

Пусть t ₁ = время до первого пересечения
Пусть _t² = время до второго пересечения
r = отношение скорости парома, первоначально покидающего Фаунтлерой, к скорости парома, первоначально покидающего Саутвуорт.
c = Расстояние по каналу между двумя городами.

Нам известно, что первое пересечение границы происходит в 5 милях от Саутвурта. Чтобы выразить это формулами:

c-5 = r*t ₁
5 = t ₁

Приравнивая t ₁ , получаем:

c-5 = 5r, или r = (c-5)/5

Нам также известно, что во второй раз они пересекают границу в 3 милях от Фаунтлероя. Чтобы выразить это формулами:

3c - 3 = r*t ₂
c+3 = t ₂

Приравнивая t ₂ , получаем:

2c - 3 = r*(c+3)

Подставим r=(c-5)/5

2c-3 = [(c-5)/5] * (c+3)
10c - 15 = c² - 2c - 15
c² - 12c = 0 c - 12 = 0 c = 12

Таким образом, длина канала составляет 12 миль.

На приведенной ниже диаграмме, какова площадь синей области?

анонимный

Нажмите на кнопку ниже, чтобы увидеть ответ.

1/2

Вот моё решение (PDF).

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

В шахматном турнире каждый участник играет матч против каждого другого участника. Каждый участник получает 1 очко за каждый выигранный матч, 0,5 очка за каждый ничейный матч и 0 очков за каждую проигранную партию.

В конце турнира видно, что все участники набрали разное количество очков, а последний участник в турнирной таблице победил каждого из трех лидеров.

Соответственно, каково минимальное количество участников, принимающих участие в турнире?

Gialmere

Назовем количество игроков n.

Я предполагаю, что игрок, занимающий последнее место, одержал всего три победы над тремя лучшими игроками и проиграл все остальные игры. Это дает ему 3 очка.

Затем я считаю, что каждый последующий игрок в порядке убывания очков набирает на 0,5 очка больше, чем предыдущий, по рангу. Это даст игроку с самым высоким рангом 3+(n-1)/2 очка.

Прибавляя сумму 3 к 3+(n-1)/2 с шагом в 1/2 пункта, получаем (((n+5)*(n+6)/2)-15)/2.

Всего сыграно игр n игроками, что равно n*(n-1)/2, при этом каждый игрок играет с каждым по одному разу. Каждая игра приносит одно очко, которое также является общим количеством очков, заработанных всеми игроками.

Затем решите уравнение относительно n:

(((n+5)*(n+6)/2)-15)/2 = n*(n-1)/2
((n+5)*(n+6)/2)-15 = n*(n-1)
(n+5)*(n+6)/2 = n*(n-1) + 15
(n+5)*(n+6) = 2*n*(n-1) + 30
n^2 + 11n + 30 = 2n^2 - 2n + 30
n² + 11n = 2n² - 2n
n + 11 = 2n-2
n=13

В следующей таблице показано, как это может произойти. В основной части таблицы указаны победители во всех 78 играх.

В следующей таблице показано количество очков каждого игрока.

Общее количество очков, набранных игроком

Игрок	Баллы
13	3
12	3.5
11	4
10	4.5
9	5
8	5.5
7	6
6	6.5
5	7
4	7.5
3	8
2	8.5
1	9

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

Какой способ укладки пушечных ядер эффективнее: в пирамиде с квадратным основанием, как у египетских пирамид, или в треугольном, образующем тетраэдр?

анонимный

Вот пара формул, которые могут оказаться полезными для читателя:

^1² + 2² + ^3² + ^4² + ^5² + ^6² + ^... + ^n² = n*(n+1)*(2n+1)/6

1 + 3 + 6 + 10 + 15 + ... + n*(n+1)/2 = n*(n+1)*(n+2)/6

Прокрутите вниз, чтобы увидеть мой ответ и решение.

Под "эффективностью" я подразумеваю, как я понимаю, тот тип снаряда, у которого наименьшее количество неиспользуемого пространства между ядрами.

Для простоты, чтобы определить объем каждой пирамиды, возьмем за основу центры шаров, расположенных по углам пирамиды. Пусть n — количество пушечных ядер на одной стороне основания каждой пирамиды.

Давайте сначала рассмотрим пирамиду с квадратным основанием.

Количество пушечных ядер во всей пирамиде равно ^1² + ^2² + 3² + ^4² + ^5² + ^6² ⁺ ... + ^n² = n*(n+1)*(2n+1)/6.

Далее найдем высоту этой квадратной пирамиды, у которой сторона основания равна n. Как видно на рисунке, стороны (кроме квадратного основания) представляют собой равносторонние треугольники. Таким образом, наклонная высота также равна n. Расстояние от одного угла основания до противоположного угла равно n*sqrt(2). Расстояние от угла основания до центра основания, следовательно, равно n*sqrt(2)/2. Пусть высота будет h. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, расстоянием от угла основания до центра основания и наклонной высотой.

^h² + (n*sqrt(2)/2) ^² = ^n²
h = n*sqrt(2)/2.

Напомним, что объём пирамиды равен произведению основания на высоту и объёма трёх элементов. Таким образом, объём пирамиды равен:

n ² * n* sqrt(2)/2 * (1/3) = n ³ *sqrt(2)/6.

Таким образом, отношение количества шаров к объему составляет [n*(n+1)*(2n+1)/6] / [ ^n³ *sqrt(2)/6] = sqrt(2)*n*(n+1)*(2n+1)/(2* ^n³ ) = sqrt(2)*(n+1)*(2n+1)/(2* ^n² )

Далее рассмотрим пирамиду с треугольным основанием.

Количество пушечных ядер во всей пирамиде равно 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + ... + n*(n+1)/2 = n*(n+1)*(n+2)/6.

Далее найдем площадь основания. Напомним, что стороны треугольника с углами 30-60-90 пропорциональны 1/2, √3/2 и 1. Отсюда нетрудно догадаться, что высота равностороннего треугольника со стороной n равна n √3/2. Следовательно, площадь основания n² равна ² √3/4.

Расстояние от угла основания до центра основания равно sqrt(3)/3. Учитывая это и наклонную высоту 1 пирамиды, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти высоту пирамиды как sqrt(6)/3.

Теперь мы можем найти объем пирамиды как основание*высота/3 = ( ^n² *√3/4) * (n*√6/3) * (1/3) = ^n³ *√18/36 = ^n³ *√2/12.

Таким образом, отношение количества шаров к объему составляет [n*(n+1)*(n+2)/6] / [ ^n³ *sqrt(2)/12] = sqrt(2)*n*(n+1)*(2n+1)/(2* ^n³ ) = sqrt(2)*(n+1)*(n+2)/ ^n²

Вот сравнение соотношения размеров шариков и их объема:

Квадратное основание: sqrt(2)*(n+1)*(2n+1)/(2*n ² )
Основание треугольника: sqrt(2)*(n+1)*(n+2)/n ²

Разделим оба отношения на sqrt(2)*(n+1)/n ² :

Квадратное основание: (2n+1)/2 = n + 0,5
Основание треугольника: n+2

По мере увеличения n отношение количества шаров к объему будет приближаться к n для обеих пирамид. Другими словами, чем больше количество пушечных ядер, тем более одинаково эффективными они оказываются.

Учитывая объем пушечного ядра, эффективность обеих пирамид, определяемая как отношение объема пушечного ядра к общему объему, приближается к π*√2/6 ≈ примерно 74,05%.

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

Для любого большого числа, каково среднее расстояние между простыми числами, близкими к этому числу? Также, сколько простых чисел меньше этого числа?

анонимный

Очень хорошей оценкой среднего расстояния между простыми числами вблизи любого большого числа n является ln(n). Удивительно, насколько хороша эта оценка.

В качестве доказательства в следующей таблице показан диапазон первых 15 миллионов простых чисел, сгруппированных по одному миллиону. В таблице показано среднее расстояние между простыми числами в этом диапазоне и оценка среднего расстояния. Оценка представляет собой натуральный логарифм среднего значения наибольшего и наименьшего простого числа в диапазоне. Например, для 15-й группы из миллиона простых чисел это ln((256 203 221 + 275 604 541)/2).

Среднее расстояние между простыми числами

Первый прайм в диапазоне	Последний прайм в диапазоне	Простые числа в диапазоне	Среднее расстояние	Оценивать
2	15,485,863	1 000 000	15.485861	15.86229105
15,485,867	32,452,843	1 000 000	16.966976	16.9922867
32,452,867	49,979,687	1 000 000	17.52682	17.53434381
49,979,693	67,867,967	1 000 000	17.888274	17.89175615
67,867,979	86,028,121	1 000 000	18.160142	18.15864108
86,028,157	104,395,301	1 000 000	18.367144	18.3716137
104,395,303	122,949,823	1 000 000	18.55452	18.54883262
122,949,829	141,650,939	1 000 000	18.70111	18.70058553
141,650,963	160,481,183	1 000 000	18.83022	18.83322787
160,481,219	179,424,673	1 000 000	18.943454	18.95103217
179,424,691	198,491,317	1 000 000	19.066626	19.05703535
198,491,329	217,645,177	1 000 000	19.153848	19.15337672
217,645,199	236,887,691	1 000 000	19.242492	19.24163365
236,887,699	256,203,161	1 000 000	19.315462	19.32305683
256,203,221	275,604,541	1 000 000	19.40132	19.39864545

Источник: Раздел «Промежутки между праймами» на Prime Pages.

Чтобы вычислить количество простых чисел, меньших любого заданного числа, мы можем начать с интегрирования оценки среднего расстояния ln(n). Это даст нам сумму средних расстояний между простыми числами до любого числа n.

Чему равен интеграл от f(n)=ln(n)? Напомним, что интегрирование по частям дает нам:

Интеграл f(n)*g'(n) dn = f(n)*g(n) - интеграл (f'(n)*g(n)) dn

Пусть f(n) = ln(n) и g'(n) = 1. Тогда f'(n) = 1/n и g(n) = n. Таким образом, интеграл от ln(n) будет равен ln(n)*n - интеграл от ((1/n)*n) = ln(n)*n - n = n*(ln(n)-1)

Если разделить n*(ln(n)-1) на n, мы получим среднее расстояние между простыми числами в диапазоне от 2 до n. Это ln(n)-1.

Если разделить n на это среднее расстояние между простыми числами, мы получим среднее число простых чисел меньше n, равное n/(ln(n)-1).

В качестве доказательства в следующей таблице показано количество простых чисел при различных больших числах и их приблизительное значение. Прошу прощения за точность до 15 значащих цифр, это всё, что позволяет Excel. Кто-нибудь, пожалуйста, создайте электронную таблицу, которая сможет обрабатывать большее количество знаков после запятой.

Среднее расстояние между простыми числами

н	Простые числа при n	n/(ln(n)-1)
10	4	8
100	25	28
1000	168	169
10 000	1,229	1,218
100,000	9,592	9,512
1 000 000	78,498	78,030
10 000 000	664,579	661,459
100 000 000	5 761 455	5 740 304
1 000 000 000	50,847,534	50,701,542
10 000 000 000	455,052,511	454,011,971
100 000 000 000	4 118 054 813	4,110,416,301
1 000 000 000 000	37,607,912,018	37,550,193,650
10 000 000 000 000	346,065,536,839	345,618,860,221
100,000,000,000,000	3 204 941 750 802	3,201,414,635,781
1 000 000 000 000 000	29,844,570,422,669	29,816,233,849,001
10 000 000 000 000 000	279,238,341,033,925	279,007,258,230,820
100,000,000,000,000,000	2 623 557 157 654 230	2 621 647 966 812 030
1 000 000 000 000 000 000	24,739,954,287,740,800	24,723,998,785,920,000
10 000 000 000 000 000 000	234,057,667,276,344,000	233,922,961,602,470,000
100,000,000,000,000,000,000	2 220 819 602 560 910 000	2 219 671 974 013 730 000
1 000 000 000 000 000 000 000	21,127,269,486,018,700,000	21,117,412,262,910,000,000
10 000 000 000 000 000 000 000	201,467,286,689,315,000,000	201,381,995,844,660,000,000
100,000,000,000,000,000,000,000	1 925 320 391 606 800 000 000	1 924 577 459 166 810 000 000
1 000 000 000 000 000 000 000 000	18,435,599,767,349,200,000,000	18,429,088,896,563,900,000,000
10 000 000 000 000 000 000 000 000	176,846,309,399,143,000,000,000	176,788,931,049,964,000,000,000

Источник: Сколько простых чисел существует? на Prime Pages.

девятиугольник

На рисунке выше изображен девятиугольник со стороной длиной один.

Что больше, AB+AC или AE?

Данная задача взята из номера журнала Mensa Bulletin за март 2021 года.

анонимный

Эти два понятия равны.

Вот моё решение этой проблемы. (PDF)

Как легко найти квадратный корень любого трех- или четырехзначного числа, если ответ является целым числом?

анонимный

В следующей таблице показаны числа от 0 до 9, квадрат каждого из них и последняя цифра этого квадрата.

Последняя цифра квадратных чисел

Оригинал Число	Квадрат	Последняя цифра квадрата
0	0	0
1	1	1
2	4	4
3	9	9
4	16	6
5	25	5
6	36	6
7	49	9
8	64	4
9	81	1

Обратите внимание, что четные квадраты чисел всегда оканчиваются на 0, 1, 4, 5, 6 или 9. Это верно для всех квадратов. Это происходит потому, что последняя цифра исходного числа определяет последнюю цифру квадрата.

Шаг 1: Исходя из последней цифры квадрата, мы можем использовать следующую таблицу, чтобы определить последнюю цифру квадратного корня. Например, если квадратом является число 2809, то последняя цифра квадратного корня — 3 или 7.

Последняя цифра исходного числа

Последняя цифра квадратного корня	Последняя цифра квадрата
0	0
1	1 или 9
4	2 или 8
5	5
6	4 или 6
9	3 или 7

Шаг 2: Далее возьмите исходное число и отбросьте две правые цифры. Например, если исходное число было 2809, то используйте 28.

Шаг 3: Найдите наименьшее квадратное число, меньшее или равное результату шага 2. Затем извлеките квадратный корень из этого квадратного числа. Например, наименьшее квадратное число, меньшее 28, равно 25. Извлечем квадратный корень из 25, получим 5.

Если вы не запомнили все квадраты до 100, то можете воспользоваться следующей таблицей.

Первая часть квадратного корня

Шаг 2	Шаг 3
от 1 до 3	1
от 4 до 8	2
от 9 до 15	3
от 16 до 24	4
от 25 до 35	5
36–48	6
49–63	7
от 64 до 80	8
81–99	9

Шаг 4: Если результат шага 1 равен 0 или 5, то укажите это значение после результата шага 3, и на этом всё.

В противном случае, пусть a = результат шага 3. Пусть b = a × (a + 1). Например, если результат шага 3 равен 5, то b = 5 × 6 = 30.

Шаг 5: Если b < a, то последняя цифра квадратного корня — это наименьшее из возможных значений из шага 1. В противном случае, если b >= a, то это большее из двух возможных значений.

Шаг 6: Чтобы извлечь квадратный корень, возьмите результат из шага 3, а затем результат из шага 5. Другими словами, 10 × (шаг 3) + шаг 5.

Рассмотрим несколько примеров:

Найдите квадратный корень из 256.

Шаг 1: Последняя цифра квадратного корня равна 4 или 6.
Шаг 2: Отбросив последние две цифры, получаем 2.
Шаг 3: Наименьший квадрат, меньший или равный 2, равен 1. Квадратный корень из 1 равен 1.
Шаг 4: 1*(1+1) = 2.
Шаг 5: Результат шага 4 равен результату шага 2, поэтому в качестве последней цифры мы используем большее из значений шага 1, то есть 6.
Шаг 6: Квадратный корень — это результат из шага 5, к которому добавляется результат из шага 3, в результате получаем 1 и 6 = 16.

Найдите квадратный корень из 1369.

Шаг 1: Последняя цифра квадратного корня равна 3 или 7.
Шаг 2: Отбросив последние две цифры, получаем 13.
Шаг 3: Наименьший квадрат, меньший или равный 13, равен 9. Квадратный корень из 9 равен 3.
Шаг 4: 3*(1+3) = 12.
Шаг 5: Результат шага 2 больше результата шага 4, поэтому в качестве последней цифры мы используем большее из значений шага 1, то есть 7.
Шаг 6: Квадратный корень — это результат сложения 3 и результата шага 5, в результате получаем 3 и 7 = 37.

Найдите квадратный корень из 2704.

Шаг 1: Последняя цифра квадратного корня равна 2 или 8.
Шаг 2: Отбросив две последние цифры, получаем 27.
Шаг 3: Наименьший квадрат, меньший или равный 27, равен 25. Квадратный корень из 25 равен 5.
Шаг 4: 5*(1+5) = 60.
Шаг 5: Результат шага 2 меньше результата шага 4, поэтому в качестве последней цифры мы используем меньший из вариантов шага 1, то есть 2.
Шаг 6: Квадратный корень — это результат из шага 5, к которому добавляется результат из шага 3, в результате получаем 5 и 2 = 52.

Найдите квадратный корень из 5625.

Шаг 1: Последняя цифра квадратного корня — 5.
Шаг 2: Отбросив две последние цифры, получаем 56.
Шаг 3: Наименьший квадрат, меньший или равный 56, равен 49. Квадратный корень из 49 равен 7.
Шаг 4: Результат шага 1 равен 0 или 5, поэтому ответ — это результат шага 3, к которому добавлен результат шага 1: 7 и 5 = 75

Найдите квадратный корень из 6561.

Шаг 1: Последняя цифра — 1 или 9.
Шаг 2: Отбросив две последние цифры, получаем 65.
Шаг 3: Наименьший квадрат, меньший или равный 65, равен 64. Квадратный корень из 64 равен 8.
Шаг 4: 8*(1+8) = 72.
Шаг 5: Результат шага 2 меньше результата шага 4, поэтому в качестве последней цифры мы используем меньшее из значений шага 1, то есть 1.
Шаг 6: Квадратный корень — это результат из шага 5, к которому добавляется результат из шага 3, в результате получаем 8 и 1 = 81.

Демонстрацию этого метода можно посмотреть на YouTube .

Какова площадь правильного пятиугольника со стороной длиной 1?

анонимный

Нажмите на поле ниже, чтобы увидеть ответ.

(sqrt(5)/4)*sqrt(5+2*sqrt(5)) = приблизительно 1.72047740058897.

Нажмите на поле ниже, чтобы получить подсказку.

Намек на Пентагон

Рассмотрим изображение выше. AC = CD.

Вот моё решение (PDF).

В безветренный день Чарли берет свою лодку и плывет вверх по течению. Он всегда гребет с одинаковой скоростью (другими словами, если не учитывать течение, он всегда будет двигаться с одинаковой скоростью). Через милю после спуска на воду его шляпа падает в реку. Через десять минут он понимает, что шляпа пропала, и тут же разворачивается, чтобы догнать ее ниже по течению. Чарли догоняет свою шляпу в том же месте, где спустил лодку на воду.

Какова скорость течения?

анонимный

Нажмите на кнопку ниже, чтобы увидеть ответ.

3 мили в час.

Вот моё решение (PDF).

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

Следующий вопрос касается пари в баре. Используется случайный серийный номер любой американской купюры. Игрок выбирает любые три цифры от 0 до 9. Он должен выбрать три разных числа. Выигрыш определяется по тому, сколько из этих трех выбранных цифр встречаются хотя бы один раз в серийном номере.

Например, если игрок выбирает 7-0-2, а серийный номер равен 22227755, то получается два совпадения. Не имеет значения, что цифры 2 и 7 совпали несколько раз.

Вот предлагаемые коэффициенты:

3 матча: 5 к 1
2 матча: 1 к 1
1 матч: 9 к 5
0 матчей: 15 к 1

Какова вероятность выигрыша и преимущество казино по каждой ставке?

анонимный

В следующей таблице показано количество выигрышных комбинаций, вероятность выигрыша и преимущество казино для каждой ставки. В правом столбце показано, что преимущество казино колеблется от 7,4% до 8,5%.

Ставки по серийным номерам

Матчи	Платит	Комбинации	Вероятность	Край дома
3	5	15 426 684	0.154267	0.074399
2	1	45,771,270	0.457713	0.084575
1	1.8	33,037,245	0.330372	0.074957
0	15	5 764 801	0.057648	0.077632

Используя каждую цифру от 1 до 9 ровно один раз, составьте три дроби, каждая из которых имеет одну цифру в числителе и две цифры в знаменателе, причем сумма этих трех дробей равна единице.

Например, 8/16 + 9/27 + 3/24 удовлетворяет всем условиям, за исключением того, что сумма равна 23/24, а не 1.

Gialmere

5/34 + 7/68 + 9/12

Чтобы найти ответ, нужно перебрать 6,3,3,3,3,3 и перебрать 3 = 60 480 возможных перестановок. Должен признать, я пытался решить задачу методом проб и ошибок не более часа, но так и не нашел решения.

Итак, я написал программу для перебора всех фактов (9) = 362 880 способов упорядочить девять цифр и протестировал все из них. Самая сложная часть заключалась в том, чтобы перебрать все возможные способы упорядочить девять чисел. Вот как это сделать, используя лексографическую сортировку.

Поместите все девять элементов в массив, расположив их от наименьшего к наибольшему.
Найдите последний элемент в массиве, такой что следующий элемент будет больше. Если таких элементов не найдено, завершите программу.
Начиная с элемента, следующего за элементом из шага 2, найдите последний элемент в массиве, который больше элемента из шага 2.
Поменяйте местами элементы массива из шагов 2 и 3.
Переверните элементы массива, начиная с шага 2 и до конца.
Вернитесь к шагу 2.

Следуя этой процедуре, вы найдете правильный ответ шесть раз, по одному разу для всех шести способов упорядочивания трех дробей.

[spoiler=Код]

Я написал следующий код для сортировки каждой цифры от 1 до 9 в лексикографическом порядке и проверки каждого из них на предмет правильности решения.


void three_fraction(void)
{
 int i, x_max, y_max, temp_array[100], hold, pt;
 int lex_array[] = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 };
 int num_elements = sizeof(lex_array) / sizeof(lex_array[0]);
 int count = 0;
 bool stop = false;
 double tot3;
 cerr << "Количество элементов =\t" << num_elements << "\n";
 делать
 {
  count++;
  tot3 = (double)lex_array[0] / (double)(10 * lex_array[1] + lex_array[2]);
  tot3 += (double)lex_array[3] / (double)(10 * lex_array[4] + lex_array[5]);
  tot3 += (double)lex_array[6] / (double)(10 * lex_array[7] + lex_array[8]); 
  если (tot3 == 1.0)
  {
   cerr << count << "\t";
   cerr << lex_array[0] << "/" << lex_array[1] << lex_array[2] << " + ";
   cerr << lex_array[3] << "/" << lex_array[4] << lex_array[5] << " + ";
   cerr << lex_array[6] << "/" << lex_array[7] << lex_array[8] << "\n";
  } 
  x_max = -1;
  for (i = 0; i < (num_elements - 1); i++)
  {
   если (lex_array[i] < lex_array[i + 1])
    x_max = i;
  }
  если (x_max >= 0)
  {
   y_max = 0;
   for (i = x_max + 1; i < num_elements; i++)
   {
    если (lex_array[x_max] < lex_array[i])
     y_max = i;
   }
   hold = lex_array[x_max];
   lex_array[x_max] = lex_array[y_max];
   lex_array[y_max] = hold;
   если (x_max + 1 < num_elements - 1) // обратное преобразование
   {
    for (i = x_max + 1; i < num_elements; i++)
    {
     temp_array[i] = lex_array[i];
    }
    пт = 0;
    for (i = x_max + 1; i < num_elements; i++)
    {
     lex_array[i] = temp_array[num_elements - 1 - pt];
     пт++;
    }
   }
  }
  еще
   стоп = true;
 } while (stop == false);
}

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

У одного человека была 10-галлонная бочка с вином и кувшин. Однажды он налил кувшин вина, а затем долил в бочку воды. Позже, когда вино и вода хорошо перемешались, он налил еще один кувшин и снова долил в бочку воды. В итоге в бочке оказалось равное количество вина и воды.

Каков был объём кувшина?

Gialmere

10-5*sqrt(2) =~ 2,9289 галлонов

Пусть j = объем кувшина.

После первого наполнения кувшина в нем осталось 10-j галлонов вина. После того, как вино было заменено водой, соотношение вина ко всему объему кега составило (10-j)/10.

После того, как из кувшина отчерпнули разбавленное вино, в кеге осталось 10-j галлонов разбавленного вина. Количество чистого вина в разбавленном вине можно выразить следующим образом:

(10-j)*((10-j)/10) = 5

(10-j)^2 = 50

j² - 20j + 100 = 50

j² - 20j + 50 = 0

j = (20 +/- sqrt(400-200))/2

j = (20 +/- 10*sqrt(2))/2

j = 10 +/- 5*sqrt(2)

Кувшин не может быть больше кега, поэтому мы должны использовать знак минус:

j = 10 - 5*sqrt(2) ≈ приблизительно 2,92893218813452 галлонов.

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

В честь Дня благодарения вы и 19 математиков сидите за круглым столом. Каждый за столом хочет порцию клюквенного соуса, который как раз сейчас находится перед вами.

Сначала вы сами себе накладываете соус. Затем, вместо того чтобы передавать его по кругу, вы решаете случайным образом передать его человеку, сидящему слева или справа от вас. Он делает то же самое, случайным образом передавая соус либо человеку слева, либо справа от себя. Это продолжается до тех пор, пока в какой-то момент каждый не получит клюквенный соус.

Из 20 человек, сидящих в кругу, у кого наибольшие шансы оказаться последним, кто получит клюквенный соус?

Gialmere

У всех остальных равные шансы получить клюквенный соус последним.

Назовём одного из математиков G. Для того чтобы G оказался последним, должны произойти две вещи:

Клюква должна сначала достичь одного из соседей G.
Клюква должна переместиться на 19 позиций в противоположном направлении, ни разу не достигнув точки G.

В конце концов, клюква должна достичь одного из соседних кустов. Вероятность этого составляет 100%.

Тогда вероятность для второй части будет одинаковой для каждого человека. Следовательно, у каждого человека равная вероятность оказаться последним.

Если это объяснение было непонятным, то Джиалмер взял эту задачу с сайта fivethirtyeight.com. Там объясняется решение . Прокрутите вниз до раздела «Решение классической загадки прошлой недели».

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

Вот ещё одна головоломка от Загадочника .

В мешке 100 шариков. Каждый шарик либо красный, синий, либо зеленый. Если из мешка вытащить три шарика, вероятность выпадения одного шарика каждого цвета составит 20%. Сколько шариков каждого цвета находится в мешке? Обратите внимание, что я специально не указал, вытаскиваются ли шарики с возвращением или без.

Gialmere

Количество красных, синих и зеленых шариков составляет 21, 35 и 44 соответственно, в любом порядке. Они вынимаются из мешка без замены.

Давайте попробуем решить задачу, предполагая «с заменой». Пусть r, b и g — количество красных, синих и зеленых шариков соответственно. Тогда вероятность вытащить по одному шарику каждого цвета составит 6*(r/100)*(b/100)*(g/100). Приравняв это значение к 0,2, мы можем сказать:

6*(r/100)*(b/100)*(g/100) = 0,2
6*r*b*g = 200000

6 не делится на 200 000 без остатка. Следовательно, для r*b*g = 33333,333... не существует целочисленных решений. Таким образом, мы можем исключить случай выбора с заменой.

Далее, давайте попробуем предположение «без возвращения». В этом случае вероятность вытянуть по одному экземпляру каждого цвета равна r*b*g/combin(100,3) = 0,2. Попробуем найти это значение...

r*b*g/161700 = 0,2
r*b*g = 32340

Разложение числа 32340 на простые множители: 2*2*3*5*7*7*11.

Нам нужно распределить эти факторы между r, b и g, сохраняя при этом условие r+b+g=100. Например, мы могли бы попробовать следующее:

r = 2*3*5 = 30
b = 2*11 = 22
g = 7*7 = 49

Хотя эти числа правильно используют все простые множители, r+b+g = 101, поэтому это неверное решение.

Боюсь, мне пришлось написать программу с циклом, основанную на принципе перебора, чтобы получить решение, в котором r, b и g принимают значения 21, 35 и 44 в любом порядке.

Следующий вопрос нам задал любезно «Экспресс Загадочника» .

Предположим, действуют правила НФЛ. Рассмотрим следующую ситуацию:

Красная команда проигрывает с разницей в 14 очков в концовке игры.
У красной команды будет ещё две атаки.
У синей команды больше не будет ни одного владения мячом.
Давайте не будем учитывать полевые голы и сейфти, поскольку красной команде нужно забить два тачдауна, чтобы иметь шанс на победу.
Если игра перейдёт в овертайм, у каждой команды будет 50% шанс на победу. Игра не может закончиться ничьей.
Вероятность реализации одноочкового удара после тачдауна составляет 100%.
Вероятность успешной реализации двухочковой конверсии равна p.

При каком значении p красная команда должна быть безразлична к удару ногой и попытке реализовать двухочковую конверсию после первого тачдауна (теперь отставая на 8 очков)?

анонимный

(3-sqrt(2))/2 = приблизительно 0.381966011250105

Пусть p — точка безразличия между попыткой реализации двухочковой конверсии и ударом по воротам.

Если первая попытка реализации двухочковой конверсии окажется успешной, то красная команда может пробить мяч во второй раз и одержать победу.

Если первая попытка реализации двухочковой конверсии окажется неудачной, то красная команда должна будет повторить попытку после второго тачдауна и затем выиграть игру в овертайме.

Вероятность выигрыша при попытке реализовать двухочковую конверсию после первого тачдауна составляет p + (1-p)*p/2. Мы приравниваем это к 50% вероятности выигрыша при ударе по воротам после первого тачдауна и вычисляем значение p.

p + (1-p)*p/2 = 1/2
2p + (1-p)*p = 1
3p - p^2 = 1
p² - 3p + 1 = 0

Используя формулу для квадратного уравнения, найдите значение p:

p = (3 +/- sqrt(5))/2

Мы выбираем отрицательный вариант, чтобы p оставалось в диапазоне от 0 до 1, и получаем p = (3-√2)/2 = приблизительно 0,381966011250105

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

В предыдущей рубрике «Спроси волшебника» вас спрашивали об ожидаемом количестве бросков, необходимых для получения суммы 12 при выпадении двух кубиков подряд. Кстати, я вижу, что кто-то на вашем форуме утверждает, что видел 18 последовательных выпадений «йо» (всего 11) за столом для игры в крэпс. Какое количество бросков необходимо для этого?

анонимный

41660902667961039785742

Вот моё решение (PDF).

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

Точный ответ найден с помощью WizCalc .

Травяное поле имеет форму круга радиусом 100 м и огорожено круговым забором. Коза прикреплена цепью к крюку в неподвижной точке забора. Чтобы коза не растолстела, фермер хочет убедиться, что она может дотянуться только до половины травы на поле. Какой должна быть длина цепи?

Для наглядности, круг представляет собой травяное поле. Буква S обозначает место, где цепь закреплена на краю поля. Желтая часть круга — это зона, до которой может дотянуться коза. Зеленая зона находится за пределами досягаемости цепи. Цель состоит в том, чтобы расположить цепь на нужном расстоянии так, чтобы зеленая и желтая части были равны.

вопрос о козах

Gialmere

115,87286 метров.

При решении этой задачи, пожалуйста, обратитесь к следующей диаграмме.

козья головоломка

Точка Q — центр травянистого круга. Цепь козы прикреплена к точке R. Коза может дотянуться до всех цветных областей, включая их зеркальное отражение ниже линии PR.

Дано, что радиус травянистого круга равен 100, поэтому b + c = d = 100.

Я собираюсь решить эту задачу следующим образом: я буду определять всё через b. Затем я буду экспериментировать с b, пока не добьюсь желаемого результата, при котором коза сможет съесть половину травы.

Начнём с выражения e через b. Рассмотрим треугольник со сторонами b, d и e и воспользуемся формулой Пифагора:

b² + e² = d²
b² + e² = 10000
e = sqrt(10000 - b^2)

Далее выразим f через b. Помните, мы уже знаем, что b + c = 100, поэтому c = 100 - b. Используя теорему Пифагора:

c² + e² = f²
(100-b)^2 + (10000 - b^2) = f^2
f^2 = 10000 – 200b + b^2 + 10 000 – b^2
f² = 20000 - 200b
f² = 100*(200 - 2b)
f = 10*sqrt(200-2b)

Далее найдем площадь треугольника QRS:

QRS = (1/2)*100*e = 50*sqrt(10000 - b^2)

Далее найдем площадь участка травы, вырезанного под углом SQR:

tan(SQR) = e/b = sqrt(10000-b^2)/b.

срез SQR = atan(sqrt(10000-b^2)/b)

Красная область равна срезу SQR минус треугольник QRS = 5000*atan(sqrt(10000-b^2)/b) - (1/2)*100*e = 50*sqrt(10000 - b^2).

Далее найдем площадь, содержащую синий, зеленый, желтый и фиолетовый цвета. Для этого нам нужно найти угол QRS.

tan(QRS) = e/c = sqrt(10000-b^2)/(100-b)

угол QRS = atan(sqrt(10000-b^2)/(100-b)).

Добавьте к этому красную область, и мы получим половину общей площади, которую может съесть коза:

atan(sqrt(10000-b^2)/(100-b)) + 50*sqrt(10000 - b^2).

Удвойте это значение, чтобы получить общую площадь для участка ниже линии PR:

2*atan(sqrt(10000-b^2)/(100-b)) + 100*sqrt(10000 - b^2).

Общая площадь травянистой зоны составляет 10 000*pi.

Теперь просто поэкспериментируйте с параметром b, пока не получите площадь, которую коза может съесть, равную 5000*pi. Функция «Поиск решения» в Excel отлично подходит для таких задач. Как кто-либо чего-либо добивался до появления электронных таблиц, я понятия не имею.

Используя этот метод, вы обнаружите, что b = 32,867402.

Отсюда мы можем получить f = длина цепи = 115,8728598 метров.

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

Какое слово вы бы порекомендовали в качестве отправной точки для Wordle ?

анонимный

Чтобы ответить на этот вопрос, я сначала проанализировал частоту встречаемости каждой буквы на каждой позиции, основываясь на списке допустимых решений Wordle .

Частота встречаемости букв в Wordle

Письмо	Поз. 1	Поз. 2	Поз. 3	Поз. 4	Поз. 5	Общий
А	141	304	307	163	64	979
Б	173	16	57	24	11	281
С	198	40	56	152	31	477
Д	111	20	75	69	118	393
Е	72	242	177	318	424	1233
Ф	136	8	25	35	26	230
Г	115	12	67	76	41	311
ЧАС	69	144	9	28	139	389
я	34	202	266	158	11	671
Дж.	20	2	3	2	0	27
К	20	10	12	55	113	210
Л	88	201	112	162	156	719
М	107	38	61	68	42	316
Н	37	87	139	182	130	575
О	41	279	244	132	58	754
П	142	61	58	50	56	367
В	23	5	1	0	0	29
Р	105	267	163	152	212	899
С	366	16	80	171	36	669
Т	149	77	111	139	253	729
У	33	186	165	82	1	467
В	43	15	49	46	0	153
В	83	44	26	25	17	195
X	0	14	12	3	8	37
Я	6	23	29	3	364	425
З	3	2	11	20	4	40

Затем я просмотрел все слова в списке решений Wordle, содержащие пять различных букв, и оценил их в соответствии с приведенной выше таблицей частоты встречаемости букв. Я начислял два балла за совпадение в правильной позиции и один балл за совпадение в неправильной позиции. Затем я отсортировал список, который вы видите ниже.

Лучшие начальные слова в Wordle

центрированный">Точки

Классифицировать	Слово
1	Взгляд	5835
2	Возник	5781
3	Сланец	5766
4	Поднимать	5721
5	Восстань	5720
6	Санер	5694
7	Ловушка	5691
8	Разгневанный	5682
9	Залежалый	5665
10	Ящик	5652
11	След	5616
12	Позже	5592
13	Делиться	5562
14	Магазин	5547
15	Испуг	5546
16	Альтер	5542
17	Кран	5541
18	Тревога	5483
19	Слезы	5479
20	Соте	5475
21	Кейтеринг	5460
22	Запасной	5457
23	Один	5452
24	Торговля	5449
25	Храп	5403
26	Решетка	5403
27	Сланец	5392
28	Наименее	5390
29	Украл	5377
30	Шкала	5376
31	Реакции	5376
32	Блэр	5368
33	Разбор	5351
34	Блики	5340
35	Искупить	5338
36	Учиться	5324
37	Рано	5320
38	Наклонный	5307
39	Бледный	5285
40	Вспышка	5280
41	Ряд	5280
42	Берег	5274
43	Воровать	5268
44	Трайс	5267
45	Счет	5258
46	Прозрачный	5258
47	Старуха	5253
48	Камень	5253
49	Сердце	5252
50	Неудачник	5251
51	Конусность	5248
52	Ненавистник	5243
53	Реле	5241
54	Тарелка	5240
55	Обожать	5239
56	Соус	5236
57	Безопаснее	5235
58	Чужак	5233
59	Каста	5232
60	Срез	5231
61	Пресс-подборщик	5230
62	Сирена	5226
63	Каноэ	5215
64	Шир	5213
65	Почечные	5210
66	Слой	5206
67	Укротитель	5200
68	Большой	5196
69	Жемчуг	5196
70	Маршрут	5194
71	Брейс	5192
72	Ломтик	5178
73	Этап	5171
74	Проза	5170
75	Споры	5169
76	Раус	5166
77	Милость	5164
78	Солнечная	5152
79	Люкс	5150
80	Жарить	5145
81	Лагер	5130
82	Самолет	5129
83	Шипы	5129
84	Раздано	5128
85	Копьё	5126
86	Большой	5126
87	Помощник	5123
88	Троп	5116
89	Шпиль	5108
90	Ходьба	5107
91	Раб	5097
92	Закрывать	5090
93	Лэнс	5090
94	Смывать	5088
95	Причина	5087
96	Склонный	5087
97	Дрон	5082
98	Шум	5079
99	Герб	5073
100	Трезвый	5068

Итак, вот оно, моё рекомендуемое начальное слово, которое я использую, — это ВЗГЛЯД.

Что такое i^i?

Aidan

e^(-pi/2) ≈ 0.20788.

Вот моё решение (PDF).

Вы хотите сыграть в игру, для которой нужны две обычные шестигранные игральные кости. К сожалению, вы проиграли кости. Однако у вас есть девять карточек, которые вы можете пометить любым способом. Игрок должен выбрать две карточки случайным образом из девяти, без возвращения, и сложить значения на этих двух карточках.

Gialmere

Значения карточек не обязательно должны быть целыми числами.

Отметьте карточки следующим образом:

1 @ 0.5
1 @ 1.5
2 @ 2.5
1 @ 3.5
2 @ 4.5
1 @ 5.5
1 @ 6.5

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

Правда ли, что при подбрасывании честной монеты вероятность выпадения лицевой стороной вверх той же монеты, которая изначально лежала лицевой стороной вверх?

анонимный

Имеющиеся данные свидетельствуют об обратном!

Перси Диаконис и Сьюзан Холмс из Стэнфордского университета провели 10 000 подбрасываний монеты. Монета выпадала той же стороной вверх, что и в начале, в 50,8% случаев (источник: «Решение на 51 процент» из информационного бюллетеня «Что происходит в математических науках» Американского математического общества). Вероятность получения такого высокого или более высокого соотношения составляет 5,48%.

Чтобы доказать это математически, я предположил, что фактическое число оборотов монеты подчиняется распределению Пуассона. Точнее, если среднее число оборотов равно m, то вероятность ровно n оборотов равна exp(-m)*m^n/n!. Для иллюстрации распределения Пуассона на следующем графике показана вероятность от 0 до 25 оборотов при среднем значении 10.

Причина, по которой я выбрал предположение о распределении Пуассона, заключается в том, что при достаточно больших средних значениях оно имеет форму, близкую к колоколообразной, а фактический результат никогда не может быть ниже нуля.

Затем я рассчитал вероятность четного числа полуоборотов (в результате которых та же сторона окажется вверху, что и в исходном положении) для различных средних значений полуоборотов. В следующей таблице показаны результаты для средних значений от 0,5 до 5,0.

Вероятность четного и нечетного числа оборотов

Средние революции	Ровный итог	Нечетное общее количество
0,5	0.567667642	0.432332358
1	0.509157819	0.490842181
1.5	0.501239376	0.498760624
2	0.500167731	0.499832269
2.5	0.500022700	0.499977300
3	0.500003072	0.499996928
3.5	0.500000416	0.499999584
4	0.500000056	0.499999944
4.5	0.500000008	0.499999992
5	0.500000001	0.499999999

Затем меня заинтересовало, почему вероятность четного числа всегда больше 50%. Оказалось, что вероятность четного числа при среднем значении m может быть выражена как 0,5 + e^(-2m)/2. e в любой степени должно быть положительным, следовательно, вероятность четного числа оборотов также положительна.

Доказательство этой формулы вы можете увидеть здесь .

Решите уравнение относительно x:

^9x + ^12x = ^16x

анонимный

=(log(1+SQRT(5))-log(2))/(log(4)-log(3)) =~ 1.67272093446233.

Вот моё решение (PDF).

Эта проблема была задана и обсуждалась на моём форуме Wizard of Odds .

Эта задача была вдохновлена видеороликом «Сложная задача на показательные функции» .

В вашем офисе, где работают 100 сотрудников, проводится обмен подарками в рамках акции «Тайный Санта». Для этого нужно написать имена всех участников на отдельных листочках бумаги, положить их в шляпу, и каждый случайным образом вытягивает имя, которому дарит подарок.

Вопрос в том, сколько замкнутых контуров будет в среднем?

Пример замкнутого цикла размером 4: Гордон дает Дону, Дон дает Джону, Джон дает Натану, и Натан дает Гордону.

Изображение вашего собственного имени будет представлять собой замкнутый контур размером 1.

анонимный

(1/1) + (1/2) + (1/3) + ... + (1/100) =~ 5.187377518.

Предположим, на вечеринку «Тайный Санта» приходит только один сотрудник. Очевидно, он выберет себя сам, так что получается замкнутый цикл.

Затем приходит второй сотрудник, опоздавший на работу, и просит разрешения присоединиться. Ей дают список из двух оставшихся сотрудников. Есть вероятность 1/2, что она выберет сотрудника 1, и 1/2 — сама. Если она выберет сотрудника 1, то её можно будет втиснуть в его цикл, где она будет покупать для сотрудника 1, а он — для неё. Таким образом, теперь у нас получается 1 + 0,5*1 = 1,5

Затем опоздает третий сотрудник и просит присоединиться к команде. Ей дают список из трех оставшихся сотрудников. Вероятность того, что она выберет сотрудника № 1 или № 2, составляет 2/3, а вероятность того, что она выберет себя, — 1/3. Если она выберет сотрудника № 1 или № 2, то её можно будет втиснуть в их цикл, где она покупает товары для выбранного ею сотрудника, а тот, кто раньше должен был покупать товары для этого сотрудника, теперь покупает товары для всех троих. Таким образом, теперь у нас получается 1,5 + (1/3) = 11/6.

Затем четвертая сотрудница опаздывает и просит присоединиться к ним. Ей дают список из четырех сотрудников. Вероятность того, что она выберет сотрудников с 1 по 3, составляет 3/4, а вероятность того, что она выберет себя, — 1/4. Если она выберет сотрудников с 1 по 3, то ее можно будет втиснуть в их цикл, где она покупает товары для выбранного ею сотрудника, а тот, кто раньше должен был покупать для этого сотрудника, теперь покупает для всех четырех. Таким образом, теперь у нас получается 11/6 + (1/4) = 25/12.

Продолжайте в том же духе, и окончательный ответ будет 1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/100 ≈ 5,187377518.

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

Рассмотрим полукруг радиусом 1, внутри которого расположены два прямоугольника. Какова максимальная суммарная площадь этих двух прямоугольников?

два прямоугольника в полукруге

анонимный

sqrt(5)-1 =~ 1.236067977499790.

Вот моё полное решение (PDF).

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

Пожалуйста, не учитывайте однояйцевых близнецов и предположите, что у каждого ребенка есть 50/50 шанс родиться мальчиком или девочкой. Если случайным образом опрашиваются дети из семей определенного размера от 2 до 5 человек, какова вероятность того, что у мальчика или девочки будет сестра?

анонимный

Интересно, что вероятность одинакова для обоих полов, независимо от размера семьи.

Рассмотрим, например, семьи из трех человек. Вот восемь возможных вариантов расположения мальчиков и девочек в порядке очередности:

БББ
ББГ
BGB
БГГ
ГББ
ГБГ
ГКБ
ГГГ

Если вы выберете любую девочку наугад из приведенного выше списка, вы увидите, что из 12 девочек у 9 есть сестры. То же самое и с 12 мальчиками: у 9 есть сестры. Таким образом, вероятность составляет 9/12 = 3/4.

Общая формула для вероятности того, что у любого ребенка будет сестра, где число детей равно n, имеет вид 1-(1/2) ^n-1 .

Вот вероятность наличия сестры в зависимости от общего числа детей в семье:

1:0
2: 1/2
3: 3/4
4: 7/8
5: 15/16
6: 31/32

В качестве альтернативы, логично предположить, что вероятность будет одинаковой для мальчиков и девочек. Пол ваших братьев и сестер не связан с вашим полом. Таким образом, важен только размер семьи, а не ваш собственный пол.

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

В 4-м эпизоде 37-го сезона шоу «Survivor» было задание, в котором четыре части пазла нужно было расположить так, чтобы получился одновременно квадрат и равносторонний треугольник. Каковы должны быть точные размеры этих частей, чтобы это сработало?

анонимный

Для начала давайте составим полноценную диаграмму и подпишем её.

квадрат решения галантереи

Ниже приведена только схема решенного треугольника.

Далее, предположим, что стороны квадрата имеют длину 1. Вот длина каждой буквы на приведенной выше диаграмме.

[спойлер]

а = d = e = h = 1/2

b = g = КОРЕНЬ((4-КОРЕНЬ(3))/(4*КОРЕНЬ(3))) =~ 0,572145321740575

c = f = 1-КОРЕНЬ((4-КОРЕНЬ(3))/(4*КОРЕНЬ(3))) =~ 0,427854678259425

k = m = 1/SQRT(SQRT(3)) ≈ 0.759835685651592

n = (3-КОРЕНЬ(4*КОРЕНЬ(3)-3))/(2*КОРЕНЬ(КОРЕНЬ(3))) =~ 0,386767938902275

p = (КОРЕНЬ(4*КОРЕНЬ(3)-3)-1)/(2*КОРЕНЬ(КОРЕНЬ(3))) =~ 0,373067746749317

[/spoiler]

Наконец, вот моё полное решение (PDF).

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

Уверена, вы поклонница «Теории большого взрыва». Одна из моих любимых сцен — это игра «Камень, ножницы, бумага» с Ящером Споком. Это как игра в «Камень, ножницы, бумага» с пятью символами, правила которой следующие:

Бумага покрывает камень
Камень давит ящерицу
Яды ящериц Спок
Спок разбивает ножницы
Ножницы режут бумагу
Ящерица ест бумагу
Ножницы обезглавливают ящерицу
Бумага опровергает слова Спока
Раздавливание камней ножницами

Мой вопрос: можно ли добавить больше символов, чтобы у каждой стороны были одинаковые шансы против случайного игрока?

анонимный

Да, мне тоже очень нравится эта сцена! Вот видео с ней на YouTube .

Вам нужно нечётное количество символов. Теоретически, можно использовать чётное количество, но тогда придётся устанавливать правила, при которых определённые пары разных символов приведут к ничьей. Нет, нам нужна решающая игра, где ничья возможна только в том случае, если оба игрока выберут один и тот же символ.

Одно из решений особенно элегантно и легко объясняется с помощью простого числа символов. Позвольте мне объяснить на примере семи символов. Обозначим символы от A до G и изобразим их на круге на следующей диаграмме.

рпс1

Далее, начните с символа А и нарисуйте стрелку по часовой стрелке к следующему символу. Стрелка должна указывать на то место, которое находится между этими двумя. Представьте, что этот символ поражен стрелой. Продолжайте двигаться по часовой стрелке, пока не вернетесь к символу А. Диаграмма не будет выглядеть так:

рпс2

Далее проделайте то же самое, но переместитесь на два символа по часовой стрелке, начиная с точки А. На самом деле, вы можете начать с любого места. Теперь диаграмма выглядит так:

Наконец, проделайте то же самое, но пропустите три символа по часовой стрелке. Теперь диаграмма выглядит так:

rps4

Обратите внимание, что на данном этапе каждый символ превосходит три других символа и проигрывает трем другим, отличающимся от него символам.

Этот метод будет работать для любого простого числа символов, потому что к тому моменту, когда вы вернетесь к исходному символу, вы пройдете через каждый символ. Для n символов вам придется пройти этот процесс (n-1)/2 раз.

Можно создать сбалансированную игру с любым нечетным количеством символов, но иногда цикл будет слишком быстро возвращаться к исходному символу. В этом случае придется создавать новые циклы, начиная с пропущенных символов.

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

Вы перемешиваете стандартный набор домино (28 фишек) и вытаскиваете одну из них случайным образом. Вы аккуратно открываете одну из сторон, и перед вами оказывается фишка с числом 6. Какова вероятность того, что это фишка с двумя шестерками?

Gialmere

Для тех, кто не знаком с домино, поясним: у домино две стороны, на каждой из которых написано число от 0 до 6. Множество состоит из одного домино каждого возможного типа. Это означает, что нужно выбрать все 7 возможных комбинаций чисел без возвращения (7,2) = 21, плюс все 7 способов получить оба числа на одной стороне.

Вот все 28 из них: 0-0, 0-1, 0-2, 0-3, 0-4, 0-5, 0-6, 1-1, 1-2, 1-3, 1-4, 1-5, 1-6, 2-2-2, 2-3, 2-4, 2-5, 2-6, 3-3, 3-4, 3-5, 3-6, 4-4, 4-5, 4-6, 5-5, 5-6, 6-6.

После этого объяснения, вот ответ и решение.

1/4 = 25%

Проще говоря, вопрос звучит так: какова вероятность того, что у случайно выбранной доминошки с обеих сторон будет одинаковое число? Ответ прост: 7/28 = 1/4.

Можно сказать, что ответ должен быть 1/7, потому что на другой стороне может быть любое из семи возможных чисел. Это правда, что это может быть любое из семи чисел, но не все они одинаково вероятны. Домино 6-6 следует учитывать дважды, потому что у него две стороны с шестеркой. Таким образом, на другой стороне может быть любая из двух шестерок, а всего в наборе восемь шестерок. Следовательно, ответ 2/8 = 1/4.

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме Wizard of Vegas . Вопрос посвящён памяти Алана Мендельсона.

Алан и Боб решают играть в теннис до тех пор, пока один из них не выиграет две игры подряд. Вероятность победы Алана в любой конкретной игре составляет 2/3. Какова вероятность того, что Алан выиграет турнир?

анонимный

Ответ: 16/21 = 76,1905%.

Ниже представлено решение задачи генерации вероятности выигрыша Алана в отдельной игре.

Пусть p = вероятность выигрыша a.
Пусть a = вероятность того, что Алан выиграет турнир после того, как Алан выиграет свою последнюю игру.
Пусть b = вероятность того, что Алан выиграет турнир после того, как Боб выиграет последнюю игру.

(1) a = p + (1-p)*b
(2) b = p*a

Подставляя уравнение (2) в уравнение (1):

a = p + (1-p)*pa
a = p + pa - p ² *a
a - pa + p ² *a = p
a(1-p+p ² ) = p
(3) a = p/(1-p+p ² )

Подставляя уравнение (3) в уравнение (2):

b = ^p² /(1-p+ ^p² )

Первая игра определит, будет ли вероятность победы в турнире равна a или b:

ответ = pa + (1-p)b
= ^p² /(1-p+ ^p² ) + (1-p)* ^p² /(1-p+ ^p² )
= ( ^2a² - ^a³ )/( ^a² - a+1)

Подставив a=2/3, получаем вероятность выигрыша в турнире 16/21.

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

У вас есть лестница длиной 5 футов. Вы хотите прислонить её к стене как можно выше. Однако лестница должна стоять на ящике размером 1х1х1 кубический фут. Нет, ящик перемещать нельзя. На какую максимальную высоту может подняться верхняя часть лестницы?

анонимный

Ответ: (1 + sqrt(26) - sqrt(23-2*sqrt(26)))/2 ≈ приблизительно 4,838501 фута.

Вот моё решение (PDF).

При каком значении x ^1/x достигает максимума?

анонимный

Ответ: e ≈ 2,71828182845905.

Там значение e^(1/e) ≈ 1,44466786100977.

Вот моё решение (PDF).

В 1944 году газеты обратили внимание на это невероятное совпадение:

совпадение

Это просто большое совпадение или здесь замешан какой-то математический трюк?

Gialmere

Это математический трюк и основа известного фокуса.

Для всех, кто жил в 1944 году, сумма их возраста (после дня рождения) и года рождения составляла 1944 год. Подумайте об этом. Если вам было x лет, то вы родились в 1944-x. Сумма равна x + (1944-x) = 1944.

То же самое относится и к "годам пребывания в должности" в 1944 году. Если вы находились в должности y лет, то вы должны были начать работу в 1944-y. y + (1944-y) = 1944.

Сумма 1944 + 1944 = 3888. Работает всегда.

Чтобы превратить это в фокус, который сработает в 2023 году, в качестве основы можно взять следующие четыре вещи:

Год их рождения
Сколько им исполнится лет в этом году?
В тот год произошло какое-либо значимое событие (например, рождение первенца).
В этом году отмечается годовщина этого знаменательного события.

Сумма всегда будет равна 2023 + 2023 = 4046.

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

Wizard рекомендует

$11000 Приветственный бонус

Играть
Читать обзор
$3000 Приветственный бонус

Играть
Читать обзор
Бонус до $777

Играть
Читать обзор

х	а(x)	б(х)	c(x)	d(x)
0	1	1	1
5	2	2	0
10	3	4	0
15	4	6	0
20	5	9	0
25	6	12	13
30	7	16	0
35	8	20	0
40	9	25	0
45	10	30	0
50	11	36	49	50
55	12	42	0
60	13	49	0
65	14	56	0
70	15	64	0
75	16	72	121
80	17	81	0
85	18	90	0
90	19	100	0
95	20	110	0
100	21	121	242	292

х	а(x)	б(х)	c(x)	d(x)
0	1	1	1
5	2	2	0
10	3	4	0
15	4	6	0
20	5	9	0
25	6	12	13
30	7	16	0
35	8	20	0
40	9	25	0
45	10	30	0
50	11	36	49	50
55	12	42	0
60	13	49	0
65	14	56	0
70	15	64	0
75	16	72	121
80	17	81	0
85	18	90	0
90	19	100	0
95	20	110	0
100	21	121	242	292

Wizard рекомендует

Вероятность - Общие вопросы

Пропорция рыжих волос

Количество фишек за финальным столом WSOP 2013

Призовые деньги финального стола WSOP 2013

Эксперимент с розыгрышем билетов

Безразличие Сумма для игры

Модифицированный стол возврата Jacks or Better

Таблица продолжительности жизни за 2014 год. Фонд страхования от смерти.

Общий день рождения для 2 и более человек

Общий день рождения для 3 и более человек

Общий день рождения для 4 и более человек

Общий день рождения для 5 и более человек

Общий день рождения для 2 и более человек

Способы осуществления перемен

Общее количество очков, набранных игроком

Среднее расстояние между простыми числами

Среднее расстояние между простыми числами

Последняя цифра квадратных чисел

Последняя цифра исходного числа

Первая часть квадратного корня

Ставки по серийным номерам

Частота встречаемости букв в Wordle

Лучшие начальные слова в Wordle

Вероятность четного и нечетного числа оборотов

Поделитесь этим

х	а(x)	б(х)	c(x)	d(x)
0	1	1	1
5	2	2	0
10	3	4	0
15	4	6	0
20	5	9	0
25	6	12	13
30	7	16	0
35	8	20	0
40	9	25	0
45	10	30	0
50	11	36	49	50
55	12	42	0
60	13	49	0
65	14	56	0
70	15	64	0
75	16	72	121
80	17	81	0
85	18	90	0
90	19	100	0
95	20	110	0
100	21	121	242	292